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高中数学必修一2.5函数模型及其应用导学案


§2.5 函数模型及其应用 §2.5.1 几种函数增长快慢的比较

一 教学目标: 1.通过计算与作图,比较幂函数、指数函数、对数函数的增长差异; 2.结合实例,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 二 学习重、难点: 重点:同类函数增长快慢差异. 难点:不同函数增长快慢差异. 三 方法指导: 1、结合图形,分析同类函数中参数变化对增长速

度的影响. 2、结合图形,分析不同函数增长速度的差异. 3、要注意范围不同,结论可能不同. 四 自主学习: 认真阅读教材 P125-P129,对照学习目标,完成导学案,适当总结. 1.增长速度在图象上怎样分析? 如图,哪个函数增长得快?如何分析? 2.同类函数增长快慢比较 (1)指数函数 y ? a x (a ? 1)
y

① ②

x

作出几个具体函数的图象,比较它们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论: (2)对数函数 y ? loga x (a ? 1) 作出几个具体函数的图象,比较它们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论: (3)幂函数 y ? xa (a ? 0) 作出几个具体函数的图象(注意要在 a ? (0,1), a ?[1,?? ) 中分别找几个代表) ,比较它 们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论: (4)一次函数 y ? ax ? b(a ? 0) 作出几个具体函数的图象,比较它们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论: 3.不同函数增长速度比较 (1)指数函数 y ? a x (a ? 1) 与幂函数 y ? x a (a ? 1) . 它们的增长速度都是越来越 当 x ? (0,1) 时, 总是在 当 x ? 1 时, 当 x 取足够大时, , 的上方; 的上方;
1

的图象总是在

结论:从整体上看,



增长得快.

(2)对数函数 y ? loga x (a ? 1) 与幂函数 y ? x a (0 ? a ? 1) . 它们的增长速度都是越来越 当 x ? (0,1) 时, 总是在 当 x ? 1 时, 当 x 取足够大时, 结论:从整体上看, , 的上方; 的上方; 增长得快.

的图象总是在 比

(3) 指数函数 y ? a x (a ? 1) 、 对数函数 y ? loga x (a ? 1) 和幂函数 y ? x a (0 ? a) 在 (0,?? ) 上 都是增函数,从总体上看,当 x 取足够大时,总有 > > 五 课堂互动探究: (一)一次函数模型的应用 例 1 春节期间,某电信公司推出“亲情卡” 、 “学生卡”两种资费,每月(30 天)的通 话时间 x (分)与话费 y (元)的关系如图所示: (1)分别求出两种资费话费与通话时间的函数关系式; y /元 y /元 (2)试分析在一个月内使用哪种卡划算? (30,35) 1 ? (30,15) 29 ? k1 ? 5 ?30k1 ? 29 ? 35 ?? 得? 1 ? 30k2 ? 15 ?k 2 ? 0 0 x /分 x /分 2 ? 亲情卡 学生卡 x x ? y亲 ? ? 29, ( x ? 0); y学 ? ( x ? 0) 5 2 x x 2 (2)令 ? 29 ? ,则 x ? 96 3 5 2 2 当 x ? 96 时, y亲 ? y学 ,两种资费相等; 3 2 当 0 ? x ? 96 时, y亲 ? y学 ,选择“学生卡”便宜; 3 2 当 x ? 96 时, y亲 ? y学 ,选择“亲情卡”便宜. 3 点评: 本题由于过原点的直线是正比例函数的图象,因此运用待定系数法求得解析式, 然后利用函数解析式解决了问题.借助函数图象表达题目中的信息,此时,读懂图象是关键. 变式练习 1 一报摊主从报社买进报纸的价格是每份 0.2 元,卖出的价格是每份 0.3 元,卖不出的报纸还 可以每份 0.08 元的价格退回报社.在一个月(30 天)里有 20 天每天可卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每天从报社买进的报纸份数必须相同.他应该每天从报社买进多 少份报纸,才能使每天所获利润最大?并计算他一个月最多可赚多少钱? 解:设每天从报社买进报纸 x 份( 250 ? x ? 400, x ? N ) , 则 f ( x ) ? (0.3 ? 0.2)( 20 x ? 10 ? 250) ? (0.2 ? 0.08) ?10( x ? 250) ? 0.8 x ? 550



