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数形结合2


数学科学学院本科学年论文

探讨高中数形结合应用

本科学年论文

论文题目:探讨高中数形结合应用

学生姓名: 学 专 班 号: 业: 级:

岳刚 0908290008 数学与应用数学 09 级应数本(2) 徐君

指导教师:

完成日期



2010 年

11 月

30 日

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数学科学学院本科学年论文

探讨高中数形结合应用

目录
前言.............................................................................................................4 正文.............................................................................................................4 应用.............................................................................................................5 一、解决集合问题 ........................................................................5 二、解决函数问题 ........................................................................5 三、解决方程与不等式的问题 ....................................................6 四、解决三角函数问题 ................................................................6 五、解决线性规划问题 ................................................................7 六、解决解析几何问题 ................................................................8 总结...........................................................................................................12 参考文献.............................................................................................13

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探讨高中数形结合应用

探讨高中数形结合应用
内容摘要

数形结合就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察,根据解决问题的需要,可以 把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论, 或者把图形的性质问题转化为数量关系的 问题来研究,简言之“数形相互取长补短” 。 数形结合作为一种常见的数学方法, 沟通了代 数、三角与几何的内在联系。一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量 关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精 确的结论。因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法,而应作为一种十分重要的数学思想 方法, 使抽象思维和形象思维结合起来。它可以拓宽学生的解题思路, 提高他们的解题能 力,将它作为知识转化为能力的“桥”。 华罗庚先生说过:“数与形本是两依倚,焉能分作两边飞。数缺形时少直观,形少数时 难入微。”,“切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离。”

关键词:

数形结合思想

直观

数学教学

应用

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探讨高中数形结合应用

前言

数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而 产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想、数学方法是密不可分的, 对于数学方法来说, 思想是其相应的方法的精神实质和理论基础, 方法则是实施有关思想的 技术手段。中学数学中出现的数学观点和各种数学方法,都体现着一定的数学思想。数形结 合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。

正文
所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问 题的一种重要思想方法。正如我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂 分家万事非”,“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合思想通过“以 形助数,以数解形” ,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有 助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。在中学数学思想中,有 一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果, 这些思想可以称之为基本数 学思想。1 中学阶段的基本数学思想包括:分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化 的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。数形结合是数学解 题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。2:中学 数学教学中处处渗透着基本数学思想,如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动 上, 它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。 在这些数学思想方法中数 形结合思想是一种很重要的方法, 它贯穿于整个中学数学的教学课程。 本文针对数形结合思 想在数学教学中的应用简单谈一下自己的看法。本文以高中数形结合思想为线开展探讨。 高考对数形结合思想的考察,一方面是通过解析几何或者平面向量考察对一些几何问题 如何用代数方法来处理, 另一方面, 有一些代数问题则是依靠几何图形的构造和分析帮助解 决。在使用过程中,由“形”到“数”的转换,往往比较明显,而由“数”到“形”的转换 缺需要转换的意识,因此数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。

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应用
下面就数形结合思想在集合问题、函数、方程、不等式、数列及解析几何中的应用做一 个系统的分析。

一、解决集合问题
在集合运算中常常借助于数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算,从而使问题 得以简化,使运算快捷明了。 例 1 : 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。 分析: 对于这两个有限集合 , 我们可以将它们在数轴上表 示出来, 就可以很清楚的 知道结果。如图 1, 由图我们不难得出 A∩B=[0,3]。

二、解决函数问题
利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值),求解变量的取值范围,运用数形结合 思想考查化归转化能力、逻辑思维能力,是函数教学中的一项重要内容。 例 2: (06 浙江卷) 对 a,b ? R,记 max|a,b|= ? 的最小值是 。
2 2

?a , a ? b 函数 f (x) =max||x+1|,|x-2||(x ? R) b , a < b ?

分析 :由 x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? x ?

1 , 2

? ? x ?1 故 f ?x ? ? ? ? ?x?2 ? ?

1? ? ?x ? ? 2 ? ,其图象如右, ? 1? ? ?x ? ? 2? ?

y ? x?2

y ? x ?1

则 f min ?x ? ? f ? ? ?

?1? ?2?

1 3 ?1 ? 。 2 2
5

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三、解决方程与不等式的问题
处理方程问题时,把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题;处理不等式时,从题目 的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意义,从图形上找出解题的思路。 例 3: 不等式 2 x ? 3 ? x ? 0 的
2

解集是() 。

(A){x|-1<x<3} (B){x|x>3 或 x<-1} (C){x|-3<x<1} (D){x|x>1 或 x<-3} 分析:以图解,分析解得取值范围。

四、解决三角函数问题
有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题, 一般借助于单位圆或三角函 数图像来处理,数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 例 4:求下列函数的定义域:

?1?y ?
?2?y ?

2 sin 2 x ? cos x ? 1

?3?y ? ?3?y ?
2

sin x ? tgx

log2

1 ?1 sin x

sin x ? tgx

解:(1)为使函数有意义,需满足 2sin x+cosx-1≥0

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由单位圆,如图 2-11 所示 ? ? x 2k? ?

? ?

2? 2? ? 2k? ? , k ? z? 3 3

(2)为使函数有意义,需满足 ?

1 1 ? ? ?log2 ? ? 0 ?sin x ? 即 ? sin x 2 ? ? sin x ? 0 ? sin x ? 0 ?

