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2015年罗田一中高二(18)班入学测试题


2015 年罗田一中高二(18)班入学考试数学测试题
时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:陈清华

一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知全集 U ? R ,设集合 A ? {x | y ? lg( x ? 1)} ,集合 B ? y y ? 2 x , x ?

1 , 则 A ? (CU B) = ( ) B. ?1, 2 ? C. ?1, 2 ? D. ?1, 2? A. ?1, 2?

?

?

??? ? ??? ? 2. 已知三点 A(?1, ?1), B(3,1), C (1, 4) ,则向量 BC 在向量 BA 方向上的投影为( )
A. ?
5 5

B.

5 5

C.

2 13 13

D. ?

2 13 13

? 3.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是定义在 [a ? 1, 2a] 上的偶函数,则 y ? 2cos[(a ? b) x ? ] 的最小正 3 周期是( )
A.6π B.5π C.4π
?? 2 ?( ?? 2

D.2π

? ?? ? sin ? cos 3 2 4.若 sin(? ? ? ) ? , ? 是第三象限的角,则 ? ?? ? 5 sin ? cos 2



A.

1 2

B. 2

C. ?

1 2

D. ?2

5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

8π 3

B. 6π

C.

10 π 3

D. 3π

? ? ? ? 6.命题 p : 向量 b 与向量 a 共线;命题: q 有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a ,则 p 是 q 的 ( )
A.必要不充分条件 C.充要条件 B. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
1

7.在 ?ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 且 a 2 ? b2 ? c 2 ? bc , a = 3 , S 为 ?ABC 的面积,则 S ? 3 cos B cos C 的最大值为( ) A.1 8.定义行列式运算: B. 3 ? 1 C. 3 D. 3
? sin x cos x 1 ? 3

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2 a3 .若将函数 f ( x) ?

的图象向左平移

m (m ? 0) 个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则 m 的最小值是( )
A.
2? 3

B.

?
6

C.

?
3

5 D. ? 6

9.已知椭圆 ( ) A.
1 2

x2 y2 x2 y 2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )有相同的焦点 ( )与双曲线 a2 b2 m2 n2 ? ?c,0? 和 ? c,0? ,若 c 是 a 、 m 的等比中项, n2 是 2 m 2 与 c 2 的等差中项,则椭圆的离心率是

B.

1 4

C.

2 2

D.

3 3

? x2 ? y 2 ? 4 ? 10.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 Z ? 3x ? y 的最大值为( ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?



A. 2 5

B. 5

C. 2

D. 2 10

11.设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [a, b] 上的两个函数,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? [a, b] 上有两个不同的零点,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上是“关联函数”,区间 [a, b] 称为“关 联区间” .若 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数”,则 m 的取值范围是 ( ) A. [?1,0]
9 B. ( ? ,?2] 4

C. (??,?2]

9 D. (? ,?? ) 4

sin 2 a4 ? cos2 a4 ? cos2 a4 cos2 a8 ? sin 2 a4 sin 2 a8 ?1 ? an ? sin( a ? a ) 5 7 12.设等差数列 满足: ,公差 d ? (?1, 0) .若当且仅当 n=9 时,数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是 ( )
? 7? 4? ? A. ? , ? ? 6 3 ? ? 9? ? B. ?? , ? ? 8 ?

C. ? ?

7? 4? ? , 3 ? ? 6 ?

9? ? ? D. ? ? , ? 8 ? ?

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.若直线 l 的一般式方程为 x sin ? ? 3 y ?1 ? 0(? ? R) ,则直线 l 的倾斜角的取值范围 是 .
2

14.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为
开始



s ? 0, n ? 1
n ? 2011?





s ? s ? sin

n? 3

输出 S

n ? n ?1

结束

(第 14 题图)

(第 15 题图)

15.北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15° 的看台上,同一列上的 第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° ,第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如下图所示),则旗杆的高度为 米. 16. 在 ?ABC 中, E 为边 AC 上一点,且 AC ? 3 AE , P 为 BE 上一点,且满足 m ? n ? mn 的最小值为 . AP ? m AB ? n AC(m ? 0, n ? 0) ,则 mn 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分)已知函数 y ?
(Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)当 x ? M 时,求函数 f ( x) ? log2 x ? log2 x2 ? a log2 x 的最大值。

2? x ? 2 x ? 2 的定义域为 M , 2? x

? ? ? 18. (本题满分 12 分)已知向量 a ? (cos? ,2sin ? ), b ? (2cos ? , ? sin ? ) , ?、? ? [0, ] . 2
? ? 10 4 b=- , sin ? = ,求 sin (1)若 a? 的值; (? ? 2?) 5 13 ? ? ? (2)若 c ? (0,1) ,求 a ? c 的取值范围.

3

19. (本题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 (a ? R ) (1)若不等式 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 {x | x ? 1或x ? b} ,求 a,b 的值. (2)求不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 5 ? ax (a ? R ) 的解集

20. (本题满分 12 分)如图,三棱锥 P ? ABC 中, PC ? 平面 ABC , PC ? 3, ?ACB ? 别为线段 AB, BC 上的点,且 CD ? DE ? 2, CE ? 2EB ? 2. (I)证明: DE ? 平面 PCD (II)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值。

?
2

.D, E 分

1 x2 y 2 2 2 21. (本题满分 12 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,离心率 e ? ,且过点 (2 2 , ) , a b 3 3
(1)求椭圆方程; (2) Rt ?ABC 以 A(0, b) 为直角顶点,边 AB, BC 与椭圆交于 B, C 两点,求 ?ABC 面积的最大 值.

22. (本题满分 12 分)设各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,

a1 ? a3 ? 10, a3 ? a5 ? 40. bn ? log2 an
(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 c1 ? 1, cn?1 ? cn ?

bn ,求证: cn ? 3 ; an

1 1 1 k ? ? ?????? ? ? 对任意正整数 n 均成立?若 bn ? 1 bn ? 2 bn ? n 10 存在,求出 k 的最大值,若不存在,说明理由.

