当前位置:首页 >> 数学 >>

2.4等比数列(第二课时)


1.什么叫做等比数列? 等比数列的递推公式有哪两 种形式?
从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数 列叫做等比数列.

an ? q(n ? 2) a n ?1

a n-1· a (n≥2)
(q ? 0)

n+1

=a n2

2.等比数

列的通项公式是什么?

a n = a1q

n- 1

一、判断等比数列的方法
1.定义法: 2.中项法:
an?1 ? q(是与n无关的数或式子 , 且q ? 0 ) an

an?1 ? an?1 ? an (? 0)
2

三个数a,b,c成等比数列

2 ? ac ? b ?

2 ac ? b 例如:当a=0,c=1,b=0时,有

但a,b,c并不能构成等差数列

练一练
求下列两组数的等比中项: (1) 4,9; (2) 4 ? 3 , 4 ? 3 .

(1) ? 6

(2) ? 13

习题2. 求下列各等比数列的通项公式: (1) a1=-2, a3=-8;

(2) a1=5, 且2an+1=-3an.

性质1:
n

若数列 ?a ?是公比为q的等比数列,则随意取出连续的三项以上的数,把他们重新 依次看成一个数列,则仍是等比数列。

例如:

a ,a ,a
1 2
5 6
10 11

a , a , a , a ,?, a
1 2 3 4
3
7
13 14 15

n

a ,a ,a

a ,a ,a ,a ,a ,a
12

性质2:
n

若数列 ?a ?是公比为q的等比数列,则任取“间隔相同”的三项以上的数,把他们重新 依次看成一个数列,则仍是等比数列。

a , a , a , a ,?, a
1 2 3 4
例如:

n

a ,a ,a ,a ,a ,a
10 20 30 40 50

60

;

a ,a ,a ; a ,a ,a ,a ,a
4 8 12

2

5

8

11

14

,?;

a ,a ,a ,a ,a
3 5 7 9

11

,?.

性质3:
n

若数列 ?a ?是公比为q的等比数列,c是不等于0的常数,那么数列 ?c ? a n? 仍是等比 数列。

a , a , a , a ,?, a
1 2 3 4
1 2 3 4

n

c?a , c ? a , c?a , c ? a ,?, c?a
c ? a n ?1 c ?an ?

n

a a

n

? q (n ? 1)

n ?1

性质4: ?b ? 若数列 ?a ? ,
n

n

是公比分为 q 1, q 2的等比数列。

则有(1)?a n ? b n? 仍为等比数列,且公比为
? ?an ? ? (2)? ? 仍为等比数列,且公比为 ? ?bn ? ?

a , a , a , a ,?, a
1 2 3 4
2

n

q q

q ?q
1



1 2



b ,b ,b ,b ,?,b
1 2 3 4

n

a ?b , a ?b , a ?b , a ?b ,?, a ?b
1 1 2 2 3 3 4 4 n

n

ab a b
n n ?1

n n ?1

?

a ?b a b
n n ?1

n

? q ? q (n ? 1)
1 2

n ?1

a ,a ,a ,a b b b b
1 2 3 1 2 3

4 4

,? , a n

b

n

a b a b

n n

?

n ?1

a ?b b a
n n

n ?1 n ?1

?

a ?b a b
n n ?1

n

?

n ?1

q q

1 2

(n ? 1)

n ?1

性质:
等差数列
an ? a1 ? (n ? 1)d
am ? a1 ? (m ? 1)d

等比数列

an ? a1q
类比

n ?1

am ? a1q

m?1

? an ? am ? (n ? m)d
可得

an a1q n ?1 n?m ? ? q am a1q m?1
可得

an ? am ? (n ? m)d

an ? amq

n?m

性质:
在等差数列

?a ? 中,当
n

p ? q ? r ? s ? 2k (q, p, r , s, k ? N ) 时,则

?

a p ? aq ? ar ? as ? 2a k
在等比数列 ?a ?
n

中,当 p ? q ? r ? s ? 2k (q, p, r , s, k ? N ) 时,则
2

?



a p ? aq ? a r ? a s ? a k
a p ? aq ? (a1 ? q
p ?1 r ?1 s ?1

) ? (a1 ? q ) ? a1 ? q
2 2 2 k ?2

q ?1

p ? q ?2

ar ? as ? (a1 ? q ) ? (a1 ? q ) ? a1 ? q

r ? s ?2

a

2 k

? (a1 ? q

k ?1 2

) ? a ?q
2 1

a1.an ? a2 .an?1 ? a3.an?2 ? ...

1.定义 2.公比(差) 3.等比(差)中项

等比数列 an?1 ?q an

?

