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2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(48)椭圆


课时作业(四十八) [第 48 讲

椭圆]

[时间:45 分钟 基础热身

分值:100 分]

x2 1.[2011· 长沙四县调研] 已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆 3 的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ) A.2

3 B.6 C.4 3 D.12 x2 y2 2.[2011· 济宁一模] 椭圆 + =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 12 3 的中点 M 在 y 轴上,那么点 M 的纵坐标是( ) 3 3 A.± B.± 4 2 2 3 C.± D.± 2 4 x2 y2 3.[2011· 临沂一模] 设 P 是椭圆 + =1 上一点,M、N 分别是两圆:(x+4)2+y2=1 25 9 和(x-4)2+y2=1 上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( ) A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12 x2 y2 4.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若 a b ∠F1PF2=60° ,则椭圆的离心率为( ) 2 3 1 1 A. B. C. D. 2 3 2 3 能力提升 5.条件 p:动点 M 到两定点距离的和等于定长,条件 q:动点 M 的轨迹是椭圆,条件 p 是条件 q 的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 x2 y2 6.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是以角 B a b 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( ) 3-1 5-1 A. B. 2 2 1+ 5 3+1 C. D. 4 4 7.以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系 是( ) A.内切 B.相交 C.相离 D.无法确定 x2 8.[2011· 沈阳二中模拟] 椭圆 +y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M 在椭圆上, 4 → → MF1· MF2=0,则 M 到 y 轴的距离为( )

x2 y2 9.已知 M 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点,左、右焦点为 F1,F2,点 P 是△MF1F2 的 a b |MP| 内心,连接 MP 并延长交 F1F2 于 N,则 的值为( ) |PN| a A. 2 a -b2 b B. 2 a -b2 a2-b2 b 2 a -b2 D. a C. 10.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 3 ,且椭圆上一点到椭 2

2 3 2 6 A. B. 3 3 3 C. D. 3 3

圆的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________. 11.[2011· 济宁一模] 以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点, 顺次连接这四个点和两个焦点,恰好得到一个正六边形,那么椭圆的离心率等于________. x2 y2 12.已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆 C 上一点,且 a b → → PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. x2 y2 3 13.[2011· 吉林一中期末] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F a b 2 → → 且斜率为 k(k>0)的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点.若AF=3FB,则 k=________. x2 y2 14.(10 分)已知点 A,B 分别是椭圆 + =1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦 36 20 点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP 的距离等于|MB|, 求椭圆上的点到点 M 的距离的最小值.

15.(13 分)已知平面内曲线 C 上的动点到定点( 2,0)和定直线 x=2 2的比等于

2 . 2

(1)求该曲线 C 的方程; → → → (2)设动点 P 满足OP=OM+2ON,其中 M,N 是曲线 C 上的点.直线 OM 与 ON 的斜 1 率之积为- .问:是否存在两个定点 F1、F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求 F1、F2 2 的坐标;若不存在,说明理由.

x2 y2 16. (12 分)[2011· 株洲调研] 已知中心在原点的椭圆 C: 2+ 2=1 的一个焦点为 F1(0,3), a b 3 M(x,4)(x>0)为椭圆 C 上一点,△MOF1 的面积为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OM 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