(3)是否存在正整数 k ,使得

4

2015 年罗田一中高二(18)班入学考试数学测试题 完全解析
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 【答案】C 【解析】∵ A ? {x | y ? lg( x ? 1)} ? {x | x ? 1} , B ? y y ? 2 x , x ? 1 , ? { y | y ? 2} , ∴ A ? (CU B) ? {x |1 ? x ? 2} . 2. 【答案】B ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】 BC ? (?2,3) , BA ? (?4, ?2) ,所以向量 BC 在向量 BA 方向上的投影为
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BC ? BA BC ? BA ?2 ? ( ?4) ? 3 ? ( ?2) 2 5 ,故选 B. BC cos ? ? BC ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? 5 2 5 BC ? BA BA ( ?4)2 ? ( ?2)2

?

?

3.【答案】A 【解析】∵函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是定义在 [a ? 1, 2a] 上的偶函数,∴ b ? 0, a ? 1 ? 2a ? 0 , 1 1 ? 2? ∴ b ? 0, a ? ,∴ y ? 2 cos( x ? ) ,∴ T ? ? 6? 1 3 3 3 3 4.【答案】C 【解析】由题意 sin ? ? ? ,因为 ? 是第三象限的角,所以 cos ? ? ? ,
)2 1 ? sin ? 1 2 2 2 2 2 2 因此 ? ? ? ?? . ? ?? ? ?? ? ? ? ? cos ? 2 sin ? cos cos ? sin cos 2 ? sin 2 2 2 2 2 2 2 sin cos (cos

3 5

4 5

? ??

? cos

? ??

?

? sin

?

?

? sin

?

5.【答案】D 【解析】由三视图知几何体是底面半径为 1,高为 4 的圆柱,从上面斜截去
3 几何体的体积为 ? ? ?12 ? 4 ? 3? . 4
1 圆柱,所以该 4

6. 【答案】A ? ? ? ? 【解析】若 a ? 0, b ? 0 ,则任意实数 ? ,都有 b ? ? a 不成立,即 p ? q 为假命题,若有且只 ? ? ? ? 有一个实数 ? ,使得 b ? ? a ,则向量 b 与 a 共线,即 q ? p 为真命题.综上 p 是 q 的必要不 充分条件,故选 A.
5

7.【答案】C 【解析】∵ a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ,∴ cos A ? 设 ?ABC 外接圆的半径为 R ,则 2 R ?
b2 ? c2 ? a 2 1 2? ? ? ,∴ A ? , 3 2bc 2

a 3 ? ? 2 ,∴ R ? 1 , sin A sin 2? 3

1 3 ∴ S ? 3 cos B cos C ? bc sin A ? 3 cos B cos C ? bc ? 3 cos B cos C 2 4

? 3sin B sin C ? 3 cos B cos C ? 3 cos(B ? C) ,故 S ? 3 cos B cos C 的最大值为 3 .故选 C.

8.【答案】B.

? ? 【解析】由题意,得 f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ,将 y ? 2 sin( x ? ) 向左平移 6 6 ? ? m(m ? 0) 个单位后,得到 y ? 2 sin( x ? m ? ) ;? y ? 2 sin( x ? m ? ) 为奇函数,则 6 6 ? ? m ? ? k? (k ? R) ,即 m 的最小值为 . 6 6
9.【答案】A 【解析】根据题意,椭圆
x2 y2 x2 y 2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )有相 ( )与双曲线 a2 b2 m2 n2 a2 ? b2 ? m2 ? n2 ? c2 ??? (1); 又 c 是 a 、 m 的等比中项,所以

同的焦点 ? ?c,0? 和 ? c,0 ? ,所以有

c2 ? am ??? (2);
n2 是 2 m 2 与 c 2 的等差中项,所以 2n2 ? 2m2 ? c2 ??? (3); 由(1),(3)得 n2 ? 3m2 , 代入(1)得

c2 ? 4m2 ,?c ? 2m; 代入(2)得: a ? 4m; 则椭圆的离心率是
10.【答案】D

c 2m 1 ? ? . 故选 A a 4m 2

【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知目标函数 z ? 3x ? y 取得最大值时为直线 z 3x ? y ? z ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 在第一象限相切,此时有: ? 2 ,解得: 2 3 ? 12 z ? 2 10( z ? 0) . 11.【答案】B 【解析】因为函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数”,所以函数 y ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x2 ? 5x ? 4 ? m 在 [0,3] 上有两个不同的零点,根据一元二次方程根的分

6

5 25 25 布问题可知, h(0) ? 0, h(3) ? 0 , h( ) ? 0 ,即 4 ? m ? 0, ?2 ? m ? 0, ? ? 4 ? m ? 0 ,解得 2 4 2 9 ? ? m ? ?2 ,故选 B. 4

12.【答案】D 【解析】 sin 2 a4 ? cos2 a4 ? cos2 a4 cos2 a8 ? sin 2 a4 sin 2 a8 sin 2 a4 (1 ? sin 2 a8 ) ? cos2 a4 (1 ? cos2 a8 ) ? sin(a5 ? a7 ) sin 2a6

? ?

sin 2 a4 cos2 a8 ? cos2 a4 sin 2 a8 (sin a4 cos a8 ? cos a4 sin a8 )(sin a4 cos a8 ? cos a4 sin a8 ) ? sin 2a6 sin 2a6 sin(a4 ? a8 ) sin(a4 ? a8 ) ? sin(a4 ? a8 ) ? sin(?4d ) ? ? sin 4d ? 1 sin(a5 ? a7 )

因为 d ? ?? 1,0? ,所以 d ? ?

?

