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数学文卷·2014届山东省济钢高中高三12月月考(2013.12)


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济钢高中2011级高三 12月 摸底考试

数学(文)试题
说明:本试卷满分 150 分,考试时间:120分钟 2013年12月22日

第I卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5 分,共60分) 1.已知集合 (A)

A ?

??11 ,, ? B ? ?m | m ? x ? y, x ? A, y ? A?
(B )

,则集合 B 等于 (D)

??2, 2?

??2, 0, 2?

? ? ? ? ? ? ? | a | ? 1,| b | ? 2, ? a , b ?? 60 | 2 a ? b |? 2.已知 ,则
(A) 2 3.已知等差数列 的值为 (A ) 6
2

(C)

??2, 0?

?0?

(B) 4

(C) 2 2

(D) 8

?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? ?11 , a5 ? a6 ? ?4 , S n 取得最小值时 n
(B) 7 (C) 8 (D) 9

4.命题“ ?x ? 1, x ? 1 ” 的否定是 (A) ?x ? 1, x ? 1 (B) ?x ? 1, x ? 1 (C) ?x ? 1, x ? 1 (D) ?x ? 1, x ? 1
2 2
2 2

?x ? y ? 1 ? ?x ? y ? 1 y z? ?2 x ? y ? 4 x 的最大值为 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ,则

3 (A) 2

2 (B) 3

5 (C) 2

2 (D) 5

2 1 ? ?1 6.已知正数 x, y 满足 x y ,则 x ? 2 y 的最小值为
(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 0

7.已知

cos( x ?

?
6

)??

3 ? cos x ? cos( x ? ) ? 3 ,则 3

第 1 页 共 8 页

2 3 3 A. ?

2 3 3 B. ?

C. ? 1

D. ? 1

8.已知直线 l, m, 平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题 ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ③若 ? ? ? ,则 l ∥ m ②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ④若 l ∥ m ,则 ? ? ? C.②④ D.①④

其中正确命题的序号是( ) A.①② B.①③ 9.已知 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数

y ? log a x, y ? a x , y ? x ? a

在同一坐标系中的图象可能是

2 2 10. 圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 与直线 2tx ? y ? 2 ? 2t ? 0(t ? R) 的位置关系为(



A.相交

B.相切

C.相离

D.以上都有可能

x2 ? y2 ? 1 4 11.与椭圆 共焦点且过点 P(2,1) 的双曲线方程是 ( x2 ? y2 ? 1 4 A. x2 ? y2 ? 1 2 B.
x2 y 2 ? ?1 3 C. 3


x2 ? y2 ?1 2

D.

12.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为60°,则 双曲线C的离心率为( )

2 A. 2

B.

3 2

C.

6 2

D. 2

座号

第 2 页 共 8 页

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷所有题目的答案考生须用黑色签字笔、钢笔或圆珠笔答在试题卷上答题,考 试结束后将答题卡和第Ⅱ卷一并上交。 2.答题前将密封线内的项目填写清楚,密封线内答题无效。 二、填空: 13.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 .

x2 y2 ? ?1 2 2 14.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 6 的右焦点重合,则 p 的值为



15. 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若 a=1,b=,A

+C=2B,则sin A=________.
16. 函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的单调增区间是
2

三、解答题 17. (本小题满分12分)

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x 3 已知函数 .
(I)求函数 f ( x) 的单调减区间;

?

f (? ) ?
(II)若

3 5 , 2? 是第一象限角,求 sin 2? 的值.

18.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=log4(ax +2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
第 3 页 共 8 页
2

19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为 a 的正方形,E、F分别为PC、BD的中点,

2 侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 AD.
(1)求证:EF∥平面PAD; (2)求证:平面PAB⊥平面PCD.

20.已知

?an ? 为等差数列,且 a3 ? 5, a7 ? 2a4 ? 1 .

(Ⅰ)求数列
(Ⅱ)若数列

?an ? 的通项公式及其前 n 项和 S n ;
?bn ? 满足 b1 ? 4b2 ? 9b3 ? ? ? n2bn ? an 求数列 ?bn ? 的通项公式.

3 2 21. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx 的图象经过点 M (1,4) ,曲线在点 M 处的

切线恰好与直线 x ? 9 y ? 0 垂直. (1)求实数 a, b 的值. (2)若函数 f ( x) 在区间 [m, m ? 1] 上单调递增,求 m 的取值范围.

22. (本小题满分14分)已知椭圆的一个顶点为 A(0, ?1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线
x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为3.
第 4 页 共 8 页

(1)求椭圆的方程. (2) 设直线 y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆相交于不同的两点 M , N .当 | AM |?| AN | 时, 求m的 取值范围.

一、BAACB,ACDCA,BC

二、12 ?

4

1 2

1 ( 2 ,+ ? )

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x 3 三、17.解: (I)因为
1 3 3 1 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 6 . .............3分

?

2k? ?
所以,当

?