难点突破

课时作业(四十八) 【基础热身】 1.C [解析] 根据椭圆定义,△ABC 的周长等于椭圆长轴长的 2 倍,即 4 3. 2.A [解析] 不妨设 F1(-3,0),设 P(x0,y0),则-3+x0=0,故 x0=3,代入椭圆方程 3 3 得 y0=± ,故点 M 的纵坐标是± . 2 4 3.C [解析] 由题意得最大值 2a+2、最小值 2a-2,a=5,故最大值是 12、最小值 是 8. b2 3b2 c 3 -c,± ?,再由∠F1PF2=60° 4.B [解析] 因为 P? 有 =2a,从而可得 e= = . a? ? a a 3 【能力提升】 5.B [解析] 设两定点距离 2c,定长为 2a.当 2a>2c 时,为椭圆;当 2a=2c 时,为线 段;当 2a<2c 时,无轨迹.故动点 M 到两定点距离的和等于定长时,动点 M 的轨迹不一定 是椭圆;当动点 M 的轨迹是椭圆时,动点 M 到两定点距离的和一定等于定长. 6.B [解析] 根据已知 a2+b2+a2=(a+c)2,即 c2+ac-a2=0,即 e2+e-1=0,解得 -1± 5 5-1 e= ,故所求的椭圆的离心率为 . 2 2 7.A [解析] 如图,设线段是 PF1,O1 是线段 PF1 的中点,连接 O1O,PF2,其中 O 是椭圆的中心,F2 是椭圆的另一个焦点,则在△PF1F2 中,由三角形中位线定理可知,两圆 1 1 1 的连心线的长是|OO1|= |PF2|= (2a-|PF1|)=a- |PF1|=R-r. 2 2 2

→ → 8.B [解析] 条件MF1· MF2=0,说明点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,点 M 又在椭 圆上,通过方程组即可求得点 M 的坐标,即可求出点 M 到 y 轴的距离.椭圆的焦点坐标是 (± 3,0),点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,该圆的方程是 x2+y2=3,即 y2=3-x2,代 x2 8 2 6 入椭圆方程得 +3-x2=1,解得 x2= ,即|x|= ,即点 M 到 y 轴的距离. 4 3 3 9.A [解析] 由于三角形内心是三个内角的平分线的交点,使用三角形内角平分线性

质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系.如图,连接 PF1,PF2.在△MF1F2 |MP| |MF1| |MP| 中, F1P 是∠MF1N 的平分线, 根据三角形内角平分线性质定理, = , 同理可得 |PN| |F1N| |PN| |MF2| |MP| |MF1| |MF2| |MP| |MF1|+|MF2| 2a a = ,故有 = = ,根据等比定理 = = = 2 . |F2N| |PN| |F1N| |F2N| |PN| |F1N|+|F2N| 2 a2-b2 a - b2

x2 y2 x2 y2 10. + =1 [解析] 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 根据椭圆定义 2a=12, 即 a=6, 36 9 a b 2 2 c 3 x y 又 = ,得 c=3 3,故 b2=a2-c2=36-27=9,故所求椭圆方程为 + =1. a 2 36 9 11. 3-1 [解析] 如图所示,设 A,B 是椭圆的两个焦点,P 是圆与椭圆的一个交点, 则由正六边形的性质,△PAB 是一个直角三角形,且∠BAP=30° ,所以 AP=ABcos30° = 3 c 2 c,BP=c,根据椭圆定义 AP+BP=2a,故 3c+c=2a,所以 e= = = 3-1. a 3+1

12.3 [解析] 方法 1:设椭圆的焦点坐标为(± c,0),根据椭圆定义和△PF1F2 是一个面 |PF1|+|PF2|=2a, ? ? |PF2|=18, 积等于 9 的直角三角形,有?|PF1|· 2 ? ?|PF1| +|PF2|2=4c2. 第一式两端平方并把第二、三两式代入可

得 4c2+36=4a2,即 a2-c2=9,即 b2=9,即 b=3. 90° 方法 2:利用本讲【问题思考】问题 4 的结论,b2tan =9,解得 b=3. 2 c 3 4 1 3x2 3y2 13. 2 [解析] 根据已知 = ,可得 a2= c2,则 b2= c2,故椭圆方程为 2+ 2 =1, a 2 3 3 4c c 2 2 2 2 2 即 3x +12y -4c =0.设直线的方程为 x=my+c,代入椭圆方程得(3m +12)y +6mcy-c2= → → 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则根据AF=3FB,得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1= 2cm c2 cm 3y2,根据韦达定理 y1+y2=- 2 ,y1y2=- ,把-y1=3y2 代入得,y2= 2 , m +4 3?m2+4? m +4 c2 1 -3y2 =- ,故 9m2=m2+4,故 m2= ,从而 k2=2,k=± 2.又 k>0,故 k= 2. 2 2 2 3?m +4? 14.[解答] (1)由已知可得点 A(-6,0),F(4,0), → → 设点 P(x,y),则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y), x2 y2 ? ?36+20=1, 由已知可得?