(1)由图,设 y亲 ? k1 x ? 29, y学 ? k2 x

? f ( x)在[250,400] 内是增函数,?当x ? 400时,f ( x)max ? f (400) ? 870
即摊主每天从报社买进 400 份报纸时,每月利润最大,最大值为 870 元. (二)指数函数、对数函数模型的实际应用 例 2 在一次全国政协会议上,一位政协委员提出我国正在进入一个新的生育高峰,因
2

此计划生育政策应当继续执行.现某县有人口 100 万人, 如果年自然增长率为 1.2%,回答下面 问题: (1) 写出该县人口总数 y (万人)与年份 x 的函数关系式; (2) 计算 10 年后该县人口总数(精确到 0.1 万人) ; (3) 计算大约多少年后该县人口总数将达到 120 万人(精确到 1 年). 解: (1) y ? 100(1 ? 1.2%) x , ( x ? N ) (2) 100(1 ? 1.2%)10 ? 100?1.01210 ? 112.7(万人)
x (3)令 100 ( 1 ? 1.2% ) ? 120 ,则 x ? log1.012

120 ? 15 (年) 100

大约 15 年后该县人口数将达到 120 万人. 点评: 本题通过观察 1 年后、2 年后、3 年后人口总数与年份的关系式找出规律,进而得 出一般函数关系式.用文字语言表达题目中的信息时,关键是读懂信息,及时翻译成数学语 言. 变式练习 2 我国加入 WTO 时,根据达成的协议,若干年内某产品市场供应量 p 与关税税率的关系式近 似满足 p ? 2(1?kt)( x ?b) (其中 t 为关税的税率,且 t ?[0, ) , x 为市场价格, b , k 为常数) ,
2

1 2

1 当 t ? 时的市场供应量曲线如图. 8

p

t?

1 8

2 1 (1) 根据图象,求 b , k 的值; x O 5 7 x 11? (2) 设市场需求量为 a ,它近似满足 a ? 2 2 , p ? a 时的市场供应价格称为平衡价格 . 当市场平衡价格控制在不低于 9 元时,求关税税率的最小值.
k ? (1? )( 5 ? b ) 2 ?b ? 5 ?1 ? 2 8 解: (1)由已知,得 ? 得? k ?k ? 6 ? 2 ? 2(1? 8 )( 7 ? b) ?

(3) 当 p ? a 时, 2

(1? 6 t )( x ?5) 2

?2

11?

x 2

即 (1 ? 6t )( x ? 5)2 ? 11 ?

x 2

17 1 1 1 ? ,由 x ? 9 得 0 ? ? 2 x ? 5 x ? 5 4 ( x ? 5) 1 1 令m? , 则2(1 ? 6t ) ? 17m2 ? m, (0 ? m ? ) x ?5 4 1 13 19 由分析可知,当 m ? 时, [2(1 ? 6t )]max ? ,此时 tmin ? 16 4 192 19 所以最小关税税率定为 . 192 六 当堂检测 1.某厂原来月产量为 a ,一月份增产 10%,二月份比一月份减产 10%,设二月份的产量 为 b ,则( ) A.a ? b B.a ? b C .a ? b D. 无法判断 ? 2(1 ? 6t ) ?
解析:选 A .?b ? a(1 ? 10%)(1 ? 10%) ? a ? 2.若 x ? (0,1) ,则下列结论正确的是(

99 ,?b ? a. 100



3

A. 2 ?
1

x

1 x2

? lg x

B. 2 ? lg x ?
1

x

1 x2

C. x 2 ? 2 x ? lg x 解析:选 A.作图即可.

D. lg x ? x 2 ? 2 x

3.某动物数量 y (只)与时间 x (年)的关系为 y ? a log2 ( x ? 1), 设第一年有 100 只,则 到第七年它们发展到( A.300 只 B.400 只 ) C.500 只 D.600 只

解析:选 A.由于第一年有 100 只,得 a ? 100 ,?100 log2 (7 ? 1) ? 300 4.甲乙两人在一次赛跑中, 路程 S 与时间 t 的关系如图所示, 则下列说法正确的是 ( ) S 乙 甲 A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 O t 解析:选 D.当 t ? 0 时 S ? 0 ,说明甲乙同时出发,甲跑全程的时间少于乙的时间,所以 甲先到终点. 七 课堂小结: 1.直线上升、指数爆炸、对数增长. 2.关键读懂图文表达的信息,读图首先明确横轴与纵轴的含义,明确一个坐标的含义. 八 课堂反思: 九 课后作业: 1.课本 P130 习题 10 1、2 题 解:略.(答案详见教师用书) 2.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速 度可以表示为函数 v ? 5 log2