?a9 ? 0 ,当且仅当 n ? 9 时,前 n 项和 Sn 有最大值可得 : ? , 8 ?a10 ? 0

?a1 ? 8d ? 0 9? ,解得: ? 8d ? a1 ? ?9d ,即: ? ? a1 ? . ? 8 ?a1 ? 9d ? 0
(另解:由 S n ? na1 ?
n(n ? 1) d d d 变形得: S n ? n 2 ? ( a1 ? )n ,根据二次函数图象及对称性可 2 2 2

d (a1 ? ) 2 ? 9.5 ,解得: ? 8d ? a ? ?9d ,即: ? ? a ? 9? .) 知: 8.5 ? ? 1 1 d 8 2? 2
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分
? ? ? ? 5? ? 13.【答案】 ?0, ? ? ? , ? ? ? 6? ? 6 ?

【解析】由直线方程 x sin ? ? 3 y ?1 ? 0(? ? R) 可知该直线斜率
? 3 3? ? sin ? 3 ? sin ? ? ?? , ? ,根据 k ? tan ? (? ? ) ,结合正切函数图象,可知倾斜角范 2 3 3 ? 3 3 ? ? ? ? ? 5? ? 围是 ?0, ? ? ? , ? ? ; ? 6? ? 6 ? k?

14.【答案】

3 2

【解析】初始条件; s ? 0, n ? 1 ; 运行第 1 次 n ? 2011, 是 s ? 0 ? sin

?
3

?

3 , n ? 2; 2
7

运行第 2 次 n ? 2011, 是 s ?

3 2? ? sin ? 3, n ? 3; 2 3
3? ? 3, n ? 4; 3

运行第 3 次 n ? 2011, 是 s ? 3 ? sin 运行第 4 次 n ? 2011, 是 s ? 3 ? sin 运行第 5 次 n ? 2011, 是 s ?

4? 3 ? , n ? 5; 3 2

3 5? ? sin ? 0, n ? 6; 2 3
6? ? 0, n ? 7; 3

运行第 6 次 n ? 2011, 是 s ? 0 ? sin

可知 s 值是以 6 为周期,周期性出现的, 由于 2012 ? 6 ? 335 ? 6?? 2 , 显然当 n ? 2012 ? 2011 时条件不成立,则输出 s ? 15.【答案】 30 【解析】设旗杆点为 A ,第一排为 B ,最后一排为 C ,则在 ?ABC 中, ?C ? 450 , 10 6 AB ?B ? 1050 ,那么 ?A ? 300 ,所以根据正弦定理, ,解得 AB ? 20 3 ,所以 ? 0 sin 30 sin 450 旗杆高度 h ? 20 3 ? sin 600 ? 30 . 16.【答案】 5 ? 2 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】? AC ? 3AE,? AP ? mAB ? nAC ? mAB ? 3nAE ,又? P 为 BE 上一点,不妨设 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BP ? ? BE ? 0 ? ? ? 1? ,? AP ? AB ? BP ? AB ? ? BE ? AB ? ? AE ? AB ? ?1 ? ? ? AB ? ? AE

3 3 .故答案为: . 2 2

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?m ? 1 ? ? ,则 m ? 3n ? 1 ? ? ? ? ? 1 mAB ? 3nAE ? ?1 ? ? ? AB ? ? AE ,? AB, AE 不共线,? ? ?3n ? ?
m ? n ? mn m ? n 1 1 3n m 3n m ? 1 1? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? m ? 3n ? ? 1 ? 5 ? ? ? 5 ? 2 ? 5? 2 3 mn mn m n m n m n ?m n?

当且仅当

3n m ? ,即 m ? 3n 时等号成立. m n

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

8

?2 ? x ? 0 ?? 2 ? x ? 2 ? 17.解析:(Ⅰ) ? 2 ? x ,? , M ? ?1,2? ; ?2 x ? 2 ? 0 ? x ? 1 ?
(Ⅱ) f ( x) ? log2 x ? (2 log2 x) ? a log2 x ? 2 log2 2 x ? a log2 x 令 t ? log2 x ,则 t ? ?0,1?

? y ? 2t 2 ? at, t ? ?0,1?,对称轴为: t ? ?
当? 当?

a 4

a 1 ? ,即 a ? ?2 时, t ? 1 即 x ? 2 时; 4 2

a 1 ? ,即 a ? ?2 时, t ? 0 即 x ? 1 时, ymax ? 0 ; 4 2

?2 ? a, a ? ?2 ? ymax ? ? ?0.a ? ?2 ? ? 18.解析:(1) a ? b=2cos? cos ? ? 2sin ? sin ?

? 2 cos(? ? ? ) ? ?

10 13

? cos(? ? ? ) ? ?

5 12 ,? 0 ? ? ? ? ? ? ,? sin(? ? ? )= 1 ? cos 2 (? ? ? ) = 13 13

4 ? 3 又 sin ? = , ? ? [0, ] , cos ? = 5 2 5
sin(? ? 2? ) ? sin((? ? ? ) ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ?

12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65 ? ? (2)由已知得: a ? c ? (cos? ,2sin ? ?1) , ?

? ? a ? c ? cos2 ? ? (2sin ? ? 1)2 ? 3sin2 ? ? 4sin? ? 2

? ? ? 令 t ? sin ? ,?? ? [0, ],? t ? [0,1] , a ? c ? 3t 2 ? 4t ? 2 2

t ?[0,1]

二次函数 y ? 3t 2 ? 4t ? 2

? ? ? 6 ? ?2 ? , 2? t ?[0,1] 的值域为 ? , 2 ? ,? a ? c 的范围是 ? ?3 ? ? 3 ?

