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江苏省苏南2013届高三第一次调研测试 数学试题


南京市 2013 届高三第一次调研测试
参考公式: (1)样本数据 x1 , x 2 ,?, x n 的方差 s 2 ? 1 ? ( xi ? x ) 2 ,其中 x ? 1 ? xi . n i ?1 n i ?1 (2)函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ? 的导函数 f ?( x) ? ? ? cos ?? x ? ? ? ,其中 ?, 都是常数.

? 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. ........ 1. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y 2 ? x2 ? 1 的离心率为 2. 若复数 z 满足 ?1 ? 2i ? z ? ?3 ? 4i ( i 是虚数单位) ,则 z = 3. 在右图的算法中,最后输出的 a,b 的值依次是 . . . a ?1 b ?2 c ?3 c ?a a ?b b ?c Print a,b
(第 3 题)
n n

4. 一组数据 9.8, 9.9, 10,a, 10.2 的平均数为 10,则该组数据的方差 为 .

5. 设全集 U ? Z,集合 A ? x x ? x ? 2≥0,x ? Z ,则 ?U A ?
2

?

?

.(用列举法表示) .

6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a = (1,2), a ? 1 b ? (3,1),则 a ? b ? 2

7. 将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在 1,2 号盒子中各有 1 个球的概率为 8. .

设 P 是函数 y ? x ? x ? 1? 图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的取值范围是 .
x , y ? x2 , y ?
1

9. 如图,矩形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别在函数 y ? log

2 2

? ? 的图象上,
2 2
x

且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2,则点 D 的坐标为 10.观察下列等式:
13 ? 1 ,

.

y 2 A 1 D O 1
(第 9 题)

13 ? 23 ? 9 ,
13 ? 23 ? 33 ? 3, 6 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 1 ,0 0

B

C

x

?? 猜想: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?
3 3 3 3



( n ? N ).
*

11.在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为棱 AA1 、 D1C1 上的动点,点 G 为正方形
B1 BCC1 的中心. 则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图形中,面积的最大

值为

. . y B

12.若 a1 x≤sin x≤a2 x 对任意的 x ? ?0,π ? 都成立,则 a2 ? a1 的最小值为 ? 2? ? ? 13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆
2 x2 ? y ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,B,C 分别为椭 a 2 b2

圆的上、下顶点,直线 BF2 与椭圆的另一交点为 D . 若 cos ?F1 BF2 ? 7 ,则直线 CD 的斜率为 25 . F1 O F2 D C
(第 13 题)

x

14.各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成 公差为 d(d > 0)的等差数列,后三项依次成公比为 q 的 等比数列. 若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的集合为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 2sin A cos C ? sin B ,求 a 的值; c (2)若 sin(2 A ? B) ? 3sin B ,求 tan A 的值. tan C

16.(本小题满分 14 分) 如图,在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 // CC1 , A1 B ? A1D , AB ? AD .求证: (1) AA1 ? BD ; (2) BB1 // DD1 . A1 B1 D1 C1

D A B
(第 16 题)

C

17.(本小题满分 14 分) 将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 捆白杨树苗,B 组种植 200 捆 沙棘树苗.假定 A,B 两组同时开始种植. (1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 2 小时,种植一捆沙棘树苗用时 1 小时.应如 2 5 何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短? (2)在按(1)分配的人数种植 1 小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为 2 小时, 5 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 2 小时,于是从 A 组抽调 6 名志愿者加入 B 组继 3 续种植,求植树活动所持续的时间.

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 .
0) (1)若过点 C1 (?1, 的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为

y

6 ,求直线 l 的方程; 5

.C

2

(2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的 坐标;若不经过,请说明理由.

C1

.

O

x

(第 18 题)

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? sin x . (1)设 P,Q 是函数 f ( x) 图象上相异的两点,证明:直线 PQ 的斜率大于 0; (2)求实数 a 的取值范围,使不等式 f ( x)≥ax cos x 在 ?0,π ? 上恒成立. ? 2?

20. (本小题满分 16 分) 设数列{ a n }的各项均为正数.若对任意的 n ? N* ,存在 k ? N* ,使得 an? k 2 ? an ? an ? 2k 成立,则称 数列{ a n }为“Jk 型”数列. (1)若数列{ a n }是“J2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2n ; (2)若数列{ a n }既是“J3 型”数列,又是“J4 型”数列,证明:数列{ a n }是等比数列.