等差数列

?

an?1 ? an ? d
d可以是0

q不可以是0
等比中项
? G ? ? ab

等差中项

? 2A ? a ? b
an ? a1 ? ( n ? 1)d

4.通项公式

a n ? a1q

n ?1

an ? am q n? m

an ? am ? ( n ? m )d

5.性质(若m+n =p+q)

a m ? a n ? a p ? a q a m ? a n ? a p ? aq

练习题:
1.首项为3,末项为3072,公比为2的等比数列的项数有( A) A. 11项 B. 12项 C. 13项 D. 10项

2.在等比数列 {an }中, a3a4a5 ? 3, a6a7a8 ? 24, 则

a9a10a11 ?
A. 48

D
B. 72 C. 144 D. 192

3.在等比数列 ?an ?中, A. 1或2

2a4 ? a6 ? a5 则公比q等于: C
C. 1或-2 D. -1或2

B. -1或-2

?an ?, 若a1 ? a2 ? a3 ? 7, 4.已知等比数列
a1 ? a2 ? a3 ? 8, 求an.
a1 ? 1, q ? 2或a1 ? 4, q ?
1 2

题型一

等比数列性质的应用

【例1】 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值; (2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式. [思路探索] 应用等比数列的性质:a2a4=a32,a4a6=a52, a1a3=a22,化简已知,可求解. 解 (1)法一 ∵an>0,∴a1>0,q>0. 又∵a2a4+2a3a5+a4a6=36, ∴a1q· a1q3+2a1q2· a1q4+a1q3· a1q5=36, 即a12q4+2a12q6+a12q8=36,

∴a12q4(1+2q2+q4)=36,即a12q4(1+q2)2=36, ∴a1q2(1+q2)=6, ∴a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2(1+q2)=6. 法二 ∵a2a4+2a3a5+a4a6=36, ∴a32+2a3a5+a52=36, ∴(a3+a5)2=36,∴a3+a5=6. (2)∵a22=a1a3代入已知,得a23=8,∴a2=2.
2 2 设前三项为 ,2,2q,则有 +2+2q=7. q q 1 整理,得 2q -5q+2=0,∴q=2 或 q= . 2
2

? ?a1=1, ∴? ? ?q=2

a =4, ? ? 1 或? 1 q= . ? ? 2

∴an=2n-1 或 an=23-n

【变式1】在递增等比数列{an}中,a1a9=64,a3+a7=20,求 a11的值. 解 在等比数列{an}中, ∵a1· a9=a3· a7, ∴由已知可得:a3· a7=64与a3+a7=20联立得:
? ?a3=4, ? ? ?a7=16, ? ?a3=16, 或? ? ?a7=4.

∵{an}是递增等比数列,∴a7>a3. ∴取a3=4,a7=16,∴16=4q4,∴q4=4. ∴a11=a7· q4=16×4=64.

题型二

等差数列与等比数列的综合应用

【例2】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等 比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与 第三个数的和是12,求这四个数. [思路探索] 根据等差数列和等比数列的性质,设出未知数, 结合题中条件求解即可.
解 法一 ?a+d?2 设四个数依次为 a-d, a, a+d, , a

?a+d?2 ? ?a-d+ =16, a ? 由条件得 ? ?a+?a+d?=12,
? ?a=4, 解得? ? ?d=4 ? ?a=9, 或? ? ?d=-6.

所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16; 当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二

2a a 设四个数依次为 -a, ,a,aq(a≠0), q q
? ?a=8, 解得? ? ?q=2

?2a ? q -a+aq=16, 由条件得? ?a+a=12, ?q

a=3, ? ? 或? 1 q= . ? ? 3

当a=8,q=2时,所求四个数为0,4,8,16;
1 当 a=3,q= 时,所求四个数为 15,9,3,1. 3

故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

合理地设出所求数中的三个,根据题意得 出另一个是解决这类问题的关键,一般地,三个数 a 成等比数列,可设为 ,a,aq;三个数成等差数列, q 可设为 a-d,a,a+d.

【变式2】 三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三 个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.
解 a 设三个数依次为 ,a,aq, q

a ∵ · a· aq=512,∴a=8. q
?a ? ? ∵ -2?+(aq-2)=2a, ?q ?

1 ∴2q -5q+2=0,∴q=2 或 q= , 2
2

∴这三个数为 4,8,16 或 16,8,4.

题型三

等比数列的实际应用

【例3】 某市2010年新建住房400万平方米,其中250万平方米 是中低价房,预计今年后的若干年内,该市每年新建住房 面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低 价房的面积比上一年增加50万平方米,那么到哪一年底 (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的 第一年)将首次不少于4 750万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例 首次大于85%. 审题指导 本题主要考查构建数学模型解决实际问题,通 过阅读之后,找出题目中的相关信息,构造等差数列和等 比数列.