19.解析:(1)将 x ? 1 代入 ax2 ? 3x ? 2 ? 0, 则 a ? 1

? 不等式为 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 即 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0
9

? 不等式解集为 {x x ? 2 或 x ? 1 } ? b ? 2
(2)不等式为 ax2 ? (a ? 3) x ? 3 ? 0 ,即 (ax ? 3)(x ? 1) ? 0 当 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x x ? ?1} 当 a ? 0 时,方程 (ax ? 3)(x ? 1) ? 0 的根为 x1 ?
3 , x 2 ? ?1 , a

? ①当 a ? 0 时,

3 ? ?1 , a

3 ?{x x ? a 或 x ? ?1}
3 ?{x a ? x ? ?1}

②当 ? 3 ? a ? 0 时, ③当 a ? ?3 时, ④当 a ? ?3 时,

3 ? ?1 , a

3 ? ?1 , a
3 ? ?1 , a

??
3 ?{x ? 1 ? x ? a } 3 或 x ? ?1} a

综上所述,原不等式解集为①当 a ? 0 时, {x x ? ②当 ? 3 ? a ? 0 时, {x ③当 a ? ?3 时, ?
3 ④当 a ? ?3 时, { x ? 1 ? x ? } a

3 ? x ? ?1} a

⑤当 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x x ? ?1} 20.

10

DP ? ??1,?1,3?

?1 ? DA ? ? ,?1,0 ? ?2 ?

21.解析:(1)由 e ?

1 2 2 得 a ? 3b ,把点 ( 2 2 , ) 带入椭圆方程可得: 3 3

1 ( )2 2 ( 2 2 )2 3 ? 1 ? b ? 1 ,所以椭圆方程为: x ? y 2 ? 1 ? 9 9b2 b2
(2)不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1?k ? 0? ,则 AC 的方程为 y ? ?
? y ? kx ? 1 ?18k ? , 由 ? x2 得: (1 ? 9k 2 ) x 2 ? 18kx ? 0 ? xB ? 2 1 ? 9k 2 ? ? y ?1 ?9
k 用?
1 x ? 1, k

18k 1 18k 1 18k , 从而有 AB ? 1 ? k 2 , AC ? 1 ? 2 , 代入,可得 xC ? 2 2 k 9?k 1 ? 9k k 9 ? k2
2

1 1 k (1 ? k ) k 于是 S ?ABC ? AB AC ? 162 。 ? 162 2 2 1 2 (1 ? 9k )(9 ? k ) 9(k 2 ? 2 ) ? 82 k k?
令t ? k ?
1 ? 2 ,有 S k
?ABC

?

162t 162 27 ? ? 2 64 9t ? 64 9t ? 8 t

8 27 当且仅当 t= ? 2 , ( S ?ABC ) max ? . 3 8
11

22.解析:(1)设数列 ?an ? 的公比为 q ? q ? 0? ,
?a1 ? a1q 2 ? 10 ? 由题意有 ? 2 4 ? ?a1q ? a1q ? 40

? a1 ? q ? 2,? an ? 2n ,
∴ bn ? n . (2)? c1 ? 1 ? 3, cn ?1 ? cn ?
n , 2n

1 2 n ?1 当 n ? 2 时, cn ? ? cn ? cn ?1 ? ? ? cn ?1 ? cn ? 2 ? ? ??? ? ? c2 ? c1 ? ? c1 ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n ?1 2 2 2 1 1 1 2 n ? 2 n ?1 cn ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2

1 1 n ?1 n ?1 相减整理得: cn ? 1 ? 1 ? ? ??? ? n ? 2 ? n ?1 ? 3 ? n ?1 ? 3 ,故 cn ? 3 . 2 2 2 2

(3)令 f ? n ? ?
?

1 1 1 ? ?? bn ? 1 bn ? 2 bn ? n

1 1 1 ? ?? n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1

? f ? n ? 1? ? f ? n ? ? ?

1 1 ? ? 0, 2n ? 1 2n ? 2

∴ f ? n ?1? ? f ? n? . ∴数列 ? f ? n?? 单调递增,
? f ? n ?min ? f ?1? ? 1 2
k 1 ? , 10 2

由不等式恒成立得: ∴ k ? 5.

故存在正整数 k ,使不等式恒成立, k 的最大值为 4

12

双向细目表
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 考查内容 集合的交集、补集运算. 1.向量运算;2.投影定义.
函数的奇偶性、三角函数的周期

难度系数

是否强化

1.诱导公式;2.同角三角函数的基本关系. 空间几何体的三视图、空间几何体体积的求法. 充分必要条件与向量的综合 1 正弦定理;2 余弦定理;3 三角函数求最值. 1.新定义型题目;2.三角恒等变换;3.三角函数的图 像与性质. 椭圆和双曲线的几何性质,等差中项和等比中项的概 念及基本运算. 1.线性规划;2.直线与圆相切. 新定义问题,函数的零点及一元二次方程根的分布. 1.三角恒等变换公式;2.等差数列前 n 项和最值. 1.直线的斜率与倾斜角;2.正切函数图象. 1.程序框图;2.归纳推理.3.周期数列 正弦定理在实际问题中的应用 平面向量的基本定理及基本不等式
1.函数的定义域;2.对数的运算性质;3.转化与化归的思 想;4.二次函数的性质

18 19 20 21 22

(1)向量数量积的坐标运算及模的运算;(2)同角 三角函数基本关系式、两角和正弦公式,(3)换元 法及二次函数的性质。 一元二次不等式的解法及含参问题分类讨论 线面垂直的判定及二面角的求法(空间向量法) 椭圆的方程,面积的最值问题. 数列与不等式的综合
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2015 年罗田一中高二(18)班入学考试数学测试题
时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:陈清华

二. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知全集 U ? R ,设集合 A ? {x | y ? lg( x ? 1)} ,集合 B ? y y ? 2 x , x ? 1 , 则 A ? (CU B) = ( ) B. ?1, 2 ? C. ?1, 2 ? D. ?1, 2? A. ?1, 2? 【答案】C 【解析】∵ A ? {x | y ? lg( x ? 1)} ? {x | x ? 1} , B ? y y ? 2 x , x ? 1 , ? { y | y ? 2} , ∴ A ? (CU B) ? {x |1 ? x ? 2} .

?

?