南通市 2012 届高三第一次调研测试 数学Ⅱ (附加题)

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. ................... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图,AB 是半圆 O 的直径,延长 AB 到 C,使 BC ? 3 ,CD 切半圆 O 于点 D, DE⊥AB,垂足 为 E.若 AE∶EB ? 3∶1,求 DE 的长. D

A B.选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)

· O

E

B

C

(第 21-A 题)

?0 1 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? kx 在矩阵 ? ? 对应的变换下得到的直线过点 P(4, 1) , ?1 0 ?

求实数 k 的值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆 ? ? a sin ? ( a ? 0 )与直线 ? cos ? ? ? ? 1 相切,求实数 a 的值. ?

?

?

D.选修 4—5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 已知正数 a , b , c 满足 abc ? 1 ,求证: (a ? 2)(b ? 2)(c ? 2)≥27 .

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 .......

字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分)

2an 已知数列{ a n }满足: a1 ? 1 , an?1 ? (n ? N* ) . 2 an ? 1
(1)求 a 2 , a 3 的值; (2)证明:不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 都成立.

23. (本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(1,0) .过抛物线在 x 轴上 方的不同两点 A 、 B 作抛物线的切线 AC 、 BD ,与 x 轴分别交于 C 、 D 两点,且 AC 与 BD 交于 点 M ,直线 AD 与直线 BC 交于点 N . (1)求抛物线的标准方程; (2)求证: MN ? x 轴; (3)若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F(1,0) , 求证:直线 AB 过定点. C B M N O F D y A

x

南通市 2012 届高三第一次调研测试
数学Ⅰ参考答案及评分建议
(第 23 题)

一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共 70 分. 1. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y 2 ? x2 ? 1 的离心率为 答案: 2 2. 若复数 z 满足 ?1 ? 2i ? z ? ?3 ? 4i ( i 是虚数单位) ,则 z = 答案:1 + 2i 3. 在右图的算法中,最后输出的 a,b 的值依次是 答案:2,1 4. 一组数据 9.8, 9.9, 10,a, 10.2 的平均数为 10,则该组数据的方差为 答案:0.02 5. 设全集 U ? Z,集合 A ? x x2 ? x ? 2≥0,x ? Z ,则 ?U A ? 答案:{0,1} ▲ ▲ . ▲ . ▲ . a ?1 b ?2 c ?3 c ?a a ?b b ?c Print a,b
(第 3 题)

.

?

?



(用列举法表示).

6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a = (1,2), a ? 1 b ? (3,1),则 a ? b ? 2 答案:0



.

7. 将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在 1,2 号盒子中各有 1 个球的概率为 答案: 2 9 8. 设 P 是函数 y ? x ( x ? 1) 图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的取值范围是 答案: ? π ,π ?3 2 ? ▲ . y 2 A 1 D O 1
(第 9 题)



.

?
1

9. 如图,矩形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别在函数
y ? log x , y ? x2 , y ?

B

2 2

? 22 ? 的图象上,且矩形
x

的边分别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2,则 点 D 的坐标为 答案: 1 ,1 2 4 ▲ .

C

x

? ?

10.观察下列等式:
13 ? 1 ,

13 ? 23 ? 9 ,
13 ? 23 ? 33 ? 3, 6 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 1 ,0 0

?? 猜想: 13 ? 23 ? 33 ? ? ? ? ? n3 ?
? n(n ? 1) ? 答案: ? ? 2 ? ?
2



( n ? N* ).

11.在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为棱 AA1 、 D1C1 上的动点,点 G 为正方形
B1 BCC1 的中心. 则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中,面积的最

大值为 答案:12



. y B 值 为

12.若 a1 x≤sin x≤a2 x 对任意的 x ? ?0,π ? 都成立,则 a2 ? a1 的最小 ? 2? ? ? ▲ . F1

O

F2 D

x

C
(第 13 题)

答案: 1 ? 2 π 13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别为椭圆
2 x2 ? y ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,B,C 分别为椭圆 a 2 b2

的上、下顶点,直线 BF2 与椭圆的另一交点为 D . 若
cos ?F1 BF2 ? 7 ,则直线 CD 的斜率为 25



.

