当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学奥赛系列辅导资料:数学学习中的学法指导


数学学习中的学法指导
【内容综述】 本讲就数学学法中常用的几个策略作了介绍, 第一就是要不断掌握有用的先进武器—— 数学公式、定理;第二,要加强对数学概念的学习理解,在一些利用概念分析,可能减少计 算一的试题中,应尽量减少计长算量,提高解题效率;第三,提供了一个面对较难试题的思 维策略:反客为主,欲擒故纵??第四,其它 【要点讲解】 §1. 武器精,巧解题 若能不断掌握

一些有用的课外公式,无论是解高考试题,还是解数竞试题都是有用的,尤 其是高考现今强调创新,出活题考能力;而高中数竞一试又往高考靠,并且数竞从来就是在 出活题考能力(当然它要求的知识面更广,基础更坚深),二者关系极为密切,这一节,我 们介绍两个课外的有用公式实理,供大家参考。 1.等差数列 中, ① 证明

例 1.设等差数列 分析:若等差数列

满足



Sn 为其前 n 项之和,求 Sn 中最大者。

(1995 高中全国数竞赛题) 中,满足

则 Sn 最大。或当 Sn=Sm 时, 解: 由题设: 得

取最大值

故由等差数列前 n 项和是二次函数,可见 说明 本题若用常规解法,就需由题设

是最大和 ,求得 再去解

求得 n=20.计算量较大。 例 2.等差数列 , 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,若

(1995 年全国高考试题)

分析 本题若按解答题做,推理、论证计算相当繁杂,但若利用公式①就非常简单



∴ 例 3.设等差数列的前 n 项和为 Sn,已知 围. 解: , 求公差 d 的取值范

即 又∵

故 2.三面角余弦公式 在如图三面角 O—ABC 中。设面角∠AOB=Q, ∠AOC=Q1,∠BOC=Q2, 二面角 A—OC—B 大小为 ,则有公式 ,②

称为三面角余弦公式或三射线定理。当

时,就是主几课本中复习题的公式。它的证

明可在如图的基础上,作 CA、CB 分别垂直 OC、于 C、连 AB,分别在△AOB、△AOC、 △BOC 得用三角函数可分别将 AB、BC、AC 用 Q、Q1、Q2 及 OC 的关系表出,最后再在 △ABC 中利用余弦定理求得公式② 本公式无论在高考试题还是竞赛试题,多有应用。 例 4.已知二面角 M—AB—N 是直二面角,P 是棱上一点,PX、PY 分别在平面 M、N 内,且 。求 大小?(1964,北京赛题)

解:利用三面角余弦公式 得

∴ 例 5. 已 知 四 面 体 S—ABC 中 , ,

,设以 SC 为棱的二面角为 ,求 与 、β 关系。

解:由三面角余弦公式及题设,得 , ,故有 解之,得

例 6.已知正四棱锥 P—ABCD 的侧面与底面夹角为 L,相邻两侧面的夹角为β ,求证: (1981 上海竞赛题) 证:设 PO 是棱锥的高,O 是底面 ABCD 的对角线交点 作 OE⊥AD, 则 PE⊥AD, 从而∠PEO 是侧面与底面所成角 ; 作 BF⊥PC,连 DF,易证∠DFB 即两侧面间所成二面角的平面角β .

设侧棱长为 a,底面边长为 b。则侧高为

,则由三面角余弦公式有

=

=

= 又由三面角 P—BCD 知



例 7.如图正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成 BF 所成角的余弦是_____________。(1996 年全国高考试题)

面角, 则异面直线 AD 与

解 ∵AD,BF 所成角,即 BC 与 BF 所成角,由三面角余弦公式,有

说明:由上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中,显然课外的公式,担供了极其简 捷的解法,若不用这二公式,尽管问题也能解决,但要繁杂得多 这里我们才给了两个课外的有用公式, 在本教程的其它章节, 更介绍了许多有用的方法 和公式定理,也希望同学们在今后的解题实践中,不断总结,发现更多更好的解题方法,策 略和武器,为不好数学,争取得更大成绩而努力, §2 大概念 小计算 要学好数学,一定要重视概念的学习 例 8.已知集合 的值。 (1987.全国赛题改编) 分析:根据集合元素的互异性,由 N 知 X,Y 皆不为 0,又由 M=N,故知 ,从而 xy=1,进而 x、y 可求 解:由题设知 x、y≠且 xy=1,∵ 且 M=N,∴ 解方程组 可见

得 x=y=-1,舍去 x=y=1(∵与元素互异矛盾) 代入原式=-2+2-2+?-2= -2. 说明:这时重在概念分析,计算量较小。 也可发先就 x、y 是否为 1 讨论后得出原式=4002

或 例 9.过抛物线 FQ 的长分别是 p、q,求 (2000 年全国高考)

;进而去求 x、y 的值,舍去 4002-解,得出-2 的正确结论。 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 的值

分析:本题若按解答题作,需对一般情况进行计算,比较繁杂,而若概念清楚,再结合 抛物线道径长,可见令 p=q 即可迅速求解。 解 令 p=q,则 由抛物线 选 C。 例 10 如图, OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成 体积相等的两部分。求母线与轴的夹角的余弦值 ,可见 ,根据通径长为 ,应