?

?

??? ? ??? ? 2. 已知三点 A(?1, ?1), B(3,1), C (1, 4) ,则向量 BC 在向量 BA 方向上的投影为( )
A. ?
5 5

B.

5 5

C.

2 13 13

D. ?

2 13 13

【答案】B ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】 BC ? (?2,3) , BA ? (?4, ?2) ,所以向量 BC 在向量 BA 方向上的投影为
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BC ? BA BC ? BA ?2 ? ( ?4) ? 3 ? ( ?2) 2 5 ,故选 B. BC cos ? ? BC ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? 2 2 5 2 5 BC ? BA BA ( ?4) ? ( ?2)

? 3.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是定义在 [a ? 1, 2a] 上的偶函数,则 y ? 2cos[(a ? b) x ? ] 的最小正 3 周期是( )
A.6π B.5π C.4π D.2π

【答案】A 【解析】∵函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是定义在 [a ? 1, 2a] 上的偶函数,∴ b ? 0, a ? 1 ? 2a ? 0 , 1 1 ? 2? ∴ b ? 0, a ? ,∴ y ? 2 cos( x ? ) ,∴ T ? ? 6? 1 3 3 3 3
? ?? ? sin ? cos 3 2 4.若 sin(? ? ? ) ? , ? 是第三象限的角,则 ? ?? ? 5 sin ? cos 2
14

?? 2 ?( ?? 2



A.

1 2

B. 2

C. ?

1 2

D. ?2

【答案】C 【解析】由题意 sin ? ? ? ,因为 ? 是第三象限的角,所以 cos ? ? ? ,
? ?? ? ? ? ? ? cos cos ? sin (cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 ? 1 ? sin ? ? ? 1 . 因此 ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? cos ? 2 sin ? cos cos ? sin cos 2 ? sin 2 2 2 2 2 2 2
sin

3 5

4 5

? ??

5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

8π 3

B. 6π

C.

10 π 3

D. 3π

【答案】D 【解析】由三视图知几何体是底面半径为 1,高为 6 的圆柱,从上面斜截去
1 圆柱,所以该 4

3 几何体的体积为 ? ? ?12 ? 4 ? 3? . 4 ? ? ? ? 6.命题 p : 向量 b 与向量 a 共线;命题: q 有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a ,则 p 是 q 的 ( )

A.必要不充分条件 C.充要条件 【答案】A

B. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

? ? ? ? 【解析】若 a ? 0, b ? 0 ,则任意实数 ? ,都有 b ? ? a 不成立,即 p ? q 为假命题,若有且只 ? ? ? ? 有一个实数 ? ,使得 b ? ? a ,则向量 b 与 a 共线,即 q ? p 为真命题.综上 p 是 q 的必要不 充分条件,故选 A.
7.在 ?ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 且 a 2 ? b2 ? c 2 ? bc , a = 3 , S 为 ?ABC 的面积,则 S ? 3 cos B cos C 的最大值为( ) (A)1 【答案】C
15

(B) 3 ? 1

(C) 3

(D) 3

【解析】∵ a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ,∴ cos A ? 设 ?ABC 外接圆的半径为 R ,则 2 R ?

b2 ? c2 ? a 2 1 2? ? ? ,∴ A ? , 3 2bc 2

a 3 ? ? 2 ,∴ R ? 1 , sin A sin 2? 3

1 3 ∴ S ? 3 cos B cos C ? bc sin A ? 3 cos B cos C ? bc ? 3 cos B cos C 2 4

? 3sin B sin C ? 3 cos B cos C ? 3 cos(B ? C) ,故 S ? 3 cos B cos C 的最大值为 3 .故选 C.

8.定义行列式运算:

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2 a3 .若将函数 f ( x) ?

-sinx cos x 1 - 3

的图象向左平移

m (m ? 0) 个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则 m 的最小值是( )
A.
2? 3

B.

?
6

C.

?
3

5 D. ? 6

【答案】B.

? ? 【解析】由题意,得 f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ,将 y ? 2 sin( x ? ) 向左平移 6 6 ? ? m(m ? 0) 个单位后,得到 y ? 2 sin( x ? m ? ) ;? y ? 2 sin( x ? m ? ) 为奇函数,则 6 6 ? ? m ? ? k? (k ? R) ,即 m 的最小值为 . 6 6
9.已知椭圆 ( ) A.
1 2
x2 y2 x2 y 2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )有相同的焦点 ( )与双曲线 a2 b2 m2 n2 ? ?c,0? 和 ? c,0? ,若 c 是 a 、 m 的等比中项, n2 是 2 m 2 与 c 2 的等差中项,则椭圆的离心率是

B.

1 4

C.

2 2

D.

3 3

【答案】A 【解析】根据题意,椭圆
x2 y2 x2 y 2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )有相 ( )与双曲线 a2 b2 m2 n2 a2 ? b2 ? m2 ? n2 ? c2 ??? (1); 又 c 是 a 、 m 的等比中项,所以

同的焦点 ? ?c,0? 和 ? c,0 ? ,所以有

c2 ? am ??? (2);
n2 是 2 m 2 与 c 2 的等差中项,所以 2n2 ? 2m2 ? c2 ??? (3); 由(1),(3)得 n2 ? 3m2 , 代入(1)得

c2 ? 4m2 ,?c ? 2m; 代入(2)得: a ? 4m; 则椭圆的离心率是
16

c 2m 1 ? ? . 故选 A a 4m 2

? x2 ? y 2 ? 4 ? 10.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 Z ? 3x ? y 的最大值为( ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?