答案: 12 25 14.各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成公差为 d(d > 0)的等差数列,后三项 依次成公比为 q 的等比数列. 若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的集合为 答案: 二、解答题 15.本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识,考查 运算求解能力.满分 14 分. 在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 2sin A cos C ? sin B ,求 a 的值; c (2)若 sin(2 A ? B) ? 3sin B ,求 tan A 的值. tan C 解: (1)由正弦定理,得 sin A ? a . sin B b 从而 2sin A cos C ? sin B 可化为 2a cos C ? b . ????????????????3 分
2 2 2 由余弦定理,得 2a ? a ? b ? c ? b . 2ab



.

?5,8? 3 7

整理得 a ? c ,即 a ? 1 . ?????????????????????????7 分 c (2)在斜三角形 ABC 中, A ? B ? C ? ? , 所以 sin(2 A ? B) ? 3sin B 可化为 sin ?? ? ? A ? C ?? ? 3sin ?? ? ? A ? C ?? , ? ? ? ? 即 ? sin ? A ? C ? ? 3sin ? A ? C ? .??????????????????????10 分 故 ? sin A cos C ? cos A sin C ? 3(sin A cos C ? cos A sin C ) . 整理,得 4sin A cos C ? ?2 cos A sin C , ??????????????????12 分 因为△ABC 是斜三角形,所以 sinAcosAcosC ? 0 , 所以 tan A ? ? 1 .???????????????????????????14 分 tan C 2

16.本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分. 如图,在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 // CC1 , A1 B ? A1D , AB ? AD .求证: D1 (1) AA1 ? BD ; (2) BB1 // DD1 . 证明: (1)取线段 BD 的中点 M ,连结 AM 、 A1M , 因为 A1 D ? A1B , AD ? AB , A D M B
(第 16 题)

A1 B1

C1

C

所以 BD ? AM , BD ? A1M .?????????????????????3 分 又 AM ? A1M ? M , AM 、A1M ? 平面 A1 AM ,所以 BD ? 平面 A1 AM . 而 AA1 ? 平面 A1 AM , 所以 AA1 ? BD .????????????????????????????7 分 (2)因为 AA1 // CC1 ,
AA1 ? 平面 D1DCC1 , CC1 ? 平面 D1DCC1 ,

所以 AA1 // 平面 D1DCC1 .???????????????????????9 分 又 AA1 ? 平面 A1 ADD1 ,平面 A1 ADD1 ? 平面 D1 DCC1 ? DD1 ,????????11 分 所以 AA1 // DD1 .同理得 AA1 // BB1 , 所以 BB1 // DD1 .???????????????????????????14 分

17.本题主要考查函数的概念、最值等基础知识,考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问 题的能力.满分 14 分. 将 52 名志愿者分成 A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植 150 捆白杨树苗,B 组种植 200 捆 沙棘树苗.假定 A,B 两组同时开始种植. (1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时 2 小时,种植一捆沙棘树苗用时 1 小时.应如 2 5 何分配 A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短? (2)在按(1)分配的人数种植 1 小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为 2 小时, 5 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时 2 小时,于是从 A 组抽调 6 名志愿者加入 B 组继 3 续种植,求植树活动所持续的时间. 解: (1)设 A 组人数为 x ,且 0 ? x ? 52 , x ? N* ,

150 ? 2 5 ? 60 ;?????????????????2 分 则 A 组活动所需时间 f ( x) ? x x 200 ? 1 2 ? 100 .?????????????????4 分 B 组活动所需时间 g ( x) ? 52 ? x 52 ? x
令 f ( x) ? g ( x) ,即 60 ? 100 ,解得 x ? 39 . 2 x 52 ? x 所以两组同时开始的植树活动所需时间
? 60 , x≤19,x ? N*, ?x F ( x) ? ? ? 100 ,x≥20,x ? N* . ? 52 ? x

?????????????????????6 分

F 而 F (19) ? 60 , (20) ? 25 , 故 F (19) ? F (20) . 19 8
32 所以当 A、B 两组人数分别为 20, 时,使植树活动持续时间最短.??????8 分

150 ? 2 ? 20 ? 1 5 (2)A 组所需时间为 1+ ,??????????????10 分 ? 3 6 (小时) 20 ? 6 7 200 ? 2 ? 32 ? 1 3 B 组所需时间为 1 ? , ? 3 2 (小时) ?????????????12 分 32 ? 6 3
所以植树活动所持续的时间为 3 6 小时. ?????????????????14 分 7

