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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修2-2:第三章 熟悉的扩充与复数的引入 单元同步测试]


第三章测试
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列命题正确的是( A.复数的模是正实数 B.虚轴上的点与纯虚数一一对应 C.相等的向量对应着相等的复数 D.实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数 解析 复数的模可能为 0,故 A 项错

.虚轴上原点对应的复数不 是纯虚数,故 B 项错.复数可以用向量表示,相等的向量对应的复数 也相等,故 C 项正确.实部相等,虚部互为相反数的两个复数为共轭 复数,故 D 项错. 答案 C )

2.下列命题:①复数 a+bi 不是实数;②若(x2-4)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,则实数 x=± 2;③若复数 z=a+bi,则当且仅当 b≠0 时,z 为虚数. 其中正确的命题有( A.0 个 C.2 个 D.3 个 ) B.1 个

解析 ①中没有说明 a,b∈R,所以当 b=0 时,a+bi 可能是实 数;②中当 x=-2 时,不正确;③中没有说明 a,b∈R,所以不正确; 因此三个命题都不正确. 答案 A

1+i 2n 1-i 2n 3. 若 n 是大于 2000 的奇数, 则复数( ) +( ) 的值是( 1-i 1+i A.2 B.-2 D.0

)

C.2 或-2 解析

1+i 2n 1-i 2n ( ) +( ) 1-i 1+i

2i n -2i n =( ) +( 2i ) -2i =(-1)n+(-1)n=2(-1)n. ∵n 是大于 2000 的奇数, ∴原式=-2. 答案 B a?a+2? +(a2+2a-3)i(a∈R)为纯虚数,则 a 的值为 a-1

4.复数 z= ( ) A.a=0

B.a=0 且 a≠-1 D.a≠1 或 a≠-3

C.a=0 或 a=-2

解析

a?a+2? ? ? a-1 =0, 依题意得? ? ?a2+2a-3≠0,

解得 a=0,或 a=-2. 答案 C )

?1+2i?2 5.复数 的值是( 3-4i A.-1 C.-i B.1 D.i

?1+2i?2 -3+4i 解析 = =-1. 3-4i 3-4i

答案

A z+2 是实数,那么 z 等于( 1-i )

6.已知 z 是纯虚数, A.2i C.-i B.i D.-2i

解析 设 z=bi(b∈R,且 b≠0), 则 z+2 2+bi ?2+bi??1+i? = = 1-i 1-i ?1-i??1+i?

1 =2[(2-b)+(2+b)i]. ∵ z+2 ∈R, 1-i

∴2+b=0,b=-2, ∴z=-2i. 答案 D

7.已知 i 为虚数单位,a 为实数,复数 z=(a-2i)(1+i)在复平面 内对应的点为 M,则“a=1”是“点 M 在第四象限”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 复数 z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,在复平面内 z 的对
? ?a+2>0, 应点 M 在第四象限的充要条件是? 即-2<a<2.故“a=1”是 ?a-2<0. ?

)

“点 M 在第四象限”的充分而不必要条件. 答案 A

i 8.复数 z= 在复平面上对应的点位于( 1+i A.第一象限 C.第三象限 解析 ∵z= B.第二象限 D.第四象限

)

i?1-i? i 1 1 1 = =2(i+1)=2+2i, 1+i ?1+i??1-i?

∴复数 z 的对应点在第一象限. 答案 A )

3+2i 3-2i 9.复数 - =( 2-3i 2+3i A.0 C.-2i 解析 答案 B.2 D.2i

3+2i 3-2i i?2-3i? i?2+3i? - = + =i+i=2i. 2-3i 2+3i 2-3i 2+3i D

?1 ?a b? -1? ?=ad-bc,则符合条件? ?=4+2i 的 10.定义运算? ?c d ? ?z zi ?

复数 z 为( A.3-i C.3+i

) B.1+3i D.1-3i
?1 ?z

解析 依题意知,? ∵z(1+i)=4+2i, ∴z= 答案

-1? zi

?=zi+z=4+2i, ?

4+2i =(2+i)(1-i)=3-i. 1+i A

11.复数 z=a+bi(a,b∈R)是方程 z2=-3+4i 的一个根,则 z 等 于( )

A.1± 2i

B.-1± 2i D.2+i 或-2-i

C.1+2i 或-1-2i 解析

若按复数相等的条件去解方程组,计算很繁琐,本题可采

用验证的方法.∵(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i,∴z=1+2i 或-1 -2i. 答案 C

12.对任意复数 z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正 确的是( ) B.z2=x2+y2 D.|z|≤|x|+|y|

A.|z- z |=2y C.|z- z |≥2x

解析 ∵z=x+yi,(x,y∈R), 则 z =x-yi,∴z- z =2yi. ∴|z- z |=|2y|≥2y,故 A,C 项错. 又 z2=x2-y2+2xyi≠x2+y2,故 B 项错.因此,正确答案为 D. 答案 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在 题中的横线上) 2+i 13.复数 的共轭复数是________. 1+i 解析 ∵ 2+i ?2+i??1-i? 3-i 3 1 = = 2 =2-2i, 1+i ?1+i??1-i?

