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数列练习题(2.1——2.3)解析


数列练习题(2.1——2.3)
1.已知一组数 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,按这组数规律,x 应为( A.11 答案:C 解析:由题意得 1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8. ∴x=5+8=13. ) B.12 C.13 D.14 )

2.数列{an}中,an=2n2-3,则 125 是这个数列的第几项( A.4 答案

:B B.8 C.7 D.12

解析:∵数列{an}通项公式为 an=2n2-3, ∴125=2n2-3 得 n=8. 2n 3.已知数列{an}的通项公式是 an= ,那么这个数列是( n+1 A.递增数列 答案:A 2?n+1? 解析:∵an+1= , n+2 2?n+1? 2n 2?n+1?2-2n?n+2? 2 ∴an+1-an= - = = >0, n+2 n+1 ?n+1??n+2? ?n+1??n+2? ∴{an}是递增数列. 1 ? ?2a ? 0≤a <2 ?, =? 1 ? ?2a -1 ? 2≤a <1 ?.
n n n n

) D.常数列

B.递减数列

C.摆动数列

4.已知数列{an}满足 an+1

6 若 a1= ,则 a2 011 的值为( 7

)

6 A. 7 答案:A

5 B. 7

3 C. 7

1 D. 7

5 3 6 解析: 计算得 a2= ,a3= ,a4= ,故数列{an}是以 3 为周期的周期数列,又因为 2 011 7 7 7 6 =670×3+1,所以 a2 011=a1= . 7 5.在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6 等于( A.40 答案:B 解析:∵a2+a3=2a1+3d=4+3d=13, ∴d=3. 而 a4+a5+a6=3a5,a5=a1+4d=2+12=14. ∴a4+a5+a6=42. 6.在等差数列{an}中:a10=30,a20=50,则 a40=( A.40 B.70 C.80 ) D.90
1

)

B.42

C.43

D.45

答案:D a20-a10 50-30 解析:设该数列的公差为 d.则 d= = =2. 10 10 ∴a40=a20+20d=50+20×2=90. 7.等差数列{an}的公差 d<0,且 a2· a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是( A.an=2n-2(n∈N*) C.an=-2n+12(n∈N*) 答案:D a 2· a4=12, ? ? 解析:由?a2+a4=8, ? ?d<0,
?a2=6, ?a1=8, ? ? ?? ?? ? ? ?a4=2, ?d=-2,

)

B.an=2n+4(n∈N*) D.an=-2n+10(n∈N*)

所以 an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-2). 即 an=-2n+10. 8.设 x 是 a 与 b 的等差中项,x2 是 a2 与-b2 的等差中项,则 a、b 的关系是( A.a=-b C.a=-b 或 a=3b 答案:C a+b 2 a2-b2 解析:由等差中项的定义知:x= ,x = , 2 2 ∴ a2-b2 a+b 2 =( ) ,即 a2-2ab-3b2=0.故 a=-b 或 a=3b. 2 2 ) B.a=3b D.a=b=0 )

9.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值是( A.52 答案:A 解析:∵2an+1=2an+1, B.51 C.50 D.49

1 ∴2(an+1-an)=1.即 an+1-an= . 2

1 ∴{an}是以 为公差的等差数列. 2 a101=a1+(101-1)×d=2+50=52. 10.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于 x 的方程:x2+(a4+a6)x+10=0( A.无实根 C.有两个不等实根 答案:A 解析:由于 a4+a6=a2+a8=2a5,而 3a5=9, ∴a5=3,方程为 x2+6x+10=0,无解. 11.若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7 等于( )
2

)

B.有两个相等实根 D.不能确定有无实根

A.12 答案:B

B.13

C.14

D.15

?5a1+10d=25, ?a1=1, ? ? 解析:由题意,得? 解得? ?a1+d=3, ?d=2. ? ?

