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第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷


第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 (考试时间:150 分钟) 一、(本题共 5 小题,每小题各 6 分,共 30 分)解答下列各题(要求写出重要步骤) 。
1

1) 求极限 lim ( n!)
n ??

n2

?2 x ? y ? 3 z ? 2 ? 0 ? 2) 求通过直线 L: ? ? 的两

个相互垂直的平面 ? 1 和 ? 2 ,使得其中 ?5 x ? 5 y ? 4 z ? 3 ? 0?
一个平面过点(4,-3,1) 。 3) 已知函数 z=
2 u ( x, y )e ax?by ,且 ? u ? 0 ,确定常数 a 和 b,使函数 z= z?x, y ? 满足方

?x?y

? 2 z ?z ?z ? ? ? z ? 0; 程 ?x?y ?x ?y
4) 设函数 u ? u ?x ? 连续可微, u ?2 ? ? 1 ,且 径无关,求 u ? x ? ; 5) 求极限 lim
3

? ?x ? 2 y ?udx ? ?x ? u ?udy 在右半平面上与路
3 L

n ? ??

x?

x ?1

sin t t ? cos t

x

dt

二、(本题 10 分)

计算

?

??

0

e ?2 x sin x dx

三、(本题 10 分)
2

求方程 x sin

1 ? 2 x ? 501 的近似解,精确到 0.001; x

四、(本题 12 分)

设函数

y ? f ?x ? 二 阶 可 导 , 且 f " ?x ? ? 0



f ?0? ? 0



f ' ?0? ? 0 , 求

lim

x ?0

x 3 f ?u ? ,其中 u 是曲线 y ? f ? x ? 上点 p?x, f ?x ?? 处切线在 x 轴上的截距。 3 f ?x ?s i n u

五、(本题 12 分)
1

求最小实数 C,使得对满足

?
0

f ? x ?dx ? 1 的连续函数

f ? x ? ,都有 ? f ?
1 0

x dx ? C 。

?

六、(本题 12 分) 设 f ? x ? 为连续函数, ? 0 .区域 ? 是由抛物线面 z ? x ? y 和球面 x ? y ? z ? t t
2 2 2 2 2

2

所围起来的上半部分, 定义三重积分 F ?t ? ?

??? f ?x
?

2

? y 2 ? z 2 dv 求 F 的导数 F ?t ? 。 (t)

?

'

七、(本题 14 分)
? ?



?a
n ?1

n



?b
n ?1

n

为正项级数,那么

1)

? an 1 ? a n 收敛; ? ? 0 ,则 ? 若 lim ? n ??? a bn bn ?1 ? n ?1 ? n ?1 ?

?

?

2)

? an 1 ? bn 发散,则 a n 发散。 ? ? 0且 ? 若 lim ? ? n ??? a n ?1 n ?1 ? n ?1bn bn ?1 ?

?

?

?

?


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