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佛山一中2013届高一下学期期末试题(数学)


2013 届下学期期末考试高一级数学科试题
参考公式: 回归直线方程

y ? bx ? a 中,

b?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

?

?

? (x
i ?1


n

i

? x)

?

?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

?nx y
?2

? ?

,

a ? y? b x ;

?

?

2

? xi ? n x
2

?i
i ?1

n

2

?

n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

一、选择题.本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的,请把正确填涂在答题卡上.
1.如图所示程序框图,能判断任意输入的数 x 的奇 偶性.其中判断框内的条件是 A. ( C. ) (第 1 题图) D. m

m?0

B.

x?0

x ?1

?1


2. 设 a ? b,

c ? d ,则下列不等式中一定成立的是
B. ac ? bd C. a ? c ? b ? d (



A. a ? c ? b ? d 3. △ ABC 中,若 c

D. a ? c )

?b?d

? 2a cos B ,则△ABC 的形状为
B.等腰三角形 C.等边三角形

A.直角三角形

D.不等边三角形 ( )

4. 在等差数列 {a n } 中,若前 5 项和 S 5 ? 20 ,则 a3 等于 A 4 B -4 C2 ( D-2 )

5.下列关于数列的命题中,正确的是 A.若数列

,则 a p ? aq ? ar ?an ? 是等差数列,且 p ? q ? r ( p, q, r ? N * ) B.若数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ,则 ?an ? 是公比为 2 的等比数列 C. -2 和-8 的等比中项为±4 D. 已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? f (n) ,则 f (n) 是关于 n 的一次函数 6.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是
1





A.b = 10,A = 45°,B = 70° C.a = 7,b = 5,A = 80° 7.已知

B.a = 60,c = 48,B = 100° D.a = 14,b = 16,A = 45°

x, y

?y ? x 满足约束条件 ? ?x ? y ? 1 , 则 ? y ? ?1 ?
) C.3 D.5

z ? 2 x ? y 的最大值为 (
A.

3 2

B.

5 2

8. 某程序框图如图所示, 该程序运行后 输出的 S 的值为 A.63 C. 127 ( B.100 D.128 )

9.设 ?an ? 是等比数列, Sn 为其前 n 项和, ( n ? N * ), 下列语句中, 错误 的是 ( ..
1 ? 是等比数列 A.数列 ? ? ? ? an ?

) (第 8 题图)

? ? C.数列 ? lg a ?是等差数列
2 B.数列 an 是等比数列

n

D. Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 是等比数列 10. 有下列四句话: ①如果 x1 , x 2 是方程 ax 那么不等式 ax ②当 Δ= b ③不等式
2

2

? bx ? c ? 0 的两个实根,

且 x1

? x2 ,

2

? 4ac ? 0 时,关于 x 的二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ?

? bx ? c ? 0 的解集为 ?x x1 ? x ? x2 ?;

;

x?a ? 0 与不等式 ( x ? a)( x ? b) ? 0 的解集相同; x?b

④不等式 ( x ? a)(x ? b) ? 0 的解集为 其中可以判断为正确的语句的个数 是 .. A.3 B.2 C.1

?x a ? x ? b?.
( )

D.0

二、填空题.本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答卷
2

相应的横线上.
11. 某公司有 1000 名员工,其中, 高层管理人员占 5%,中层管理人员占 15%,一般 员工占 80%,为了了解该公司的某种情况,现用分层抽样的方法抽取 120 人进行调 查,则一般员工应抽取 人. 。 (用数字作答) .

12.若 0 ? x ? 6 ,则 x(6 ? x) 的最大值为 13. 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 14.已知数列

?

?an ? 中, a

1

? 1, an ? 3an?1 ? 4 (n ? N * 且n ? 2) ,则数列 ?an ? 通项公

式是 an =______________.

三、解答题.本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤.
15. (12 分) 在等差数列 (1) 求数列

?an ?中, a

1

? 25, a6 ? 15 ,

?an ?的通项公式; (2) 当 n 为何值时, 数列 ?an ? 的前 n 项之和 S

n

最大? 并求此最大值.

16. (12 分)如图四边形 ABCD 中,已知 AC= 5(3 ? 3) ,

A

D

?DAC ? 45o , ?DCA ? ?ACB ? 30o ,BC= 20 3
(1) 求线段 CD 的长度; (2) 求线段 BD 的长度.

