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2015届第一中学高三第四次(文科)数学月考题


一中 2015 届高三第一学期第四次月考题考试 数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.复数 (i ? 1)2 等于 A. ? 2i B. 2i C. 2 ? 2i D. 2 ? 2i

8.直线 y ? kx ? 3 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,则 k 的值是 A. 2 2 B. 2 C. ?2 2 D. ? 2

? x ? 2 y ? 4, ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则目标函数 z ? y ? x 的最大值是 ? x ? 2 ? 0, ?
A.5 B. -1 C.-5 D.0 10. ?ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分 ?ACB, CB ? 1, CA ? 3, CA ? CB ? 2 ,则 CD=

2.集合 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? x x ? 2 则 A ? B ? A. ?x | x ? 3? C. ?x |1 ? x ? 2? 3.函数 f ( x) ? A. C. B.

?

?

?

?

?x | 2 ? x ? 3?

A.

30 4

B.

6 2

C.

15 8

D.

3 2

D. ?x |1 ? x ? 2?

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题) 11.已知函数 f ( x) ? ?

x ?1 的定义域是 x
B.

?log 2 x, x ? 0
x ?2 , x ? 0

,则 f (1) ? ________;

?x | x ? ?1? ?x | x ? 0?
1 3

?x | x ? 0?

12.曲线 y ? x3 ? x 2 ? 1 在点 M (1,1) 处的切线的方程是__________;

D. x | ?1 ? x ? 0, 或x ? 0

?

?
D.2

13.直线 y ? x 是双曲线

4.若一个三棱柱的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A. B.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线,则双曲线的离心率_______; a 2 b2

2 3

C. 1

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 若 A, B 的极坐标分别为 (2,

?

5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下命题正确的是 A. 若l ? m ? ? , 则l ? ? C. 若l / /? , m ? ? , 则l / / m B. 若l ? ? , l / / m, 则m ? ? D. 若l / /? , m / /? , 则l / / m

), (3, ) , 则 AB 6 2

?



15.(几何证明选讲选做题),如图,圆 O 的直径 AB=5,C 是圆上一点,过点 A 的圆 O 切线交 BC 的 延长线于点 D,且 AD ?

20 ,则 BC ? _______. 3

6.如果等差数列 ?an ? 中,那么 a1 ? a3 ? 6, a2 ? A.2 B. 3 C. 4 D.6 7.程序框图如图所示,输出 S 的值是 A.7 B.11 C. 12 D.25

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答写出文字说明、证明过程和演算步骤 16.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 3sin x ? cos x ? 2cos2 x ,在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满 足 b ? c ? a ? bc ? 0
2 2 2

(1) 求证: A1C1 / / 面 ABC;

(2)求证: A1C1 ? 平面 B1BCC1

(3)求三棱锥 B ? ACC 1 1 的体积。

(1) 求角 A 的值;(2)求 f ( A) 的值;(3)求 f ( B ) 的取值范围。 17. (本小题满分 12 分) 某校高三学生数学调研测试后,随机地抽取部分学生进行成绩统计,如图所示是抽取出来的所有学 生的测试成绩统计结果的频率分布直方图。

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的相邻两项 an , an?1 是 x 的方程 x2 ? (1 ? 2n) x ? bn ? 0(n ? N ? ) 的两根且 a1 ? 2 (1) 求证:数列 ?an ? n?是等比数列 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn

x2 y 2 ? ? 1(a 2 ? 2) 的右焦点 F 到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3。 a 2 b2

(1) 椭圆 C 的方程、 (1)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计该校高三学生数学调研测试 的平均分; ( 2 ) 用 分 层 抽 样 的 方 法 在 分 数 段 为 ?110,130? 的 学 生 中 抽 取 一 个 容 量 为 6 的 样 本 , 则 (2) 是否存在直线 l : y ? kx ? 1 ,使 l 与椭圆 C 交于两不同的点 M、N,且 FM ? FN ?若存在, 求出 k 的值,若不存在,请说明理由。 21.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ?

?110,120?, ?120,130? 的学生分别抽取多少人?
(3)将(2)中抽取的样本看成一个总体,从中任取 2 人,求恰好有 1 人在分数段 ?110,120? 的概率。 18.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 多 面 体 ABC ? A1B1C1 中 , 四 边 形 A 1 ABB 1 是 边 长 为 a 的 正 方 形 , AB=AC, BC ?

1 2 ax ? (b ? 1) x ? ln x(a ? 0, b ? R) 2

(1)当 a ? 2, b ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数有两个极值点 x1 和 x2 , 0 ? x1 ? 2 ? x2 ? 4 求证:b<2a (3)已知 g ( x) ? f ( x) ? (1 ? b) x, u2 ? u1 ? 0 ,求证:

2 AB , A1 A ? 平面 ABC, BC / / B1C1 ,且 BC ? 2B1C1 。

g (u2 ) ? g (u1 ) ?2 a u2 ? u1

一、选择题:

ACDCB

一中 2015 届高三第一学期第四次月考题考试 数学(文科)试卷 答案 BBCAA 13. 2 14.