于是,a7=a1+6d=1+12=13. 12.等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n 等于( A.9 答案:B 解析:∵a3+a5=2a4=14,∴a4=7. a4-a1 d= =2, 3 ∴n=10. ) B.10 C.11 D.12 )

n?n-1? n?n-1? Sn=na1+ · d =n+ ×2=n2=100 2 2

13.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36.则 a7+a8+a9 等于( A.63 答案:B 解析:∵数列{an}为等差数列, 即 2(S6-S3)=S3+(S9-S6) ∵S3=9,S6-S3=27,则 S9-S6=45. ∴a7+a8+a9=S9-S6=45. ∴S3,S6-S3,S9-S6 成等差数列. B.45 C.36 D.27

14. (2011· 安徽高考)若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2), 则 a1+a2+?+a10= ( A.15 答案:A 解析:a1+a2+?+a10=-1+4-7+10+?+(-1)10· (3×10-2) =(-1+4)+(-7+10)+?+[(-1)9· (3× 9-2)+(-1)10· (3× 10-2)]=3×5=15. 15.下列说法中,不正确的是________. ①数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7}; ②数列 1,0,-1,-2 与数列-2,-1,0,1 是相同的数列; n+1 1 ③数列{ }的第 k 项是 1+ ; n k ④数列 0,2,4,6,8,?可表示为 an=2n(n∈N*). 答案:①②④ B.12 C.-12 D.-15



解析:①数列 1,3,5,7 不可写成集合形式,故①错;②数列具有顺序故②不正确;③数 n+1 k+1 1 列{ }第 k 项为 =1+ 正确;④数列 0,2,4,6,8,?应表示为 an=2n-2(n∈N*). n k k 16. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案, 则第 n 个图案中有白色 地面砖________块.

3

答案:4n+2 解析:法一:第 1 个图案有白色地面砖 6 块,第 2 个图案有 10 块,第 3 个图案有 14 块,可以看出每个图案较前一个图案多 4 块白色的地面砖. ∴第 n 个图案有 6+4(n-1)=4n+2 块. 法二:第一个图案有白色地面砖 3×2 块,第二个图案有 5×2 块,第三个图案有 7×2 块,?, ∴第 n 个图案有(2n+1)×2=4n+2 块. 17. 若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-10n(n=1,2,3, ?), 则此数列的通项公式为 an=________. 答案:2n-11 解析:当 n=1 时,a1=S1=1-10=-9; 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11. 又 2×1-11=-9=a1, 所以数列{an}的通项公式为 an=2n-11. 18.已知命题:“在等差数列{an}中,若 4a2+a10+a( )=24,则 S11 为定值”为真命题,由 于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为________. 答案:18 解析:设括号内的数为 n,则 4a2+a10+a(n)=24, ∴6a1+(n+12)d=24. 又 S11=11a1+55d=11(a1+5d)为定值,所以 a1+5d 为定值. n+12 所以 =5,n=18. 6 1 1 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,且 Sn=Sn-1+an-1+ (n∈N*,n≥2)则数列{an} 4 2 的通项公式为________ 1 1 答案:an= n- 2 4 1 1 解析:由 Sn=Sn-1+an-1+ 得 Sn-Sn-1=an-1+ , 2 2 1 即 an-an-1= (n∈N*,n≥2), 2 1 则数列{an}是以 为公差的等差数列, 2 1 1 1 ∴an=a1+(n-1)× = n- (n∈N*). 2 2 4
4

20.(2011· 广东高考)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k =________. 答案:10 9?a1+a9? 4?a1+a4? 解析: 法一: S9=S4, 即 = , ∴9a5=2(a1+a4), 即 9(1+4d)=2(2+3d), 2 2 1 1 1 ∴d=- ,由 1- (k-1)+1+3· (- )=0 得 k=10. 6 6 6 法二:S9=S4,∴a5+a6+a7+a8+a9=0,∴a7=0,从而 a4+a10=2a7=0,∴k=10. 21.(2011· 福建高考)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3 可得 1+2d=-3. 解得 d=-2. 从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n. n[1+?3-2n?] 所以 Sn= =2n-n2. 2

进而由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35, 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7 为所求结果.