A. 2 5 【答案】D

B. 5

C. 2

D. 2 10

【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知目标函数 z ? 3x ? y 取得最大值时为直线 z 3x ? y ? z ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 在第一象限相切,此时有: ? 2 ,解得: 32 ? 12 z ? 2 10( z ? 0) . 11.设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [a, b] 上的两个函数,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? [a, b] 上有两个不同的零点,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上是“关联函数”,区间 [a, b] 称为“关 联区间” .若 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数”,则 m 的取值范围是 ( ) A. [?1,0] 【答案】B 【解析】因为函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数”,所以函数 y ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x2 ? 5x ? 4 ? m 在 [0,3] 上有两个不同的零点,根据一元二次方程根的分 5 25 25 布问题可知, h(0) ? 0, h(3) ? 0 , h( ) ? 0 ,即 4 ? m ? 0, ?2 ? m ? 0, ? ? 4 ? m ? 0 ,解得 2 4 2 9 ? ? m ? ?2 ,故选 B. 4
9 B. ( ? ,?2] 4

C. (??,?2]

9 D. (? ,?? ) 4

sin 2 a4 ? cos2 a4 ? cos2 a4 cos2 a8 ? sin 2 a4 sin 2 a8 ?1 ? an ? sin( a ? a ) 5 7 12.设等差数列 满足: ,公差 d ? (?1, 0) .若当且仅当 n=9 时,数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是 ( )
? 7? 4? ? A. ? , ? ? 6 3 ? ? 9? ? B. ?? , ? ? 8 ?

C. ? ?

7? 4? ? , 3 ? ? 6 ?

9? ? ? D. ? ? , ? 8 ? ?

【答案】D 【解析】 sin 2 a4 ? cos2 a4 ? cos2 a4 cos2 a8 ? sin 2 a4 sin 2 a8 sin 2 a4 (1 ? sin 2 a8 ) ? cos2 a4 (1 ? cos2 a8 ) ? sin(a5 ? a7 ) sin 2a6

17

? ?

sin 2 a4 cos2 a8 ? cos2 a4 sin 2 a8 (sin a4 cos a8 ? cos a4 sin a8 )(sin a4 cos a8 ? cos a4 sin a8 ) ? sin 2a6 sin 2a6 sin(a4 ? a8 ) sin(a4 ? a8 ) ? sin(a4 ? a8 ) ? sin(?4d ) ? ? sin 4d ? 1 sin(a5 ? a7 )

因为 d ? ?? 1,0? ,所以 d ? ?

?

?a9 ? 0 ,当且仅当 n ? 9 时,前 n 项和 Sn 有最大值可得 : ? , 8 ?a10 ? 0

?a1 ? 8d ? 0 9? ,解得: ? 8d ? a1 ? ?9d ,即: ? ? a1 ? . ? 8 ?a1 ? 9d ? 0
(另解:由 S n ? na1 ?
n(n ? 1) d d d 变形得: S n ? n 2 ? ( a1 ? )n ,根据二次函数图象及对称性可 2 2 2

d (a1 ? ) 2 ? 9.5 ,解得: ? 8d ? a ? ?9d ,即: ? ? a ? 9? .) 知: 8.5 ? ? 1 1 d 8 2? 2
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.若直线 l 的一般式方程为 x sin ? ? 3 y ?1 ? 0(? ? R) ,则直线 l 的倾斜角的取值范围 是 .
? ? ? ? 5? ? 【答案】 ?0, ? ? ? , ? ? ? 6? ? 6 ?

【解析】由直线方程 x sin ? ? 3 y ?1 ? 0(? ? R) 可知该直线斜率
? 3 3? ? sin ? 3 ? sin ? ? ?? , ? ,根据 k ? tan ? (? ? ) ,结合正切函数图象,可知倾斜角范 2 3 3 ? 3 3 ? ? ? ? ? 5? ? 围是 ?0, ? ? ? , ? ? ; ? 6? ? 6 ? k?

14.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为



18

【答案】

3 2

【解析】初始条件; s ? 0, n ? 1 ; 运行第 1 次 n ? 2011, 是 s ? 0 ? sin 运行第 2 次 n ? 2011, 是 s ?

?
3

?

3 , n ? 2; 2

3 2? ? sin ? 3, n ? 3; 2 3
3? ? 3, n ? 4; 3

运行第 3 次 n ? 2011, 是 s ? 3 ? sin 运行第 4 次 n ? 2011, 是 s ? 3 ? sin 运行第 5 次 n ? 2011, 是 s ?

4? 3 ? , n ? 5; 3 2

3 5? ? sin ? 0, n ? 6; 2 3
6? ? 0, n ? 7; 3

运行第 6 次 n ? 2011, 是 s ? 0 ? sin

可知 s 值是以 6 为周期,周期性出现的, 由于 2012 ? 6 ? 335 ? 6?? 2 , 显然当 n ? 2012 ? 2011 时条件不成立,则输出 s ?

3 . 2

故答案为:

3 . 2

15.北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15° 的看台上,同一列上的 第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° ,第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如下图所示),则旗杆的高度为 米.

【答案】 30
19

【解析】设旗杆点为 A ,第一排为 B ,最后一排为 C ,则在 ?ABC 中, ?C ? 450 , 10 6 AB ,解得 AB ? 20 3 ,所以 ?B ? 1050 ,那么 ?A ? 300 ,所以根据正弦定理, ? 0 sin 30 sin 450 旗杆高度 h ? 20 3 ? sin 600 ? 30 . 16. 在 ?ABC 中, E 为边 AC 上一点,且 AC ? 3 AE , P 为 BE 上一点,且满足 m ? n ? mn 的最小值为 . AP ? m AB ? n AC(m ? 0, n ? 0) ,则 mn 【答案】 5 ? 2 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】? AC ? 3AE,? AP ? mAB ? nAC ? mAB ? 3nAE ,又? P 为 BE 上一点,不妨设 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BP ? ? BE ? 0 ? ? ? 1? ,? AP ? AB ? BP ? AB ? ? BE ? AB ? ? AE ? AB ? ?1 ? ? ? AB ? ? AE

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?m ? 1 ? ? ,则 m ? 3n ? 1 ? ? ? ? ? 1 mAB ? 3nAE ? ?1 ? ? ? AB ? ? AE ,? AB, AE 不共线,? ? 3 n ? ? ?
m ? n ? mn m ? n 1 1 3n m 3n m ? 1 1? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? m ? 3n ? ? 1 ? 5 ? ? ? 5 ? 2 ? 5? 2 3 mn mn m n m n m n ?m n?