? BC // B1C1 ,且 BC= 2B1C1 ? DC1 //B1 B
15.3
2 2

? BD//B1C1

……2 分

?四边形 BDC1 B1 为平行四边形 ? A1 A//C1 D
…………4 分

∵四边形 A1 ABB 1 A//B1 B 1 是正方形,∴ A ∴ AD // A1C1

二、填空题: 11.0

12. 5 x ? y ? 4 ? 0
2 2 2

7
2

?四边形 ADC1 A1 为平行四边形……3 分

三、解答题: 16.解:(1) ? b ? c ? a ? bc ? 0

A? ?co s

b ?c ?a 1 ? ? …1 分 2bc 2

∵ AD ? 平面ABC , A1C1 ? 平面ABC?A1C1∥面 ABC;……………5 分 (2) ? A1 A ? 平面 ABC, AD ? 平面 ABC

? A ? (0, ? )

?A?

2? 3

………………3 分

(2)由题意得

? A1 A ? AD …6 分? A1 A // C1 D ? C1 D ? AD 7 分 ? BC ? C D ? D ? AD ? 平面 BCC1 B1 …9 分
1

f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos2 x = 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1= 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ………5 分

由题意得, ?ABC 是等腰直角三角形,且 ?CAB 是直角

2? 2? ? ) ? 2 sin( 2 ? ? ) ? 1 = ?1 …… …………7 分 3 3 6 2? 1 (3)由(1)知 A ? 又? A ? B ? C ? ? ? B ? C ? ? 3 3 1 1 ? ? ? 5 ? 0 ? B ? ? ? ? 2 B ? ? ? ……9 分 ? ? sin( 2 B ? ) ? 1 3 2 6 6 6 6

? f ( A) ? f (

? D 是 BC 中点 ? ? AD // A1C1

AD ? BC …8 分 又
1 1

? AC

? 平面 BCC1 B1 …10 分
1 1 ? ? ? BC ? C1 D ? A`1C1 3 2

………10 分 ……12 分

(3) VB ? A1CC1

1 ? V A1 ? BCC1 ? ? S ?BCC1 ? A1C1 ………12 分 3

? 2 ? 2 sin( 2 B ? ) ? 1 ? 3
6

?

? 2 ? f ( B) ? 3 ? f ( B ) 的取值范围为 (2,3]

17、解: (1)估计该校高三学生数学调研测试的平均分为 75 ? 0.005 ? 10 ? 85 ? 0.020 ? 10 ? 95 ? 0.035 ? 10 ? 105 ? 0.025 ?10 ? 115 ? 0.010 ?10 ? 125 ? 0.005 ?10 = 98(分)……3 分 (2)设(110,120],(120,130]的学生分别抽取 x , y 人;根据分层抽样的方法: x:y=2:1 ,且 x+y=6, 所以 x=4 ,y=2………6 分答:(110,120],(120,130]的学生分别抽取人数为 4 人和 2 人。….7 分

1 1 2 1 ? ? ? 2a ? a ? a ? a 3 ………13 分? 3 2 2 6

三棱锥 B- A1CC1 的体积为
*

1 3 a 6

………14 分

19、解:(1)∵ a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? (1 ? 2n) x ? bn ? 0 (n ? N ) 的两根 ∴ an ? an?1 ? 1 ? 2n ……3 分 ∴ an?1 ? (n ? 1) ? ?(an ? n) ……7 分

,120] 的分数段抽取 4 人,记为 a、b、c、d;应在 (120,130] 的分数段抽取 2 人, (3)由(2)得在 (110
记为 m、n. …8 分 从中抽取 2 人的所有的基本事件有 ( a, b) ,( a, c ) , ( a , d ) ,(a, m) , ( a, n) ,

∵ a1 ? 2 ,即 a1 ? 1 ? 1 ∴数列 ?an ? n? 是 1 为首项,-1 为公比的等比数列 ……9 分 (2)由(1)知 an ? n ? 1? (?1)
n?1

,故 an ? n ? (?1)

n?1

………………11 分

(b, c ) , (b, d ) , (b, m) , (b, n) , (c, d ) , (c, m) , (c, n) , (d , m) , ( d , n) , (m, n) 共 15 个。…10 分

,120] 为事件 A, 设抽取的 2 人中, 恰好有 1 人在分数段 (110 它包含的基本事件有 (a, m) ,( a, n) , (b, m) , (b, n) , (c, m) , (c, n) , (d , m) , ( d , n) 共 8 个。………11 分 ,120] 的概率 P ( A) ? 根据古典概型的计算公式得,恰好有 1 人在分数段 (110
18.证明:(1) 如右图,作 BC 中点 D,连接 AD、 B1 D 、 C1 D ………1 分

∴ S n ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? [1 ? 1 ? 1 ? ? ? (?1) n?1 ] ………………12 分