22.已知数列{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项 an; (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值.
?a1+d=1, ? 解:(1)设{an}的公差为 d,由已知条件,? ? ?a1+4d=-5,

解得 a1=3,d=-2. 所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. n?n-1? (2)Sn=na1+ d=-n2+4n=4-(n-2)2. 2 所以 n=2 时,Sn 取到最大值 4. 23.某市 2011 年底绿地面积为 560 平方千米,预计每年都比上一年新增绿地面积 4 平方千 米,问到 2021 年底该市绿地面积为多少平方千米? 解:将该市从 2011 年起每年年底的绿地面积依次排成数列,记为{an},由题意可知{an} 为等差数列,其中 a1=560,d=4,所以 an=a1+(n-1)d=4n+556.
5

2021 年底的绿地面积在数列{an}中是第 11 项, 所以 a11=556+4×11=600(平方千米). 答:到 2021 年底该市绿地面积为 600 平方千米.

24.已知递增的等差数列{an}满足 a2+a3+a4=15,a2a3a4=105,求 a1. 解:∵{an}是等差数列, ∴a2+a3+a4=3a3=15. ∴a3=5.∴a2+a4=10. ∴a2a3a4=5a2a4=105.即 a2a4=21. 又{an}是递增数列, ∴a4>a2,即 a2=3,a4=7. ∴a1=a2-d=3-2=1. a4-a2 7-3 ∴d= = =2. 2 4-2
?a2a4=21, ? 即? ?a2+a4=10, ? ?a2=3, ?a2=7, ? ? ∴? 或? ?a4=7, ?a4=3. ? ?

Sn 25.设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ }的 n 前 n 项和,求 Tn. 1 解:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 Sn=na1+ n(n-1)d. 2
? ? ? ?7a1+21d=7, ?a1+3d=1, ?a1=-2, ∵S7=7,S15=75,∴? 即? 解得? ?15a1+105d=75. ? ? ? ?a1+7d=5. ?d=1.

Sn 1 1 ∴ =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1). n 2 2 ∵ Sn+1 Sn 1 - = , n+1 n 2

Sn 1 ∴数列{ }是等差数列,其首项为-2,公差为 . n 2 1 9 ∴Tn= n2- n. 4 4

26.等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前 n 项和. a17-a1 -12-?-60? 解:数列{an}的公差 d= = =3, 16 17-1 ∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63. 由 an<0,得 3n-63<0,即 n<21. ∴数列{an}的前 20 项是负数,第 20 项以后的项都为非负数. 设 Sn、S′n 分别表示数列{an}、{|an|}的前 n 项和,

6

n?n-1? 3 123 当 n≤20 时,S′n=-Sn=-[-60n+ ×3] =- n2+ n; 2 2 2 当 n>20 时, S′n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20 n?n-1? 20×19 3 123 =-60n+ ×3-2×(-60×20+ ×3) = n2- n+1 260. 2 2 2 2 ∴数列{|an|}的前 n 项和为

?-2n + 2 n?n≤20?, S′ =? 3 123 ?2n - 2 n+1 260?n>20?.
2 n 2

3

123

2Sn 2 27.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=1,an= (n≥2),求 an. 2Sn-1
2 2Sn 2 2Sn 解:当 n≥2 时,将 Sn-Sn-1=an 代入式子 an= ,得 Sn-Sn-1= . 2Sn-1 2Sn-1

整理,得 Sn-1-Sn=2Sn· Sn-1. 1 1 两边同除 Sn· Sn-1 得 - =2(n≥2). Sn Sn-1 1 ∴数列{ }是以 2 为公差的等差数列. Sn 1 1 则 = +2(n-1)=2n-1. Sn S1 1 ∴Sn= . 2n-1 -2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= . ?2n-1??2n-3? 当 n=1 时,a1=1 不适合上式, 1?n=1?, ? ? ∴an=? -2 ,n≥2. ? ? 2 n - 1 ??2n-3? ?

7


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