当前位置:首页 >> 数学 >>

欧几里德空间知识点总结


第8章


欧几里得空间
题 课 二
(§5-§6)

一、正交变换、正交矩阵 二、对称变换、对称矩阵 三、二次型的标准形

主要题型
计算题 1、求正交矩阵 2、对称矩阵正交对角化 3、正交变换求二次型的标准形 证明题 1、正次矩阵与正交变换的相关性质 2、对称矩阵与对称变换

的相关性质 3、实对称矩阵的定性

一、正交矩阵
n?n 1、设 A ? (aij ) ? R , 则下列条件等价:

A为正交矩阵
AT A ? I AAT ? I

? A ?1
? A可逆

2

A ?A .
T

?1

R n的标准正交基. A的列向量组是欧氏空间

A的行向量组是欧氏空间 R n的标准正交基. A可以看作是两组标准正交基的过渡矩阵.

2 正交矩阵的判定方法

? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? R n?n A ? (aij ) ? (? 1 , ? 2 ,? , ? n ) ? ? ? ? ? ? ? ?n ?

① A为正交矩阵 ? AT ? A?1 ② A为正交矩阵

③ A为正交矩阵 ? ? i ? j

T

?1, ?? ?0,

i ? j, i ? j,

3、 运算性质

①正交矩阵之积/幂为正交矩阵 ②正交矩阵的转置/逆为正交矩阵 ③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵
例1、 P193-194习题1、2、3、4、11 例2、证明上三角的正交矩阵必为对角矩阵,且 对角线上元素为1或-1。
(利用A?1 ? AT 及AT A ? I )

例3、(1)设A为一个 n阶实矩阵且 A ? 0 ,证明 A可以分解成 A ? QR ,其中 Q 是正交阵,

? t11 ?0 R?? ? ?0 ?

t12 t 22 ? 0

? ? ? ?

t1n ? t2n ? ? ? (R称为正线上三角) t nn ? ?

为上三角阵,且 tii ? 0, i ? 1,2,?, n ,并证明这个分 解是唯一的。 (P188习题7)

(2)设A为n阶正定矩阵,证明存在一上三角形
矩阵P,使 A ? P T P 。

二、正交变换
1.定义 欧氏空间V的线性变换 ? 如果保持向量的内积不变,

?? (? ),? ( ? ) ? ? (? , ? ),
则称 ? 为正交变换.

?? , ? ? V

注. n维欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映
射. 1)正交变换的逆变换是正交变换; 2)正交变换的乘积还是正交变换.

2、设 ? 是n维欧氏空间V的一个线性变换. 下述命题是等价的: 1) ? 是正交变换;

? 2) 保持向量的内积不变, 即 ?? (? ),? ( ? ) ? ? (? , ? ), ?? , ?
3) ? 保持向量长度不变,即
d ?? (? ),? ( ? ) ? ? d ?? , ? ? ,

? (? ) ? ? ,
?? , ? ? V

?? ? V ;

4) ? 保持向量间的距离不变,即

5) ? 把标准正交基变成标准正交基;
6) ? 在任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵;

注 n 维欧氏空间中正交变换的分类: 设 n 维欧氏空间V中的线性变换 ? 在标准正交基

? 1 , ? 2 ,?, ? n 下的矩阵是正交矩阵A,则 A ? ?1.
1)如果 A ? 1, 则称 ? 为第一类的(旋转); 2)如果 A ? ?1, 则称 ? 为第二类的(反射) .

如: 设 ? 是欧氏空间V中的一个单位向量,定义

? ?? ? ? ? ? 2 ?? ,? ??

则 ? 是第二类正交交换(称之为镜面反射) (P194习题6)

例1、P194习题5、6、8、 例2、证明第二类正交变换必有特征值-1。
(利用正交变换与正交矩阵的对应关系)

三、实对称矩阵与对称变换
1.实对称矩阵的标准形 1)实对称矩阵的特征值为实数; 实反对称阵的特征值为0或纯虚数; 2)实对称矩阵不同特征值的特征向量正交;
n?n T 3) (定理)对 A ? R , A ? A, 总有正交矩阵P,使

P T AP ? P ?1 AP ? diag(?1 , ?2 ,?, ?n ). ?1 , ?2 ,?, ?n为A的全部特征值. 4) 正定的充要条件是A的特征根全大于 AT ? A ? R n?n 0.