[规范解答] (1)设中低价房面积构成数列{an},由题意可知, {an}是等差数列,其中a1=250,d=50, (2分)
n?n-1? 则 Sn=250n+ ×50=25n2+225n; 2

令25n2+225n≥4 750,即n2+9n-190≥0, 解得n≤-19或n≥10,而n是正整数. ∴n≥10. (4分) 故到2019年年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首 次不少于4 750万平方米. (6分)

(2)设新建住房面积构成数列{bn}, 由题意可知,{bn}是等比数列, 其中b1=400,q=1.08,则bn=400×(1.08)n-1, (8分) 由题意可知an>0.85bn, 即250+(n-1)×50>400×(1.08)n-1×0.85满足上述不等式的 最小正整数n=6. (10分) 故到2015年年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造 住房面积的比例首次大于85%. (12分)

【题后反思】 本题将实际问题抽象出一个数列问题,解 决数列应用题的关键是读懂题意,建立数学模型,弄清问 题的哪一部分是数列问题,是哪种数列.在求解过程中应 注意首项的确立,时间的推算.不要在运算中出现问题.

【变式3】 始于2007年初的美国次贷危机,至2008年中期,已经 演变为全球金融危机.受此拖累,国际原油价格从2008年 7月每桶最高的147美元开始大幅下跌,9月跌至每桶97美 元.你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗?若按此计 算,到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?
解 设每月平均下降的百分比为x,则每月的价格构成了等比数列{an}, 记:a1=147(7月份价格), 则8月份价格:a2=a1(1-x)=147(1-x); 9月份价格:a3=a2(1-x)=147(1-x)2. ∴147(1-x)2=97,解得x≈18.8%. 设an=34,则34=147· (1-18.8%)n-1,解得n=8. 即从2008年7月算起第8个月,也就是2009年2月国际原油价格将跌至34

美元每桶.

误区警示
? ? ?

因没数清数列的项数致误
? ? ?

a2n-5 【示例】已知等比数列 an 满足 an>0,n=1,2,?,且 a5· =22n(n≥3),则当 n≥1 时,log2a1+ log2a3+?+log2a2n- 1 等于 ( ).

1+2n-1 =1+3+ ?+(2n-1)= (2n-1)=n(2n-1). 2 从而错选 D.

A.(n-1)2 B.n2 C.(n+1)2 D.n(2n-1) [错解] 易得an=2n,且log2a1+log2a3+…+log2a2n-1 =log2(a1a3…a2n-1)=log221+3+…+(2n-1)

对等差数列1,3,…,2n-1的项数没

数清. [正解] ∵a5· a2n-5=22n=an2,an>0, ∴an=2n,∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1 =log2(a1a3…a2n-1)=log221+3+…+(2n-1) =log22n2=n2.故选B. 答案 B


相关文章:
§ 2.4 等比数列 (第二课时)
§2.4 等比数列 (第二课时) (检测时间:90 分钟) 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合...
§2.4等比数列(第二课时)
§2.4 等比数列(第二课时) ●教学目标 知识与技能:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列 的有关性质,并系统了解判断数列是否成等...
2.4 等比数列(公开课)教案
2.4 等比数列(公开课)教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。课题 2.4 等比数列(第 1 课时)知识与技能:1.通过实例,使学生初步理解等比数列的定义; 2.通过与...
2.4等比数列学案(第2课时)
2.4等比数列学案(第2课时)_数学_高中教育_教育专区。2.4 等比数列(第 2 课时)【学习目标】掌握等比中项的定义并能进行相关运算; 理解等比数列的性质及其 简单应用...
2.4.2等比数列(第二课时)
等比数列( 2.4.2 等比数列(二) 2 课时) ( 课时) 一、温故知新: 温故知新:一般地,如果一个数列从第 项起 项起, 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项...
【数学】2.4《等比数列》教案(新人教A版必修5)(2课时)
【数学】2.4等比数列》教案(新人教A版必修5)(2课时)_高二数学_数学_高中教育...1 1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) { a n }成等比数列 ?...
高中数学《2.4等比数列》第2课时教案 新人教A版必修5
高中数学《2.4等比数列第2课时教案 新人教A版必修5_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数学课题:2.4.2 等比数列(2) 主备人: 执教者: 【学习目标】灵活应用...
2.4等比数列一、二课时学案
2.4等比数列一、二课时学案_数学_高中教育_教育专区。§2.4 等比数列(1)一、学习...6.首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48,第 2n-3 项是 192,则 n=__...
【数学】2.4《等比数列》教案(新人教A版必修5)(2课时)
【数学】2.4《等比数列》教案(新人教A版必修5)(2课时)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。§2.4 等比数列 (第 1 课时) ●教学目标 知识与技能:掌握等比数列...
更多相关标签:
2.4等比数列 | 2.4等比数列ppt | 等差数列第二课时 | 等比数列求和公式 | 等比数列 | 等比数列求和 | 等比数列公式 | 等比数列前n项和公式 |