当且仅当

3n m ? ,即 m ? 3n 时等号成立. m n

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 已知函数 y ?
(Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)当 x ? M 时,求函数 f ( x) ? log2 x ? log2 x2 ? a log2 x 的最大值。 17【答案】(Ⅰ)[1,2];(Ⅱ) ymax ? ?

2? x ? 2 x ? 2 的定义域为 M , 2? x

?2 ? a, a ? ?2 ?0.a ? ?2

?2 ? x ?0 ? 试题分析:(Ⅰ)根据解析式可知 ? 2 ? x ,解不等式组得函数的定义域;(Ⅱ)先根据对数的 x ?2 ? 2 ? 0 ?
运算性质化简函数的解析式 f ( x) ? 2 log2 2 x ? a log2 x ,再通过换元将问题转化为求二次函数在给定 区间上的最值问题,利用二次函数的性质得解.
20

?2 ? x ? 0 ?? 2 ? x ? 2 ? 试题解析:(Ⅰ) ? 2 ? x ,? , M ? ?1,2? ; ?2 x ? 2 ? 0 ? x ? 1 ?
(Ⅱ) f ( x) ? log2 x ? (2 log2 x) ? a log2 x ? 2 log2 2 x ? a log2 x 令 t ? log2 x ,则 t ? ?0,1?

? y ? 2t 2 ? at, t ? ?0,1?,对称轴为: t ? ?
当? 当?

a 4

a 1 ? ,即 a ? ?2 时, t ? 1 即 x ? 2 时; 4 2

a 1 ? ,即 a ? ?2 时, t ? 0 即 x ? 1 时, ymax ? 0 ; 4 2

?2 ? a, a ? ?2 ? ymax ? ? ?0.a ? ?2
? ? ? 18. 已知向量 a ? (cos? ,2sin ? ), b ? (2cos ? , ? sin ? ) , ?、? ? [0, ] . 2
? ? 10 4 b=- , sin ? = ,求 sin (1)若 a? 的值; (? ? 2?) 5 13 ? ? ? (2)若 c ? (0,1) ,求 a ? c 的取值范围.

【答案】(1)

16 6 ,1] 。 ;(2) [ 65 3

5 ,然后求出 13 sin(? ? ? ) ,把角 ? ? 2? 拆成 (? ? ? ) ? ? ,利用两角和得正弦公式可得 sin 的值; (? ? 2?) ? ? (2)因为 a ? c ? (cos? ,2sin ? ?1) , a ? c ? ? 3sin2 ? ? 4sin? ? 2 ,然后利用换元法,求 ? ? a ? c 的取值范围.
试题分析:(1)由已知结合向量数量积的坐标运算得 cos(? ? ? ) ? ?
? ? 试题解析:(1) a ? b=2cos? cos ? ? 2sin ? sin ?
? 2sin (? ? ?)=-

10 10 ? 2 cos(? ? ? ) ? ? 13 13

? cos(? ? ? ) ? ?

5 12 ,? 0 ? ? ? ? ? ? ,? sin(? ? ? )= 1 ? cos 2 (? ? ? ) = 13 13

4 ? 3 又 sin ? = , ? ? [0, ] , cos ? = 5 2 5
21

sin(? ? 2? ) ? sin((? ? ? ) ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ?

12 3 5 4 16 ? ? ? ? 13 5 13 5 65 ? ? (2)由已知得: a ? c ? (cos? ,2sin ? ?1) , ?

? ? a ? c ? cos2 ? ? (2sin ? ? 1)2

? 3sin2 ? ? 4sin? ? 2
? ? ? 令 t ? sin ? ,?? ? [0, ],? t ? [0,1] , a ? c ? 3t 2 ? 4t ? 2 2 t ?[0,1]

二次函数 y ? 3t 2 ? 4t ? 2
? ? 6 ? a ? c 的范围是 [ ,1] 3

2 t ?[0,1] 的值域为 [ ,1] , 3

19. 已知关于 x 的不等式 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 (a ? R ) (1)若不等式 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 {x | x ? 1或x ? b} ,求 a,b 的值. (2)求不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 5 ? ax (a ? R ) 的解集 【答案】(1) a ? 1, b ? 2 (2)①当 a ? 0 时, {x x ?
3 或 x ? ?1} ②当 ? 3 ? a ? 0 时, a 3 3 { x ? x ? ?1} ③当 a ? ?3 时, ? ④当 a ? ?3 时, { x ? 1 ? x ? } ⑤当 a ? 0 时,原不等式解集为 a a

?x x ? ?1}

试题分析:(1)本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系,由题目所给条件知 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根为 x ? 1或x ? b ,且 a ? 0 ,根据根与系数的关系,即可求出 a , b 的值. (2)本题考察的是解含参一元二次不等式,根据题目所给条件和因式分解化为 ? ax ? 3?? x ?1? ? 0,然后通过对参数 a 进行分类讨论,即可求出不等式的解集. 试题解析:(1)将 x ? 1 代入 ax2 ? 3x ? 2 ? 0, 则 a ? 1

? 不等式为 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 即 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 ? 不等式解集为 {x x ? 2 或 x ? 1 } ?b ? 2
(2)不等式为 ax2 ? (a ? 3) x ? 3 ? 0 ,即 (ax ? 3)(x ? 1) ? 0 当 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x x ? ?1}
22

当 a ? 0 时,方程 (ax ? 3)(x ? 1) ? 0 的根为 x1 ?