18.本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识,考 查运算求解、分析探究及推理论证的能力.满分 16 分. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 .
0) (1)若过点 C1 (?1, 的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为

y
l1 l2 C2

6 ,求直线 l 的方程; 5

(2)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长. ①证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; ②动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的 坐标;若不经过,请说明理由. 解: (1)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 因为直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 6 ,而圆 C2 的半径为 1, 5
(第 18 题)

C

C1

O



x

所以圆心 C2 (3, 到 l : kx ? y ? k ? 0 的距离为 4)

4k ? 4
2

? 4 .??????????3 分 k ?1 5

化简,得 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 ,解得 k ? 4 或 k ? 3 . 4 3 所以直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 .?????????????6 分
y (2)①证明:设圆心 C ( x, ) ,由题意,得 CC1 ? CC2 ,

即 ( x ? 1)2 ? y2 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 . 化简得 x ? y ? 3 ? 0 , 即动圆圆心 C 在定直线 x ? y ? 3 ? 0 上运动.????????????????10 分
3 ②圆 C 过定点,设 C (m, ? m) ,

则动圆 C 的半径为 1 ? CC12 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 . 于是动圆 C 的方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? 3 ? m)2 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 . 整理,得 x2 ? y 2 ? 6 y ? 2 ? 2m( x ? y ? 1) ? 0 .????????????????14 分
? x ? 1 ? 3 2, ? x ? 1 ? 3 2, ? x ? y ? 1 ? 0, ? ? 2 2 由? 2 得? 或? 2 x ? y ? 6 y ? 2 ? 0, ? y ? 2 ? 3 2; ? y ? 2 ? 3 2. ? ? 2 ? 2

所以定点的坐标为 1 ? 3 2, ? 3 2 , 1 ? 3 2, ? 3 2 .?????????16 分 2 2 2 2 2 2

?

? ?

?

19.本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识,考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方 法进行探究、分析与解决问题的能力.满分 16 分. 已知函数 f ( x) ? x ? sin x . (1)设 P,Q 是函数 f ( x) 图象上相异的两点,证明:直线 PQ 的斜率大于 0; (2)求实数 a 的取值范围,使不等式 f ( x)≥ax cos x 在 ?0,π ? 上恒成立. ? 2? 解: (1)由题意,得 f ?( x) ? 1 ? cos x≥0 . 所以函数 f ( x) ? x ? sin x 在 R 上单调递增.
y y 设 P( x1,1 ) , Q( x2,2 ) ,则有

y1 ? y2 ? 0 ,即 kPQ ? 0 . ????????????6 分 x1 ? x2

(2)当 a≤0 时, f ( x) ? x ? sin x≥0≥ax cos x 恒成立.???????????????8 分 当 a ? 0 时,令 g ( x) ? f ( x) ? ax cos x ? x ? sin x ? ax cos x ,
g' ( x) ? 1 ? cos x ? a(cos x ? x sin x)

? 1 ? (1 ? a) cos x ? ax sin x .

①当 1 ? a≥0 ,即 0 ? a≤1 时, g' ( x) ? 1 ? ?1 ? a ? cos x ? ax sin x ? 0 , 所以 g ( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数. ? 2? 所以 g ( x)≥g (0) ? 0 ? sin 0 ? a ? 0 ? cos0 ? 0 ,符合题意. ???????????10 分 ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,令 h( x) ? g' ( x) ? 1 ? (1 ? a)cos x ? ax sin x , 于是 h' ( x) ? (2a ? 1)sin x ? ax cos x . 因为 a ? 1 ,所以 2a ? 1 ? 0 ,从而 h' ( x)≥0 . 所以 h( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数. ? 2? 所以 h(0)≤h( x)≤h π ,即 2 ? a≤h( x)≤ π a ? 1 , 2 2 亦即 2 ? a≤g' ( x)≤ π a ? 1 .???????????????????????12 分 2 (i)当 2 ? a≥0 ,即 1 ? a≤2 时, g' ( x)≥0 , 所以 g ( x) 在 ?0,π ? 上为单调增函数.于是 g ( x)≥g (0) ? 0 ,符合题意.????14 分 ? 2? (ii)当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,存在 x0 ? 0,π ,使得 2
x 当 x ? (0,0 ) 时,有 g' ( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在 (0,x0 ) 上为单调减函数,

??

? ?

从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 恒成立. 综上所述,实数 a 的取值范围为 a≤2 .????????????????????16 分

20.本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识,考查考生分析探究及推理论证 的能力.满分 16 分. 设数列{ a n }的各项均为正数.若对任意的 n ? N* ,存在 k ? N* ,使得 an? k 2 ? an ? an ? 2k 成立,则称 数列{ a n }为“Jk 型”数列. (1)若数列{ a n }是“J2 型”数列,且 a2 ? 8 , a8 ? 1 ,求 a2n ; (2)若数列{ a n }既是“J3 型”数列,又是“J4 型”数列,证明:数列{ a n }是等比数列.
a 解: (1)由题意,得 a 2 , a 4 , a 6 , a8 ,?成等比数列,且公比 q ? 8 a2

? ?

1 3

?1, 2

所以 a2n ? a2 qn?1 ? 1 2

??

n?4

. ????????????????????????4 分

(2)证明:由{ a n }是“ J 4 型”数列,得
a1 , a 5 , a 9 , a13 , a17 , a21 ,?成等比数列,设公比为 t . ??????????6 分

由{ a n }是“ J 3 型”数列,得
a1 , a 4 , a 7 , a10 , a13 ,?成等比数列,设公比为 ? 1 ; a 2 , a 5 , a8 , a11 , a14 ,?成等比数列,设公比为 ? 2 ; a 3 , a 6 , a 9 , a12 , a15 ,?成等比数列,设公比为 ?3 ;



a13 a a ? ?14 ? t 3 , 17 ? ?24 ? t 3 , 21 ? ?34 ? t 3 . a1 a5 a9
4

所以 ?1 ? ?2 ? ?3 ,不妨记 ? ? ?1 ? ? 2 ? ?3 ,且 t ? ? 3 . ???????????12 分 于是 a3k ?2 ? a1? k ?1 ? a1

? ??
3

(3 k ?2) ?1



a3k ?1 ? a5? k ? 2 ? a1t? k ? 2 ? a1? a3k ? a9? k ?3 ? a1t 2? k ?3 ? a1?

k?2 3

? a1 ? a1

? ??
3 3

(3k ?1) ?1



k ?1 3

? ??

3k ?1



所以 an ? a1

? ? ? ,故{ a }为等比数列.?????????????????16 分 南通市 2012 届高三第一次调研测试
3 n ?1
n

数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议

21. 【选做题】 A.选修 4—1:几何证明选讲 本小题主要考查圆的几何性质等基础知识,考查推理论证能力.满分 10 分. 如图,AB 是半圆 O 的直径,延长 AB 到 C,使 BC ? 3 ,CD 切半圆 O 于点 D, DE⊥AB,垂足 为 E.若 AE∶EB ? 3∶1,求 DE 的长. 解:连接 AD、DO、DB.
OE 由 AE∶ ? 3∶ EB 1,得 DO ∶ ? 2∶ 1.

D

A

· O

E

B

C

又 DE⊥ AB,所以 ?DOE ? 60 .
?

(第 21-A 题)

故△ ODB 为正三角形.???????????5 分 于是 ?DAC ? 30? ? ?BDC .

而 ?ABD ? 60? ,故 ?C ? 30? ? ?BDC . 所以 DB ? BC ? 3 . 在△ OBD 中, DE ? 3 DB ? 3 .???????????????????????10 分 2 2

B.选修 4—2:矩阵与变换 本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分.
?0 1 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? kx 在矩阵 ? ? 对应的变换下得到的直线过点 P(4, 1) , ?1 0 ?

求实数 k 的值.
? x ? ? x? ? ? x? ? ? 0 1 ? ? x ? ? y ? ? x? ? y, 解:设变换 T: ? ? ? ? ? ,则 ? ? ? ? ? ? y ? ? ? x ? ,即 ? y? ? x. ??????????5 分 ? y ? ? y ?? ? y ? ? ?1 0 ? ? ? ? ? ?

代入直线 y ? kx ,得 x? ? ky ? .
1) 将点 P(4, 代入上式,得 k ? 4.???????????????????????10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分 10 分. 在极坐标系中,已知圆 ? ? a sin ? ( a ? 0 )与直线 ? cos ? ? ? ? 1相切,求实数 a 的值. ? 解:将圆 ? ? a sin ? 化成普通方程为 x2 ? y 2 ? ay ,整理,得 x2 ? y ? a 2

?

?