3 1 ∴共轭复数为2+2i. 3 1 答案 2+2i - 14.若 z1=1+i,z1· z 2=2,则 z2=__________.

- 解析 ∵z1=1+i,z1· z 2=2, ∴- z 2= 2 =1-i. 1+i

∴z2=1+i. 答案 1+i 15.若复数 z1=4+29i,z2=6+9i,其中 i 是虚数单位,则复数(z1 -z2)i 的实部是________. 解析 ∵(z1-z2)i=[4+29i-(6+9i)]i=(-2+20i)i=-20-2i, ∴(z1-z2)i 的实部是-20. 答案 -20

16.i 为虚数单位,设复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于原点对 称,若 z1=2-3i,则 z2=________. 解析 设 z1=2-3i 的对应点为 A,则 A 的坐标为(2,-3),A 关 于原点对称的坐标为 B(-2,3),则 B 对应的复数为 z2=-2+3i. 答案 -2+3i

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) a2+2a-15 17.(10 分)要使复数 z=a -a-6+ i 为纯虚数,实数 a a2-4
2

是否存在?若存在求出 a 的值;若不存在说明理由. 解
2

若 z 为纯虚数,则 ① ②

a -a-6=0, ? ?2 ?a +2a-15 ? ? a2-4 ≠0,

由①解得 a=3,或 a=-2, 分别代入②都不合题意,所以不存在使 z 为纯虚数的实数 a.

18.(12 分)复平面内有 A,B,C 三点,点 A 对应的复数是 3+i, → 对应的复数是-2-4i,向量BC → 对应的复数是-4-i,求点 B 对 向量AC 应的复数. 解 → 对应的复数是-2-4i,BC → 对应的复数是-4-i, ∵AC

→ =AC → -BC → ,∴AB → 对应的复数为(-2-4i)-(-4-i)=2- 又∵AB 3i. → 对应的复数是 3+i,OB → =OA → +AB →. 又OA → 对应的复数是(3+i)+(2-3i)=5-2i. ∴OB 即点 B 对应的复数是 5-2i. 19.(12 分)已知虚数 z 满足|z|= 2,且(z-a)2=a,求实数 a. 解 设 z=x+yi(x,y∈R,且 y≠0),

则(z-a)2=(x+yi-a)2 =(x-a)2-y2+2y(x-a)i. 又(z-a)2=a,|z|= 2, ?x-a? -y =a, ? ? ∴?2y?x-a?=0, ? ?x2+y2=2. 解得 a=-1. 20.(12 分)已知复数 z 满足|z|= 2,z2 的虚部是 2, (1)求复数 z; (2)设 z,z2,z-z2 在复平面内的对应点分别为 A,B,C,求△ABC 的面积. 解 (1)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z2=a2-b2+2abi.
2 2

由题意得 a2+b2=2,且 2ab=2. 解得 a=b=1 或 a=b=-1.∴z=1+i 或 z=-1-i.

(2)当 z=1+i 时,z2=2i,z-z2=1-i. ∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1), 1 ∴S△ABC=2×2×1=1. 当 z=-1-i 时,z2=2i,z-z2=-1-3i, 1 ∴A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),∴S△ABC=2×2×1=1. 故△ABC 的面积为 1. 1 3 21.(12 分)设 w=-2+ 2 i, (1)求证:1+w+w2=0; (2)计算:(1+w-w2)(1-w+w2). 解 1 3 (1)证明:∵w=-2+ 2 i,

1 3 ∴w2=(-2+ 2 i)2 1 1 3 3 =4+2(-2)( 2 i)+( 2 i)2 1 3 3 =4- 2 i-4 1 3 =-2- 2 i, 1 3 1 3 ∴1+w+w2=1-2+ 2 i-2- 2 i=0. (2)由 1+w+w2=0 知, (w-1)(1+w+w2)=0, ∴w3-1=0,∴w3=1. ∴(1+w-w2)(1-w+w2) =(-2w2)(-2w)

=4w3=4. 22.(12 分)设 z1,z2∈C, (1)求证:|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2; (2)设|z1|=3,|z2|=5,|z1+z2|=6,求|z1-z2|. 解 (1)证明:设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),

则|z1+z2|2+|z1-z2|2 =|(a+c)+(b+d)i|2+|(a-c)+(b-d)i|2 =(a+c)2+(b+d)2+(a-c)2+(b-d)2 =2a2+2c2+2b2+2d2 =2(a2+b2)+2(c2+d2), 又 2|z1|2+2|z2|2=2(a2+b2)+2(c2+d2), 故|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2. (2)∵|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2, ∴62+|z1-z2|2=2×32+2×52. ∴|z1-z2|2=68-36=32. ∴|z1-z2|=4 2.


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