Q ,单位是 m / s ,其中 Q 表示燕子的耗氧量. 10

(1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位? (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行速度是多少? 解析: (1)由题意知,当燕子静止时,速度为 0,?5 log2 所以燕子静止时的耗氧量是 10 个单位. (2) v ? 5 log2

Q ? 0,?Q ? 10 10

80 ? 15(m / s) 10

4

§2.5.2
一 教学目标: 1.理解函数模型的应用; 2.掌握求解数学应用题的步骤. 二 学习重、难点: 重点:求解数学应用题. 难点:模型的选择与建立过程. 三 方法指导:

形形色色的函数模型

1、准确理解题目中的信息,可以用自己喜欢的表达方式来“翻译”信息. 2、建模后要验证模型的准确性、合理性和实用性. 四 自主学习: 认真阅读教材 P132-P134,对照学习目标,完成导学案,适当总结. 1.数学建模及建模过程 阅读课本 P134,用简短的语言描述建模的过程 2.具体怎样建模? 阅读课本 P132-P134 例题,概述怎样建模? 3.尝试建模 x 1 2 3 4 5 有一组数据如图,则下列函数模型中,最接近地表示 y 3 5 6.99 9.01 11 这组数据满足的规律的一个是( ) A.指数函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 五 课堂互动探究: (一)根据数量关系建模 例 1 某桶装水经营部每天的房租、 人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元. 销售 单价与日均销售量的关系如下表所示:
销售单价/ 元 日均销售 量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 解析:
销售单价/元 6 7 8 9 日均销售量/桶 日均利润/元 480 280 440 680 400 1000 360 1240

10 320 1400

11 280 1480

12 240 1480

所以,定价为 11 元或 12 元可获得最大利润. 解析二: 观察发现, 单价每提高 1 元, 日均销量减少 40 桶, 故设单价定位 x元(6 ? x ? 12) 时的利润为 y 元,则 y ? (480 ? 40( x ? 6))( x ? 5) ? 200 ? ?40 x 2 ? 920x ? 3800 对称轴为 x ? 11.5 ,所以当 x ? 11或x ? 12 时同时取得最大值. 点评: 找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解 决实际问题.
5

变式练习 1 某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天都客满. 公司欲提高档次,并提 高租金,如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑其他因素,旅社 将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高? 解:设租金提高到 x 元时总收入 y 元,由题意得:

y ? x(300 ? 10 ?

x ? 20 ) ? ?5 x 2 ? 400 x, (20 ? x ? 80) 对称轴为 x ? 40 2

所以,当 x ? 40 时,每天客房的租金总收入最高. (二)建立恰当的模型 例 2 某皮鞋厂, 从今年 1 月份开始投产, 并且前 4 个月的产量分别为 1 万双, 1.2 万双, 1.3 万双,1.37 万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推 销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量.厂里分析,产品的增 加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程 .厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂 长,将会采用什么办法估算以后几个月的产量? 解析:略.(过程详见课本 P132-P134) 点评:根据收集到的数据的特点,通过建立函数模型,解决实际问题的基本过程:收集数据 →画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际, 用函数模型解释实际问题; 不 符合实际,则重新选择函数模型,直到符合实际为止. 变式练习 2 某同学完成一项任务共花去 9 个小时,他记录的完成工作量的百分数如下:
时间/ 小时 完成 百分数

1 15

2 30

3 45

4 60

5 60

6 70

7 80

8

9

30

25

90 100
20 15

如果用 T (h) 来表示 h 小时后完成的工作量的百分数, 请问 T (5) 是多少?求出 T (h) 的解析式, T (h) 并画出图象;

? 15h, (1 ? h ? 4) ? 解: T (5) ? 60 , T (h) ? ? 60, (4 ? h ? 5) ?10h ? 10, (5 ? h ? 9) ?