分析 若能洞察旋转体体积求法真谛, 本题从题设可转化为以 PO 原圆锥体积之半, 于是 可轻松地得出方程

解 设原圆锥母线长为 1, 则底半径经 ,设 AD⊥PO 于 D,则

, 为圆锥顶角之半) 高 ( , 于是



由 解得

,得 ,

应选 C 说明:在这一节中,我们主要介绍了解题中减少计算量的一种方法,希望同学们加强概 念理解,尽量通过多思,找到巧解妙算解决问题的办法。在今后的章节中,我们还会介绍更 多的不同于课内知识的数学概念和方法,希望大家能够认真学习,掌握各类问题的解法。 §3 反客为主,欲擒故纵 数学习题的解决,往往都不是一帆风顺而是充满艰险的。

例 11.若 试求 的值 分析 欲求有关 的下弦,要先去求有关β 的函数关系β ( ),然后再消去β 从而得出 的欲求值,这种策略,不妨称之为“反客为主,欲擒故纵,”在很我场合这种策略行之有效。 解 由①得

由②得 . 于是

化简得



(已舍绝对值>1 的另根)

例 12.已知 求证: 分析 题设中有 的三角函数,并有参数 a、b、c。但题断中不含 应设法消去 ,为此应先求出 证:由已知易得 的三角函数,可见 。 关于 a、b、c 的关系,再设法消去

由①可见

代入②,再化简即得

说明:这一节,我们介绍了一种遇到疑难问题时,可能采用的解决问题的思想方法,也 即是战争中的正面强改不下时,就考虑迂回进攻的战略战术,在数学竞赛试题的解决中,应 时刻准备应予这种情况的出现。 例 13.当 x=-1, x=0, x=1, x=2 时,多项式 对于所有整数 X,这个多项式都取整数值。(1988 俄) 证:注意到 由题设知 d=p(0), a+b+c+d=p(1), 都是整数,故 a+b+c 也是整数。又 p(-1)=2b-(a+b+c)+d 是整数,故 2b 也是整数,而 (★) 取整数值,求证:

p(2)=6a+2b+2(a+b+c)+d 是整数,可见 6a 也是整数。又易证 可证各 P(x)是整数。 说明 为证 P(x)是整数,就需证明 a、b、c、d 是整数系数,这里借助于构造★式,转 证 6a、2b,a+b+c,d 为整数,从而证出 p(x)是整数,这也是迂回证法,竞赛数字中采用 的方法很多,希望大家认真,能认真坚持学习。 是整数,从而由(★)

【同步达纲练习】 1.①试通过已知锥体,台体公式,概括出一般的拟柱体公式

其中 若三棱柱 ABC— ,

分别表示上、下底面积,

表示中截面积。 F 将三棱柱分成体积为

②用上述公式求解 中,若 E、F 分别为 AB,AC 中点,平面 E : =________.(1990 年全国高考题)

的两部分,则

★★2.设|m|≤2,试求关于 x 的不等式 恒成立的 x 取值范围 ★★3.关于 x 的方程 有实根,求实数 a 的取值范围.

参考答案 【同步达纲练习】

1.①注意利用

; ,代入拟

②特殊化原三棱柱为边长为 2 的正三棱柱,易求得 柱体公式,得 2.构造函数 (Ⅰ)当|x|>1 时, (Ⅱ)当|x|<1 时, (Ⅲ)|x|=1 时, X=1 综上, 3.解关于 a 的方程,得 (Ⅰ)当 (Ⅱ) 时, ,原命题成立。

,求系数 x 范围。



(Ⅲ)又由 可见 时 故

21 世纪教育网


相关文章:
高中数学竞赛系列辅导材料(1)--集合1
高中数学竞赛系列辅导材料(1)--集合1_学科竞赛_高中教育_教育专区。www.100xuexi.com 圣才学习网 集合(一)内容综述: 本讲先介绍了以下一些重要的概念:集合、子...
高中数学奥赛讲义:数学学习中的学法指导
高中数学奥赛系列辅导资料... 暂无评价 9页 免费 高中数学奥赛讲义:集合 6页 ...高中数学奥赛讲义:数学学习中的学法指导 【内容综述】 本讲就数学学法中常用的...
高中数学奥赛系列辅导材料 数学竞赛训练题
高中数学奥赛系列辅导材料 数学竞赛训练题_学科竞赛_高中教育_教育专区。数学竞赛...数学竞赛训练题一.选择题(以下每题的四个选择支中,仅有一个是正确的) 1.-...
高中数学奥赛赛前辅导
高中数学奥赛赛前辅导_学科竞赛_高中教育_教育专区。包括各个知识点的奥赛例题...k ?1 . 综上,由数学归纳法①式得证. ? 8 3 ? 4 ?n ? 8 (2) lim...
高中数学奥赛辅导教材(共十讲)精品
高中数学奥赛辅导教材(共十讲)精品_高三数学_数学_...集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非...学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、...
高中数学竞赛辅导书一
高中数学竞赛辅导书一_高二数学_数学_高中教育_教育...这个比较适合刚刚开始学习奥赛的同学, 而且是才学完...即是了一段时间的学生试用的; 如果我说的话, ...
[高中数学]奥赛系列辅导材料赋值法在函数方程中的应用
[高中数学]奥赛系列辅导材料赋值法在函数方程中的应用 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 赋值法在函数方程中的应用赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式, ...
高中数学学习中的学法指导
数学学习中的学法指导 【内容综述】 本讲就数学学法中常用的几个策略作了介绍, 第一就是要不断掌握有用的先进武器—— 数学公式、定理;第二,要加强对数学...
高中数学奥赛系列辅导材料2:集合(一)
组.所以,所有“交替和”之和应该为 2 高中数学奥赛系列辅导材料 1 说明:我们在这道题的证明过程中用了这类题目最典型的解法。就是“对应”的 说明 方法,“...
更多相关标签: