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2.2.1《条件概率》


2.2.1《二项分布及其应用 -条件概率》

探究:3张奖券中只有1张能中奖,现分别由3名同学

一般地,我们用?来 无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是 表示所有基本事件的 集合,叫做基本事件 否比其他同学小? 空间(或样本空间)

分析:

若抽到中奖奖券用"Y "

; 表示,没有抽到用" N " 表示, 那么所有可能的抽取情况为? ? {YNN , NYN , NNY }

用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件,
一般地,n(A)表示 由古典概型可知,最后一名同学抽到中奖奖券的 事件A包含的基本 事件的个数 n( B ) 1

则B ? { NNY }

概率为:P ( B ) ?

n(? )

?

3

思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券, 你知道第一名同学
的抽奖结果为什么 那么最后一名抽到中奖奖券的概率又是多少? 会影响最后一名同 分析: 学的抽奖结果吗?

若抽到中奖奖券用"Y " 表示,没有抽到用" N " 表示,
不妨设“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A,

则A ? { NYN , NNY }
用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件, 则B ? { NNY }
n( B ) 1 ? 最后一名同学抽到奖券的概率为P ( B | A) ? ? n( A) 2
注:P(B|A)表示在事件A发生的条件下B发生的概率

思考:你知道第一名同学的抽奖结果为什么会影响
最后一名同学的抽奖结果吗? 分析: 若不知道第一名同学的抽奖结果,则样本空间为、

? ? {YNN , NYN , NNY }
若知道了第一名同学的抽奖结果,则样本空间变成

A ? { NYN , NNY }
但因为最后一名中奖的情况只有一种{NNY} 故概率会发生变化

分析:求P(B|A)的一般思想 因为已经知道事件A必然发生,所以只需在A发生 的范围内考虑问题,即现在的样本空间为A。

因为在事件A发生的情况下事件B发生,等价于事 件A和事件B同时发生,即AB发生。 故其条件概率为

n( AB ) P ( B | A) ? n( A)

为了把条件概率推广到一般情形,不妨记原来的 样本空间为?,则有

n( AB ) / n(? ) P ( AB ) P ( B | A) ? ? n( A) / n(? ) P ( A)

条件概率的定义:
一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,则

P ( AB ) P ( B A) ? P ( A)

在原样本空间 的概率

称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。 注意: (1)条件概率的取值在0和1之间,即0≤P(B|A) ≤1 (2)如果B和C是互斥事件,则 P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A) (3)要注意P(B|A)与P(AB)的区别,这是分清条件概率 与一般概率问题的关键。

概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系 联系:事件A,B都发生了 区别:
样本空间不同: 在P(B|A)中,事件A成为样本空间; 在P(AB)中,样本空间仍为?。

例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回 地依次抽取2道题,求: (1)第一次抽取到理科题的概率; (2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率;
解:设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题 为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. (1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为

n(? ) ? A ? 20
2 5

根据分步乘法计数原理,n( A) ? A ? A ? 12
1 3 1 4

n( A) 12 3 ? P ( A) ? ? ? n(? ) 20 5

例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回 地依次抽取2道题,求: (1)第一次抽取到理科题的概率; (2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率;
解:设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题 为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.

(2) ? n( AB ) ? A ? 6
2 3

n( AB ) 6 3 ? P ( AB ) ? ? ? n(? ) 20 10

例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回 地依次抽取2道题,求: (1)第一次抽取到理科题的概率; (2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率; (3)在第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题 的概率。 (3)解法一:由(1)(2)可得,在第一次抽到理科题 的条件下,第二次抽到理科题的概率为

3 P( AB) 10 1 P( B A) ? ? ? 3 2 P( A) 5

例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回 地依次抽取2道题,求: (1)第一次抽取到理科题的概率; (2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率; (3)在第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题 的概率。
解法二:因为n(AB)=6,n(A)=12,所以

n( AB) 6 1 P( B A) ? ? ? n( A) 12 2
解法三:第一次抽到理科题,则还剩下两道理科、 两道文科题 故第二次抽到理科题的概率为1/2

例3、一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可 从0~9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时, 忘记了密码的最后一位数字,求 (1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次 就按对的概率。

解:设第i次按对密码为事件Ai ( i ? 1, 2) 则A ? A1 ? ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。

(1)因为事件Ai与事件 A1 A2互斥,由概率的加法公式得

1 9?1 1 P ( A) ? P ( A1 ) ? P ( A1 A2 ) ? ? ? 10 10 ? 9 5

例3、一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可 从0~9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时, 忘记了密码的最后一位数字,求 (1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次 就按对的概率。

解:设第i次按对密码为事件Ai ( i ? 1, 2) 则A ? A1 ? ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。

(2)用B表示最后一位按偶数的事件,则

1 4?1 2 P ( A B) ? P ( A1 B) ? P ( A1 A2 B) ? ? ? 5 5? 4 5

小结:
1、条件概率的定义: 设A,B为两个事件,则在事件A发生的条件下, 事件B发生的概率就叫做的条件概率 2、条件概率的计算公式

n( AB ) P ( AB ) P ( B A) ? ? n( A) P ( A)


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