10

5

-10

O
-5 -10

10

h

20

30

40

50

60

六 当堂检测 1. 向高为 H 的圆锥形漏斗内注入化学溶液 (漏斗下口暂且关闭) ,注入溶液量 V 与溶液深度 h 的大概图象是( ).
-15 -20

解:选 A.横轴表示高度,纵轴表示体积.从左往右看,当增加的高度相同时,体积增加量越 来越多,也就是说,体积增加得越来越快,所以曲线会越来越陡. 2. 某种生物增长的数量 y 与时间 t 的关系如下表:下面函数关系式中,能表达这种关系 的是( ). A. y ? x 2 ? 1 B. y ? 2 x ? 1 1 2 3 x . . . C. y ? 2 x ? 1 D. y ? 1.5x2 ? 2.5x ? 2 y 1 3 8 . . . 解:选 D. 模拟函数的优劣,主要看误差是否最小,其次还要看增减趋势等是否与实际相
6

符.本题中, (1,1)不满足 A 选项; (3,8)不满足 B 选项和 C 选项;而三组数据均满足 D 选项. 所以 D 选项是较好的模拟函数. 3. 某企业近几年的年产值如下图: (万元) 则年增长率(增长率=增长值/原产值) 1000 最高的是( ). 800 A. 97 年 C. 99 年 B. 98 年 D. 00 年
600 400 200 96 97 98 99 00(年)

解:选 B.97 年增长率约为 98 年增长率为

300 ? 100 600 ? 300 ? 200% ;99 年增长率小于 ? 100% ; 100 300 1000 ? 500 00 年增长率小于 ? 100% . 500
4. 某杂志能以每本 1.20 的价格发行 12 万本, 设定价每提高 0.1 元, 发行量就减少 4 万本. 则 杂志的总销售收入 y 万元与其定价 x 的函数关系是 .

100 ? 50 ? 100% ; 50

x ?1.2 x ? 1.2 ) ? ?40 x 2 ? 60 x ,又 0 ? 12 ? 4 ? ? 12 ,?1.2 ? x ? 1.5 0.1 0.1 答案为 y ? ?40 x 2 ? 60 x , (1.2 ? x ? 1.5) .
解: y ? x(12 ? 4 ? 5. 某新型电子产品 2002 年投产,计划 2004 年使其成本降低 36℅. 则平均每年应降低成 本 %. 解: 设每年平均降低 x % , 设 2002 年成本为 1, 则 2004 年成本应为 (1 ? x%) 2 , 由题意, 2004 年成本应为 1 ? 36% ? 64% ,?(1 ? x%)2 ? 64% ,则 x ? 20 . 所以,答案为 20. 七 课堂小结: 1.利用数学模型解决数学实际问题的步骤. 2.怎样判断模型是否合适? 八 课堂反思: 九 课后作业: 1.课本 P136 习题 11 1、2、3 题 解:略.(答案详见教师用书) 2. 某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市.通过市场调查,得到西红柿种植 成本 Q(单位为:元 / 102 kg )与上市时间 t(单位:天)的数据如表: 时间/t 种植成本/Q 50 150 110 108 250 150

(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变 化关系: Q ? at ? b; Q ? at 2 ? bt ? c; Q ? a ? bt ; Q ? a ? logb t . (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 解:有表中数据可知,当时间 t 变化时,种植成本 Q 并不是单调的,故只能选取

? 150 ? a ? 502 ? b ? 50 ? c ? Q ? at 2 ? bt ? c ,将数据一次带入,得: ?108 ? a ?1102 ? b ?110 ? c ?150 ? a ? 2502 ? b ? 250 ? c ?

7

1 ? ?a ? 200 ? 3 ? 即?b ? ? 2 ? ? c ? 425 ? 2 ?
(2) Q ?

?Q ?

1 2 3 425 t ? t? 200 2 2

1 (t ? 150)2 ? 100 200

所以,当 t=150 天时,西红柿种植成本最低为 100 元 / 102 kg 3.某商店将进货价每个 10 元的商品按每个 18 元出售时,每天可卖出 60 个.商品经理到 市场上做了一番调查后发现,若将这种商品的售价(在每个 18 元的基础上)每提高 1 元则 日销售量就减少 5 个.若将这种商品的售价(在每个 18 元的基础上)每降低 1 元,则日销售 量就增加 10 个.为了每日获得最大利润,此商品的售价应定为每个多少元? 解:设此商品每个售价 x 元,每日利润 y 元. 当 18 ? x ? 30 时,有 y ? (60 ? 5( x ? 18))( x ? 10) ? ?5( x ? 20) 2 ? 500 即在商品提价时,当 x ? 20 时,每日利润最大为 500 元. 当 10 ? x ? 18 时,有 y ? (60 ? 10(18 ? x))( x ? 10) ? ?10( x ? 17) 2 ? 490 即在商品降价时,当 x ? 17 时,每日利润最大为 490 元. 因为 500>490,所以此商品的定价应定为每个 20 元.

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