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2016年全国高中数学联赛福建省预赛试卷


2016 年全国高中数学联赛福建省预赛试卷
(考试时间:2016 年 5 月 22 日上午 9:00-11:30)

一、填空题: (共 10 题,每小题 6 分,计 60 分)
?x ? 1 .函数 f ( x ) ? 3 cos(
[0, ]上最大值为 2
2.已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ?

0} , B ? {x | 围为 3.函数 f ( x) ? x2 ln x ? x2 ? 2 零点的个数为 4.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,二面角 B ? AC 1 ?D 的大小为 5.在空间四边形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 , CD ? 4 ,

?
6

)? sin( ?x ?

?
3

)( ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 f ( x ) 在区间

?

1 ? a} 。若 A ? B ,则实数 a 的取值范 x?3

??? ? ??? ? DA ? 5 , AC ? BD ?
6.已知直线 l 过椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点 F,且交椭圆 C 于 A、B 两点。O 为坐标原点, 2
3 ? i ? 0 ( i 为虚数单位)有实根,则复数 z 的 4

若 OA ? OB ,则点 O 到直线 AB 的距离为 7.已知 z ? C ,若关于 x 的方程 x ? 2 zx ?
2

模 | z | 的最小值为 8.将 16 本相同的全部分给 4 个班级,每个班级至少有一本书,且各班所得书的数量互不相 同,则不同的分配方法种数为 (用数字作答)

? 9 . f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 若 f ( 0 )

100 8且 对 任 意 x ? R , 满 足 ,
f (2016) ? 2016


f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2( x ? 1) , f ( x ? 12) ? f ( x) ? 6( x ? 5) ,则
10.当 x, y, z 为正数时,

4 xz ? yz 的最大值为 x ? y2 ? z2
2

二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题 过程)
11.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2(n ? N )
*

(1)求 {an } 的通项公式 an ;

(2)设 bn ? 有 Tk ? Tn ; (3) 设 cn ?

1 1 * ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求正整数 k ,使得对任何 n ? N 均 ? an n(n ? 1)

an ?1 * ,Rn 是数列 {cn } 的前 n 项和, 若对任何 n ? N 均有 Rk ? ? 成 ( 1 ? a) ( 1 ? a)n ?1 n

立,求 ? 的最小值;

12.已知 f ( x) ? ln( ax ? b) ? x 2 (a ? 0) 。 (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ,求 a , b 的值; (2)若 f ( x) ? x2 ? x 恒成立,求 ab 的最大值。

13.如图, ? O 为△ABC 的外接圆,DA 是 ? O 的切线,且∠DBA=∠ABC,E 是直线 DB 与 ? O 的另一个交点。点 F 在 ? O 上,且 BF // EC ,G 是 CF 的延长线与切线 DA 的交点。 求证:AG=AD

14.如图, F 1 、 F2 为椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,动点 P( x0 , y0 )( y0 ? 1) 在双曲线的 4

右支上。设 ?F 1PF 2 的角平分线交 x 轴于点 M ( m, 0) ,交 y 轴于点 N。 (1)求 m 的取值范围; (2)设过 F 1 、N 的直线 l 交双曲线 C 于 D、E 两点,求△ F2 DE 面积的最大值。

15.求满足下列条件的最小正整数 n :若将集合 A= {1, 2,3, … , n} 任意划分为 63 个两两不相 交的子集(他们非空且并集为集合 A) A1 , A2 , A3 ,…, A63 ,则总存在两个正整数 x, y 属 于同一子集 Ai (1 ? i ? 63) 且 x ? y,31x ? 32 y 。


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