? 3? ≤2 x ? ≤2k? ? (k ? Z ) 2 6 2 ,
5? (k ? Z ) 6 时,函数 f ( x) 递减. [ k? ?

k? ?


?
3

≤x≤k? ?

?
3

故,所求函数 f ( x) 的减区间为

, k? ?

5? ](k ? Z ) 6 .

...........................6分

? 3 sin(2? ? ) ? 6 5, (II)因为 2? 是第一象限角,且
2k? ?
所以

?
6

? 2? ?

?
6

? 2k? ?

?
3

(k ? Z )

.
………………………9分

? 3 ? 4 f (? ) ? sin(2? ? ) ? cos(2? ? ) ? 6 5得 6 5. 由

第 5 页 共 8 页

sin 2? ? sin[(2? ? ) ? ] ? 6 6 所以
18.解:(1)∵f(1)=1,

?

?

3 3?4 10

.

…………………………12分

∴log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1, 这时f(x)=log4(-x +2x+3). 由-x +2x+3>0,得-1<x<3,函数定义域为(-1,3). 令g(x)=-x +2x+3. 则g(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 又y=log4x在(0,+∞)上递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3). (2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0, 则h(x)=ax +2x+3应有最小值1, 因此应有解得a=.故存在实数a=使f(x)的最小值等于0. 19. (本小题满分12分) (1)证明:连结 AC ,则 F 是 AC 的中点, E 为 PC 的中点,故在△ CPA 中,
2 2 2 2

EF // PA ,

…………2分 …………6分

且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD ,∴ EF ∥平面 PAD

(2)证明:因为平面 PAD ⊥平面 ABCD , 平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ,

CD ⊥平面 PAD , 又 CD ? AD , 所以, ∴ CD ? PA 又
是等腰直角三角形,k.s.5.u

PA ? PD ?

2 AD 2 , 所以△ PAD

?APD ?
且 分

?
2,
即 PA ? PD ……………9

又 CD ? PD ? D , ∴ PA ⊥平面 PCD , 又 PA ? 平面 PAB ,所以平面 PAB ? 平面

PCD

…………………12分
第 6 页 共 8 页

20.(本小题满分12分) 解(Ⅰ)设等差数列的首项和公差分别为

a1 , d



①-②得

n2bn ? an ? an ?1 ? 2, n ? 2

------------------------------------8分



bn ?

2 ,n ? 2 n2 ,

------------------------------------10分 ------------------------------------11分

b1 ? a1 ? 1

?1, n ? 1 ? bn ? ? 2 ,n ? 2 ? ? n2 ∴

------------------------------------12分

3 2 21. 解: (1) f ( x) ? ax ? bx 的图象经过点 M (1,4). a ? b ? 4 ……………………………2分

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ,则 f ?(1) ? 3a ? 2b ,由条件

1 f ?(1) ? (? ) ? ?1 9 即 3a ? 2b ? 9

解得 a ? 1, b ? 3 ………………………………………………………………………6分
3 2 2 ? (2) f ( x) ? x ? 3x , f ( x) ? 3x ? 6 x , 2 ? 令 f ( x) ? 3x ? 6 x ? 0 得 x ? 0 或 x ? ?2 ………………8分

函数 f ( x) 在区间 [m, m ? 1] 上单调递增,则 [m, m ? 1] ? (??, ?2] ? [0, ??)

?m ? 0 或 m ? 1 ? ?2 即 m ? 0 或 m ? ?3 ……………………………………12分
x2 ? y2 ? 1 F 2 a 22. 解: (1)依题意可设椭圆方程为 ,则右焦点

?

a 2 ? 1, 0

?

第 7 页 共 8 页

| a2 ? 1 ? 2 2 |

由题设

2

?3

2 ,解得 a ? 3 ,……………………………………3分

x2 ? y 2 ? 1. 故所求椭圆的方程 3 ………………………………………5分
? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 M ( x , y ) N ( x , y ) P ( x , y ) 3 ? MN M M 、 N N , P 为弦 P P 、 (2)设 的中点,由
2 2 2 得 (3k ? 1) x ? 6mkx ? 3(m ? 1) ? 0 ……………………………………7分

?直线与椭圆相交,
?? ? (6mk )2 ? 4(3k 2 ? 1) ? 3(m2 ? 1) ? 0 ? m2 ? 3k 2 ? 1, ①………8分

? xP ?

xM ? xN 3mk m ?? 2 yP ? kxP ? m ? 2 2 3k ? 1 ,从而 3k ? 1 ,
yP ? 1 m ? 3k 2 ? 1 ?? xP 3mk ,又 | AM |?| AN |,? AP ? MN ,

? k AP ?

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3mk k ,即 2m ? 3k 2 ? 1 ,② 则: ?
2 把②代入①得 m ? 2m ,解 0 ? m ? 2 ,…………………………………………11分

由②得

k2 ?

2m ? 1 1 ?0 m? 2 .……………………………………………13分 3 ,解得

1 ?m?2 综上求得 m 的取值范围是 2 .……………………………14分

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