3 , x 2 ? ?1 , a

? ①当 a ? 0 时,

3 ? ?1 , a

3 ?{x x ? a 或 x ? ?1}
3 ?{x a ? x ? ?1}

②当 ? 3 ? a ? 0 时, ③当 a ? ?3 时, ④当 a ? ?3 时,

3 ? ?1 , a

3 ? ?1 , a

??
3 ?{x ? 1 ? x ? a }
3 或 x ? ?1} a

3 ? ?1 , a

综上所述,原不等式解集为①当 a ? 0 时, {x x ? ②当 ? 3 ? a ? 0 时, {x ③当 a ? ?3 时, ?
3 ④当 a ? ?3 时, { x ? 1 ? x ? } a 3 ? x ? ?1} a

⑤当 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x x ? ?1} 20. 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PC ? 平面 ABC , PC ? 3, ?ACB ? 的点,且 CD ? DE ? 2, CE ? 2EB ? 2. (I)证明: DE ? 平面 PCD (II)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值。

?
2

.D, E 分别为线段 AB, BC 上

23

DP ? ??1,?1,3?

?1 ? DA ? ? ,?1,0 ? ?2 ?

21. 已知椭圆

1 x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,离心率 e ? ,且过点 (2 2 , ) , 2 a b 3 3

(1)求椭圆方程; (2) Rt ?ABC 以 A(0, b) 为直角顶点,边 AB, BC 与椭圆交于 B, C 两点,求 ?ABC 面积的最大 值. 【答案】(1)
x2 ? y2 ? 1 9
27 8

(2) ( S ?ABC ) max ?

试题分析:第一问根据椭圆的离心率,得出 a , c 的关系,进一步得出 a , b 的关系,结合椭圆 过的一个点,将其带入椭圆方程,即可求得相应的参数,从而得出椭圆的方程,第二问设出 直线 BC 的方程,与椭圆方程联立,求得点 B 的横坐标,同理求得点 C 的横坐标,根据直
24

角,从而得出弦长,应用面积公式将三角形的面积转化为关于 k 的关系式,应用基本不等式 求得最值. 试题解析:(1)由 e ?
2

1 2 2 得 a ? 3b ,把点 ( 2 2 , ) 带入椭圆方程可得: 3 3

1 ( )2 x2 (2 2 ) 3 ? 2 ? 1 ? b ? 1 ,所以椭圆方程为: ? y 2 ? 1 2 9 9b b
(2)不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1?k ? 0? ,则 AC 的方程为 y ? ?
? y ? kx ? 1 ?18k ? , 由 ? x2 得: (1 ? 9k 2 ) x 2 ? 18kx ? 0 ? xB ? 2 2 1 ? 9 k ? y ? 1 ? ?9
k 用?
1 x ? 1, k

18k 1 18k 1 18k , 从而有 AB ? 1 ? k 2 , AC ? 1 ? 2 , 代入,可得 xC ? 2 2 k 9?k 1 ? 9k k 9 ? k2

1 k? 1 k (1 ? k 2 ) k 于是 S ?ABC ? AB AC ? 162 。 ? 162 2 2 1 2 (1 ? 9k )(9 ? k ) 2 9(k ? 2 ) ? 82 k
令t ? k ?
1 ? 2 ,有 S k
?ABC

?

162t 162 27 ? ? 2 9t ? 64 9t ? 64 8 t

8 27 当且仅当 t= ? 2 , ( S ?ABC ) max ? . 3 8

22. 设各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 10, a3 ? a5 ? 40. bn ? log2 an (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 c1 ? 1, cn?1 ? cn ?

bn ,求证: cn ? 3 ; an

1 1 1 k ? ? ?????? ? ? 对任意正整数 n 均成立?若 bn ? 1 bn ? 2 bn ? n 10 存在,求出 k 的最大值,若不存在,说明理由.

(3)是否存在正整数 k ,使得

【答案】(1) bn ? n (2) cn ? 3 (3) k 的最大值为 4 试题分析:(1)设出等比数列的公比 q ,运用等比数列的通项公式,解得首项和公比,再 由对数的运算性质即可得通项公式.

25

本题是求数列的前 n 项和的范围,求和方法有很多种,本题中运用累加法求得 cn ,再由错位 相减法求和,即可得证.
1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ? ,判断其单调 bn ? 1 bn ? 2 bn ? n n ? 1 n ? 2 2n 性,进而得到最小值,解不等式即可得出 k 的取值范围.

(3)假设存在正整数 k ,令 Sn ?

试题解析:(1)设数列 ?an ? 的公比为 q ? q ? 0? ,
2 ? ?a1 ? a1q ? 10 由题意有 ? 2 4 ? ?a1q ? a1q ? 40

? a1 ? q ? 2,? an ? 2n ,

∴ bn ? n . (2)? c1 ? 1 ? 3, cn ?1 ? cn ?
n , 2n

1 2 n ?1 当 n ? 2 时, cn ? ? cn ? cn ?1 ? ? ? cn ?1 ? cn ? 2 ? ? ??? ? ? c2 ? c1 ? ? c1 ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n ?1 2 2 2
1 1 1 2 n ? 2 n ?1 cn ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 n ?1 n ?1 相减整理得: cn ? 1 ? 1 ? ? ??? ? n ? 2 ? n ?1 ? 3 ? n ?1 ? 3 ,故 cn ? 3 . 2 2 2 2

(3)令 f ? n ? ?
?

1 1 1 ? ?? bn ? 1 bn ? 2 bn ? n

1 1 1 ? ?? n ?1 n ? 2 2n
1 1 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1

? f ? n ? 1? ? f ? n ? ? ?

1 1 ? ? 0, 2n ? 1 2n ? 2

∴ f ? n ?1? ? f ? n? . ∴数列 ? f ? n?? 单调递增,
? f ? n ?min ? f ?1? ? 1 2
k 1 ? , 10 2
26

由不等式恒成立得:

∴ k ? 5. 故存在正整数 k ,使不等式恒成立, k 的最大值为 4

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