? ??x+6??x-4?+y2=0,

3 则 2x2+9x-18=0,解得 x= 或-6,由于 y>0, 2 3 5 3 故 x= ,于是 y= , 2 2 3 5 3? ∴点 P 的坐标是? , . ?2 2 ? (2)由(1)得直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0,设点 M(m,0),

|m+6| |m+6| 则 M 到直线 AP 的距离是 ,于是 =6-m, 2 2 又-6≤m≤6,解得 m=2.椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d 有 9 5 4 9 x- ?2+15,由于-6≤x≤6,∴当 x= 时,d d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20- x2= ? 9 9? 2? 2 取得最小值 15. 15.[解答] (1)设曲线 C 上动点的坐标为(x,y),根据已知得 ?x- 2?2+y2 2 = ,化简 2 |x-2 2|

x2 y2 整理这个方程得 + =1,即为曲线 C 的方程. 4 2 → → → (2)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则由OP=OM+2ON得 (x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2), 即 x=x1+2x2,y=y1+2y2, x2 y2 因为点 M,N 在椭圆 + =1 上, 4 2 2 2 2 所以 x1+2y1=4,x2+2y2 2=4, 2 2 2 故 x2+2y2=(x2 + 4 x + 4 x 1 2 1x2)+2(y1+4y2+4y1y2) 2 2 2 2 =(x1+2y1)+4(x2+2y2)+4(x1x2+2y1y2) =20+4(x1x2+2y1y2). 设 kOM,kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题意知, y1y2 1 kOM· kON= =- ,因此 x1x2+2y1y2=0, x1x2 2 所以 x2+2y2=20, x2 y2 所以 P 点是椭圆 + =1 上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1、F2,则由椭 ?2 5?2 ? 10?2 圆的定义,|PF1|+|PF2|为定值,又因为 c= ?2 5?2-? 10?2= 10,因此两焦点的坐标分别 为 F1(- 10,0)、F2( 10,0). 【难点突破】 x2 16.[解答] (1)因为椭圆 C 的一个焦点为 F1(0,3),所以 b2=a2+9,则椭圆 C 的方程为 2 a 2 y 1 3 + 2 =1.因为 x>0,所以 S△MOF1= ×3×x= ,解得 x=1, 2 2 a +9 故点 M 的坐标为(1,4). 1 16 因为 M(1,4)在椭圆上,所以 2+ 2 =1,得 a4-8a2-9=0,解得 a2=9 或 a2=-1(不 a a +9 x2 y2 合题意,舍去),则 b2=9+9=18,所以椭圆 C 的方程为 + =1. 9 18 (2)假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其方程为 y= 4x+m(因为直线 OM 的斜率 k=4). y=4x+m, ? ?2 2 由?x y 消去 y,化简得 18x2+8mx+m2-18=0. + = 1 ? ? 9 18 m2-18 8m 进而得到 x1+x2=- ,x1· x2= . 18 18 因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,所以 Δ=(8m)2-4×18×(m2-18)>0,化简得 m2<162,解得-9 2<m<9 2. → → 因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点,所以OA· OB=0,所以 x1x2+y1y2=0. 又 y1y2=(4x1+m)(4x2+m)=16x1x2+4m(x1+x2)+m2, 17?m2-18? 32m2 2 x1x2+y1y2=17x1x2+4m(x1+x2)+m = - +m2=0,解得 m=± 102. 18 18

由于± 102∈(-9 2,9 2),所以符合题意的直线 l 存在,且所求的直线 l 的方程为 y =4x+ 102或 y=4x- 102.


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