8 ……12 分 15

? n(n ? 1) ? 1, n是奇数 ? (1 ? n)n 1 ? (?1) (1 ? n)n 1 ? (?1) ? 2 = …13 分∴ S n ? ? ……14 分 ? ? ? n ( n ? 1 ) 2 1 ? (?1) 2 2 ? , n是偶数 ? ? 2
n n

20.解:(1)解法一:根据题意,点 F 的坐标是 ( a 2 ? 2 ,0) ………………1 分 ∵ F 到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3 ∴

∴ x1 和 x2 是 ax2 ? (b ? 1) x ? 1 ? 0 在 (0,??) 的两个不同的解 ∴设 h( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? 1 ,则该函数有两个不同的零点 x1 和 x2 …………7 分

| a2 ? 2 ? 2 2 | 2

? 3 ………………2 分
x y ? ? 1 ……4 分 4 2
2 2

∴ a2 ? 2 ?

2 , a2 ? 4

……3 分

∴椭圆 C 的方程是

∵ 0 ? x1 ? 2 ? x2 ? 4

? h ( 0) ? 0 ?4a ? 2b ? 1 ? 0 ? ∴ ?h( 2) ? 0 ,即 ? ………………8 分 ?16a ? 4b ? 3 ? 0 ? h ( 4) ? 0 ?


(2)假设存在直线 l : y ? kx ? 1 ,使 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M、N,且 | FM |?| FN | .设 MN 的中 点为 H,则 FH ? l



3 1 ? 4a ? b ? ? 2a 4 2

3 1 1 ? 4a ? ? 2a得a ? 4 2 8
………………9 分

? y ? kx ? 1 ? 2k 1 ? , ) …7 分 由 ? x2 ,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 2 ? 0 …5 分∴点 H 的坐标是 ( y2 2 2 1 ? 2 k 1 ? 2 k ? ? 1 ? 2 ?4
∵点 F 的坐标是 ( 2 ,0) …8 分 ∴ k FH

∴b

?

1 ? 2a ? 4a ? 2a ? 2a 2

1 ?0 2 1 1 ? 2 k …10 分 ? ?? 2 ? 2k 2 2 k ? 2 k ? 2 ? 2 1 ? 2k 2
∵ 2 2k ? k ? 2 ? 0 无解
2

(3)证明: g ( x) ? f ( x) ? (1 ? b) x ? ∵ g ?( x) ? ax ? ∵ u 2 ? u1 ? 0

1 2 ax ? ln x 的定义域是 (0,??) 2

1 ?0 x

∴函数 g ( x) 在 (0,??) 上是增函数 ∴|

∵ FH ? l ∴ k FH k ? ?1 ,即 2 2k ? k ? 2 ? 0 …12 分
2

∴ g (u 2 ) ? g (u1 )

g (u 2 ) ? g (u1 ) g (u 2 ) ? g (u1 ) |? u 2 ? u1 u 2 ? u1

∴不存在直线 l : y ? kx ? 1 ,使 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M、N,且 | FM |?| FN | 21.解:(1) f ( x) ? x ? 3x ? ln x 定义域是 (0,??)
2

…14 分

∴要证 |

g (u 2 ) ? g (u1 ) |? 2 a ,只要证 g (u2 ) ? 2 au2 ? g (u1 ) ? 2 au1 …12 分 u 2 ? u1

………………1 分 设 H ( x) ? g ( x) ? 2 a x( x ? 0) ,由题意得只需证 H ( x) ? g ( x) ? 2 a x( x ? 0) 是增函数. 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

∴ f ?( x) ? 2 x ? 3 ?

1 2 x ? 3x ? 1 ? ( x ? 0) ……2 分 x x
2

1 ,或 1 2

∴ H ( x) ?

1 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; …………3 分 2 2 1 1 ∴ ( ,1) 是函数 f ( x) 的减区间, ( 0, ) 和 (1,??) 是 f ( x) 的增区间………………4 分 2 2
∴当 x ? 1, 或0 ? x ? (2)函数 f ( x) 有两个极值点 x1 和 x2 ∴ f ?( x) ? 0 在 (0,??) 有两个不同的解 x1 和 x2

1 2 1 1 ax ? ln x ? 2 a x , H ?( x) ? ax ? ? 2 a ? 2 ax ? ? 2 a ? 0 。 2 x x
……13 分 ∵ u 2 ? u1 ? 0

∴ H ( x) ? g ( x) ? 2 a x 在 (0,??) 上是增函数

∴ H (u 2 ) ? H (u1 ) ,∴ g (u2 ) ? 2 au2 ? g (u1 ) ? 2 au1 ∴|

1 ax ? (b ? 1) x ? 1 ∵ f ?( x) ? ax ? (b ? 1) ? ? x x
2

………………6 分

g (u 2 ) ? g (u1 ) |? 2 a u 2 ? u1

………………14 分


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