B
(第 16 题图)

C

17.(14 分)假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下 统计资料: x(年) y (万元) 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料知,y 对 x 呈线性相关关系,试求: (1)回归直线方程; (2)根据回归直线方程, 估计使用年限为 10 年时,当年维修费用约是多少? [参考数据:2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3]

3

18.(14 分)设函数 f ( x) 的定义域为 R, f ( x) 既是奇函数又是增函数. 是否存在实数

m ,使 f (cos2? ? 3) ? f (4m ? 2m cos? ) ? 0 对所有的? ? [0, ] 均成立?
2
若存在,求 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

?

19.(14 分) 设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , S 2 ? 5 , (1) 求数列 ?an ?的通项公式; (2) 设 Tn ?

an?1 ?a n ?2n ? 1 ,( n ? N * ),

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ,求证: nTn ? 2n ? 1 . an

(3) 若数列 ?bn ?满足: bn

? nan ,请写出 ?bn ?的前 n 项和 U n 的公式(只要结果,不

须推导) ,并据此求出 U 19 的值.

20.(14 分) 如图,两个工厂 A,B 相距 2 km,点 O 为 AB 的中点,现要在以 O 为圆 心, 2 km 为半径的圆弧 MN 上的某一点 P 处建一幢办公楼, 其中 MA⊥AB, NB⊥AB. 据测算此办公楼受工厂 A 的“噪音影响度”与距离 AP 的平方成反比, 比例系数是 1, 办公楼受工厂 B 的“噪音影响度”与距离 BP 的平方也成反比,比例系数是 4,办公 楼受 A,B 两厂的“总噪音影响度”y 等于受 A,B 两厂“噪音影响度”的和,设 AP 为 x km . (1) 求“总噪音影响度”y 关于 x 的函数关系式, 并求出该函数的定义域; (2) 当 AP 为多少时,“总噪音影响度”最小?

N

P

M

B

O

A

(第 20 题图)

4

数学答案
一、选择题 二、填空题。

A C B A C

D C C D D 14. 3 ? 2 .
n

11.

96 .

12. 9

.

13. 333300

三、解答题。
15. 解: (1)

?an ?是等差数列.

?d ?

a 6 ? a1 ? ?2 ………………………………………………………………………4 分 6 ?1

? an ? 25 ? (n ? 1) ? (?2) ? ?2n ? 27 ………………………………………………….6 分
(2)由(1)得 S n ? 25n ?

n(n ? 1) ? (?2) ? ?(n ? 13) 2 ? 169 ………………………………..9 分 2

故当 n=13 时, 前 n 项之和 S n 最大, 最大值是 169 .………………………………….12 分

16. 解: (1)由题意知 AC= 5(3 ? 3) ,

A

D

?DCA ? 30o , ?DAC ? 45o

? ?ADC ? 180o ? (45o ? 30o ) ? 105o ……………..2 分
在 ?DAC 中,由正弦定理得,

B
……………………………………4 分

C

DC AC ? sin ?DAC sin ?ADC

? CD ?

AC sin ?DAC 5(3 ? 3 ) sin 45o 5(3 ? 3 ) sin 45o ? ? sin ?ADC sin 105o sin 45o cos60o ? cos 45o sin 60o

?

5 3 ( 3 ? 1) 1? 3 2

? 10 3

………………………………………………………………6 分

(2) ?DCB ? ?DCA ? ?ACB ? 60 , BC= 20 3
o

在 ?DBC 中, 由余弦定理, 得

BD2 ? CD 2 ? BC 2 ? 2CD ? BC ? cos?DCB
? 300 ? 1200 ? 2 ? 10 3 ? 20 3 ? 1 ? 900 2
5

………………………………8 分 …………………………………………11 分

? BD ? 30
17.解:(1) X 分

………………………………………………………………………………12 分

? 4, Y ? 5

???????????????????????2

?X
i ?1

5

2 i

? 90 ,

? X Y ? 112.3
i ?1 i i

5

??????????????????????