?求解步骤

? (i) 求出A的所有不同的特征值: 1 , ?2 ,?, ?r ? R,
其重数 n1 , n2 ,?, nr 必满足 ? ni ? n ;
i ?1 r

(ii) 对每个 ?i ,解齐次线性方程组 (?i E ? A) X ? 0 求出它的一个基础解系: ? i 1 ,? i 2 ,?,? in 它是A的属于特征值 ?i 的特征子空间 V?i 的一组基. 把它们按 Schmidt 正交化过程化成 V?i 的一组标准 正交基 ?i 1 ,?i 2 ,?,?in .

(iii) 因为?1 , ?2 ,...?r 互不相同,所以 V?i ? V? j ( i ? j ) 且

? dimW? i ?1

r

i

?n,

? ?11 ,?12 ,? ,?1n1 ,??,?r 1 ,? r 2 ,?,? rnr 就是V的一组

标准正交基. 将 ?11 ,?12 ,? ,?1n1 ,?? ,? r 1 ,? r 2 ,? ,? rnr 的分量依次作

矩阵P的第1,2,…,n列,
T ?1 使 P AP ? P AP为对角形.

2.对称变换定义 欧氏空间V的线性变换 ? ,如果

?? (? ), ? ? ? (? ,? ( ? )),
则称 ? 为对称变换.

?? , ? ? V

注. 对称变换的特征值都是实数,属于不同特征值
的特征向量正交;

3、设 ? 是n维欧氏空间V的一个线性变换. 下述命题是等价的: 1) ? 是对称变换; 2) ?? (? ),? ( ? ) ? ? (? , ? ), ?? , ? ? V

3) ? 在任一标准正交基下的矩阵是对称矩阵;
4、设 ? 为欧氏空间V上的一个对称变换,则在V 中必存在一组标准正交基使得? 在这组基下的矩 阵的对角矩阵。

例1、P199习题1、2、3、 例2、设 AT ? A ? R3?3 , A的特征值为1,-1, 0 对应1,-1的特征向量依次为

?1 ? ? 1,2,2 ?? , ? 2 ? ? 2,1, ?2 ??
求A。 (类似P198例3、P199习题4)

例3、P199习题4

例4、设 A是n 阶实对称阵,

(1)当

A ? A时,证明存在正交矩阵P,使得
2
2

P ?1 AP ? diag ? Er , o ?
(2)如果 A ? E ,证明存在正交阵P ,使得

P AP ? diag ? Er , ? En?r ?
?1

思 (1)当 A ? A 时,证明存在可逆阵P,使得 ?1 考 P AP ? diag ? Er , o ? : 2 (2)当 A ? E 时,证明存在可逆阵P ,使得
2

P AP ? diag ? Er , ? En?r ?
?1

例6、 (1)设 A ? R

n?n

为反对称矩阵,证明:
?1

E?

A 可逆,且

P ? ( E ? A)( E ? A)
(P395习题16)

是正交矩阵.

(注意:反对称实矩阵的特征值只能是0或纯虚数) (2)设

A ? A? R
T

n?n

且满足A ? 4 A ? 3I ? 0
2

证明:A ? 2 I 是正交矩阵.

例7、设

? 是 n 维欧氏空间的一个对称变换,

证明:Im?是 Ker? 的正交补。P199习题8
例8、 P199习题10

?是 n维欧氏空间 V的一个线性变换。 证明如果 ? 满足下列三个条件中的任意两个,那么
例9、设 它必然满足第三个:

? 是正交变换; (2) ? 是对称变换;
(1) (3) ?
2

??

是单位变换.

例10、(1) 证明:两个对称变换的和还是对称变换。 (2) 两个对称变换的乘积是不是对称变换? (3) 找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个 充要条件.

四、二次型的标准形及实对称阵的定性
定理 任一n元实二次型

f ( x1 , x2 ,? , xn ) ? ?? ? ij xi x j , ? ij ? ? ji , ?i , j
i ?1 j ?1

n

n

都可以通过正交的线性替换 X ? CY 变成平方和

?1 y12 ? ?2 y2 2 ? ... ? ?n yn n
其中平方项的系数 ?1 , ?2 ,?, ?n 为A的全部特征值.