? ? ? 5? ? ? x 2k? ? x ? 2k? ? , k ? z? ? ? x 2k? ? ? N ? 2k? ? ? , k ? z? 6 6 ? ?
【说明】 求函数的定义域通常是解不等式组,利用“数形结合”,借助于数轴画线 求交集的方法进行.在求解三角函数,特别是综合性较强的三角函数的定义域,我们同样可 以利用“数形结合”,在单位圆中画三角函数线,求表示各三角不等式解集的扇形区域的交 集来完成.

五、解决线性规划问题
线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。 从图形上找思路恰好就体现了数形 结合思想的应用。

?5 x ? 11y ? ?22 ? 例 6 某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须满足约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 9 则 z= ? 2 x ? 11 ?
10x+10y 的最大值是 (A)80 答案 C 解析:此题为线性规划中求最优解问题. (B)85 (C)90 (D)95

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其步骤应为:作出可行域,寻找最优解.(注意:x,y∈z ). 故找到(5,4) ∴z=10x+10y 最大值为 10×5+10×4=90.

+

六、解决解析几何问题
解析几何的基本思想就是数形结合, 在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、 线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

例 7:如图,以椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的中心 O 为圆心,分别以 a 和 b 为半径作大圆 a2 b2

和小圆. 过椭圆右焦点 F(c, 0)(c>b)作垂直于 x 轴的直线交大圆于第一象限内的点 A.连结 OA 交小圆于点 B.设直线 BF 是小圆的切线. (Ⅰ)证明 c =ab,并求直线 BF 与 y 轴的交点 M 的坐标;
2

(Ⅱ)设直线 BF 交椭圆于 P、Q 两点,证明 OP.OQ ?

1 2b

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分析:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关 系等解析几何的基础知识和基本思想方法,考查推理及运算能力. (Ⅰ)证明:由题设条件知,Rt△OFA∽Rt△OBF,故

OF OB c b ? ,即 ? . OA OF a c
因此,c =ab. 解:在 Rt△OFA 中,
2

FA ? OA2 ? OF 2 ? a 2 ? c 2 ? b .
于是,直线 OA 的斜率 k OA ?

b .设直线 BF 的斜率为 k,则 c

k ??

1 c ?? kOA b
b (x-c),令 x=0,则 c

这时,直线 BF 的方程为 y ? ?

y?

c 2 ab ? ?a b b

所以直线 BF 与 y 轴的交点为 M(0,a).

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ),得直线 BF 的方程为 y=kx+a,且

k2 ?

c 2 ab a ? ? .② b2 b2 b
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由已知,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则它们的坐标满足方程组

? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 ③ ?a b ? ? y ? kx ? a
由方程组③消去 y,并整理得 (b +a k )x +2a kx+a -a b =0 ④ 由①、②和④,
2 2 2 2 3 4 2 2

x1 x2 ?

a 4 ? a 2b 2 a 2 a 2 ? b 2 a 3b 2 ? ? b 2 ? a 2k 2 b 2 ? a 2 ? a a 3 ? b3 b

?

?

由方程组③消去 x,并整理得。 (b +a k )y -2ab y+a b -a b k =0.⑤ 由式②和⑤,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y1 y2 ?

a b 1? k b2 ? a2k 2
2 2

?

2

?

? a? a 2b 2 ?1 ? ? 2 2 ? b ? ? a b ?b ? a ? . ? a a 3 ? b3 b2 ? a 2 ? b

综上,得到

a 3b 2 a 2b 2 ?b ? a ? a 2b 3 OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 3 ? ? 2 . 3 a ? b3 a ? b3 a3 ? b
注意到 a -ab+b =a -c +b =2b ,得。
2 2 2 2 2 2

OP ? OQ ?

a 2b 3 a 2b 3 a 2b ? ? a 3 ? b 3 ?a ? b? ? 2b 2 2?a ? b?

?

ac2 a a 2 ? b2 1 2 ? ? a ? ab 2?a ? b? 2?a ? b? 2

?

?

?

?
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?

1 2 1 a ? c2 ? b2 2 2

?

?

分析: 本题是一道很具有代表性的高中数形结合与用算的综合结合题, 本题以数形结合的思 想串接着整个题的中心思想,使用算简便,条理清晰。

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总结
结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来, 使抽象思维与形象思维结合起来, 关键是代 数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。发挥数与形两 种信息的转换及其优势互补与整合,巧妙应用数形结合的思想方法,不仅能直观地发现解题 的途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化解题的过程。 “数无形时不直观, 形无数时 难入微” 。华罗庚先生恰当地指出了 “数” 与 “形” 的相互依赖、相互制约的辩证关 系, 是对数形结合方法最通俗的、最深刻的剖析。 数形结合思想分析和解决问题时, 要注意三点: 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义 以及曲线的代数特征, 对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义; 第 二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确 定参数的取值范围 总之, 在教学中要注重数形结合思想方法的培养, 在培养学生数形结合思想的过程中, 要充 分挖掘教材内容 , 将数形结合思想渗透于具体的问题中 , 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来

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参考文献

【1】徐国央。 数形结合思想在数学解题中的应用[J].宁波教育学院学报, 2009,(01). 【2】杨琴。 高等数学教学中应重视数形结合思想的作用[J].才智,2009,(15). 【3】莫红梅。 谈数形结合在中学数学中的应用[J]. 教育实践与研究 , 2003,(12) 【4】王银篷。 浅谈数形结合的方法[J]. 中学数学, 2004,(12) 【5】曲一线。 金榜一号. 首都师范大学出版社, 2009-6-1

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