4



?????????????? 分

8

????????????????????? 10 分 ∴回归直线方程为 11 分 (2)当 x=10 时,

y ? 1.23x ? 0.08

???????????????????

y ? 1.23 ?10 ? 0.08 ? 12.38 (万元)

?????????? 13

分 答: 使用年限为 10 年时,当年维修费用约是 12.38 万元???????????? 分

14

18.解: ∵ ∴

f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (cos2? ? 3) ? f (4m ? 2m cos? ) ? 0 ,

f (cos2? ? 3) ? ? f (4m ? 2m cos? ) ? f (2m cos? ? 4m) ,
∵ ∴ 4分 ∴

?????2 分

f ( x) 在 R 上是增函数,

cos 2? ? 3 ? 2m cos ? ? 4m ,

???????????????????

2 cos2 ? ? 4 ? 2m cos? ? 4m ,

6



cos2 ? ? m cos? ? 2m ? 2 ? 0

?????????????

6分

? ?? 令 cos? ? t, ?? ? ?0, ?, ? 0 ? t ? 1. ? 2?
7分

???????????????

于是题设不等式? 在?0,1?上,t 2 ? mt ? 2m ? 2 ? 0恒成立,
?8 分 ∴

???

?m ? m ? ? 0 ? ? 1 ? ? m ? 4 ( 2 m ? 2 ) ? 0 或 或 ?2 ? 2 ?????11 ? 2 m ? 2 ? 0? 1 ? m ? 2 m ? 2 ? 0 ? ?
2



故 m ? 4 ? 22 .
13 分

???????????????????????????

4? 2 因此,满足条件的实数 m 存在, m 的取值范围为 (
分 19.解: (1)由 ? 分 ∵

2 , ? ? ).

?????14

?a2 ? a1 ? 3 ,得 a1 ? 1 , a ? a ? 5 ? 1 2


???????????????????1

an?1 ?a n ?2n ? 1 ,

an?1 ?a n ? 2n ? 1

于是,当 n ? 2 时, a2 累加之,得 an 分 ∴

?a1? 3 , a3 ?a 2 ? 5 ,

, an ? an?1 ? 2n ?1,

? a1 ? n2 ?1 , ???????????????????????4

a n ? n2
而 ∴ 分

??????????????????????????5 分

a1 ? 1 ? 12 ,即 a1 也满足上式,

a n ? n2

( n ? N *) . ???????????????????????? 6

7

(2)当 n ? 1 时,T1 ? 分 当 n ? 2 时,

1 ? 1 ,∴1T1 ? 2 ?1 ? 1 ; a1

?????????????? 7

Tn ?
9分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ... ? ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? ? 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n a1 a 2 an 1 2 n

????

1? 1 ? 1? ? 1 1? ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? 2 ? , ?????????????? n ? 2? ? 2 3? ? n ?1 n ?
11 分 ∴

nTn ? 2n ?1 .
(3) bn
3 3

??????????????????????????12 分 ,
2

? nan ? n3
3

? n(n ? 1) ? U n ? 1 ? 2 ? ... ? n ? ? , ?????????13 分 ? 2 ? ?
?19? 20? . U19 ? ? 0 ? ?3 6 1 0 ? 2 ?
2

??????????????????????14 分

π 2π 20.解:(1)连结 OP,设∠AOP=α,则 ≤α≤ . 3 3

?????????1 分

在△AOP 中,由余弦定理得 x2=12+22-2×1×2×cosα=5-4cosα. 在△BOP 中, 由余弦定理得 BP2=12+22-2×1×2×cos(π-α)=5+4cosα.

8

∴ BP2=10-x2.则 y=

1 4 1 4 . 2+ 2= 2+ AP BP x 10-x2

?????????5 分



π 2π 1 1 ≤α≤ .∴- ≤cosα≤ . 3 3 2 2

N

P

M

∴ 3≤5-4cosα≤7, 即有 3≤x≤ 7.

α

1 4 ∴ y= 2+ ,定义域为 {x| 3≤x≤ 7}.?????????7 分 x 10-x2 1 4 1 1 4 (2) 由(1)得 y= 2+ = ( + )[x2+(10-x2)] x 10-x2 10 x2 10-x2
2

B

O

A

??9 分

= ≥

10-x 1 4x2 (5+ + ) ?????????????????10 分 2 10 x 10-x2 1 (5+2 10 10-x2 4x2 9 · . 2 2?= x 10 10-x ????????????11 分

10-x2 4x2 10 2 当且仅当 = 时取等号,???????12 分 2,即 x = x2 3 10-x 此时 x= 答:当 AP 为 30 ∈[ 3

3, 7 ]

???????????13 分

30 km 时,“总噪音影响度”最小.??????? 14 分 3

9


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