将直线 ? cos ? ? ? ? 1化成普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 . ??????????????6 分 ?
?a ? 2 2 ? a .解得 a ? 4 ? 2 2 .????????????????? 10 分 由题意,得 2 2

?

?

? ? ? a4 .
2 2

D.选修 4—5:不等式选讲 本小题主要考查均值不等式等基础知识,考查推理论证能力.满分 10 分. 已知正数 a , b , c 满足 abc ? 1 ,求证: (a ? 2)(b ? 2)(c ? 2)≥27 . 证明: (a ? 2)(b ? 2)(c ? 2) ? (a ? 1 ? 1)(b ? 1 ? 1)(c ? 1 ? 1)
≥3 ? 3 a ? 3 ? 3 b ? 3 ? 3 c

????????????????4分

? 27 ? 3 abc
? 27 (当且仅当 a ? b ? c ? 1 时等号成立). ?????????????????10 分

22. 【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识,考查运算求解、分析探究及推理论证的能力.满 分 10 分.

2an 已知数列{ a n }满足: a1 ? 1 , an?1 ? (n ? N* ) . 2 an ? 1
(1)求 a 2 , a 3 的值; (2)证明:不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 都成立.
a (1)解:由题意,得 a2 ? 2 , 3 ? 4 . ???????????????????????2 分 3 5

(2)证明:①当 n ? 1 时,由(1) ,知 0 ? a1 ? a2 ,不等式成立.???????????4 分 ②设当 n ? k (k ? N* ) 时, 0 ? ak ? ak ?1 成立,???????????????6 分 则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设,知 ak ?1 ? 0 . 而 ak ? 2 ? ak ?1 ?
2a ? a ? 1? ? 2ak ? ak ?1 ? 1? 2ak ?1 2ak 2(ak ?1 ? ak ) ? ? k ?1 k ? ?0, ak ?1 ? 1 ak ? 1 (ak ?1 ? 1)(ak ? 1) (ak ?1 ? 1)(ak ? 1)

所以 0 ? ak ?1 ? ak ? 2 , 即当 n ? k ? 1 时,不等式成立. 由①②,得不等式 0 ? an ? an ?1 对于任意 n ? N* 成立.??????????10 分

23. 【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识,考查运算求解、推理 论证的能力.满分 10 分. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(1,0) .过抛物线在 x 轴上 方的不同两点 A 、 B 作抛物线的切线 AC 、 BD ,与 x 轴分别交于 C 、 D 两点,且 AC 与 BD 交 于点 M ,直线 AD 与直线 BC 交于点 N . (1)求抛物线的标准方程; (2)求证: MN ? x 轴; (3)若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F(1,0) , 求证:直线 AB 过定点. C M N D O F B y A

x

(第 23 题)

解: (1)设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 由题意,得

p ? 1 ,即 p ? 2 . 2

所以抛物线的标准方程为 y 2 ? 4 x .????????????????????3 分 (2)设 A( x1,1 ) , B( x2,2 ) ,且 y1 ? 0 , y2 ? 0 . y y 由 y2 ? 4x ( y ? 0 ) ,得 y ? 2 x ,所以 y? ? 1 . x 所以切线 AC 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) . y1 x1 整理,得 yy1 ? 2( x ? x1 ) ,
0) 且 C 点坐标为 (? x1, .



同理得切线 BD 的方程为 yy2 ? 2( x ? x2 ) ,②
0) 且 D 点坐标为 (? x2, .

由①②消去 y ,得 xM ? 又直线 AD 的方程为 y ? 直线 BC 的方程为 y ?

x1 y2 ? x2 y1 .????????????????????5 分 y1 ? y2 y1 ( x ? x2 ) ,③ x1 ? x2

y2 ( x ? x1 ) . ④ x1 ? x2 x1 y2 ? x2 y1 . y1 ? y2

由③④消去 y ,得 xN ?

所以 xM ? xN ,即 MN ? x 轴. ??????????????????????7 分
y (3)由题意,设 M (1,0 ) ,代入(1)中的①②,得 y0 y1 ? 2(1 ? x1 ) , y0 y2 ? 2(1 ? x2 ) . y B y 所以 A( x1,1 ), ( x2,2 ) 都满足方程 y0 y ? 2(1 ? x) .

所以直线 AB 的方程为 y0 y ? 2(1 ? x) .
0) 故直线 AB 过定点 (?1, .????????????????????????10 分

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