设 ?1 ? ?2 ? ? ? ?n 为实对称矩阵A的所有特征值 (i) A为正定的 ? ?n ? 0 (ii) A为半正定的 ? ?n ? 0 (iii) A为负定(半负定)的 ? ?1 ? 0 (?1 ? 0) (iv) A为不定的 ? ?1 ? 0 且 ?n ? 0 (v) 实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特 特征值的个数(重根按重数计). (vi) 当A退化时, n-秩(A)是0为A的特征值的重数.

例1、设二次型

f ? x ? x ? x ? 2ax1 x2 ? 2 x1 x3 ? 4bx2 x3
2 1 2 2 2 3

通过正交线性替换化为标准形

f ? y ? 2y 求a, b及所用的正交线性替换。 (类似P199习题5)
2 2 2 3

例2、设A是正定实对称矩阵,证明:

A ? E ? 1.

例3、设 A, B 都是实对称矩阵, (1)证明:存在正交矩阵 的充分必要条件是 (2)如果

T

,使得 T

?1

AT ? B

A, B 的特征多项式的根全部相同.

? ?1 ? ? , PT BP ? I 实可逆矩阵P,使得 PT AP ? ? ? ? ? ? ?n ? ? ? ,?, ? 为 ? B ? A ? 0的根. ?
1 n

B 是正定矩阵,证明存在一个 n ? n

(3)在(2)中若A也是正定阵,则 ?i ? 0, i ? 1,2,?, n (P199习题11) (P200习题14)

例5、P200习题15、16、
例6、设A是正定实对称矩阵,证明: 存在一个正定实对称矩阵S,使得

A ? S2
(2006年大连理工2,15分) P200习题18类似可证

例7、设A是n阶实可逆矩阵,证明:

存在一个正交矩阵Q和一个正定矩阵P ,使得

A ? QP.
(P200习题17) (矩阵的极分解)


相关文章:
第九章欧几里得空间
第八章§1 欧几里得空间 定义与基本性质(2) 一、复习内容 1、欧氏空间的概念,欧氏空间与线性空间的联系与区别; 2、在以一个线性空间上是否可以定义不同的内积?...
立几知识点总结
欧几里德空间知识点总结 (... 暂无评价 39页 2财富值 [化学] 高二化学知识...知识点总结 暂无评价 13页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出...
欧几里德空间(定稿)
“欧几里德”成为几何学的代名词,人们并且把这种体系的几何学叫做 欧几里德几何...欧几里德空间知识点总结 暂无评价 28页 1下载券 欧几里德空间知识点总结... ...
欧几里得空间
教学重点:欧几里得空间的定义与性质,度量矩阵的性质. 教学难点:理解欧几里得空间的...27 小结) 第九章 欧几里得空间 (小结 小结一、欧氏空间 1. 内积、欧氏空间的...
第九章 欧几里得空间
第九章 欧几里得空间_理学_高等教育_教育专区。高等代数...小结) 第九章 欧几里得空间 (小结 小结一,欧氏空间...本章的重点是欧氏空间的基本概念,标准正交基,正交...
欧几里得内积空间
欧几里得内积空间_数学_自然科学_专业资料。第九章 欧几里得空间 §1 定义与基本性质一、向量的内积 定义 1 设 V 是实数域 R 上一个向量空间,在 V 上定义了一...
空间分析复习重点
空间分析复习重点 空间分析与区域模型空间分析与区域模型...箱线图&五数总结 箱线图也称箱须图需要五个数,...对每一个点, 根据其欧几里德距离最小确定其最近邻...
高等代数——欧式空间读后感 12220604 耿诚
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。 一个定义距 离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。 这一基本的概念正当化了在...
初一数学知识点总结
2.经历探索平面图形与立体图形之间的关系,发展空间观念,培养提高观察、分析、抽象...4.射线:在欧几里德几何学中,直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为...
实变函数论主要知识点
的)内积空间或欧几里德空间(有 时仅当 V 是有限维时,才称为欧几里德空间)...实变函数知识点总结 35页 免费 2006-2007概率与数理统计... 6页 免费 ...
更多相关标签:
空间几何体知识点总结 | 空间向量知识点总结 | 欧几里德空间 | 欧几里德空间 知乎 | 非欧几里德空间 | 欧几里德空间的定义 | 初中物理知识点总结 | 初中化学知识点总结 |