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双边定时截尾场合三参数对数正态分布的参数估计


第2 3卷 第 6期 
20 0 7年 1   2月

大  学  数  学 
CO ILEGE  A TH     M EM A TI   CS

Vo . 3, .   12 № 6
De .2 07 c 0  

双边 定 时 截尾 场合 三参 数对 数  正 态 分 布 的参 数估

计 
徐 晓 岭   王蓉 华   张  晨 。 王 晓琳  , ,  
( . 海 对 外 贸 易 学 院 国际 经 贸 学 院 , 海 2 l 0 ; 2 上 海 师 范 大 学 数 理 信 息 学 院 , 海 2 0 3 ; 1上 上 O 6 0  . 上 0 2 4 
3 .上 海 交 通 大 学 电子 工程 系 , 海 2 0 4 ) 上 0 2 0 

[ 摘  要] 给 出 了 双边 定 时 截 尾 场 合 j 参 数 对 数 正 态 分 布 的 参 数 估 计 , 通 过 Mo t- al 拟 说 明 本  并 neC r o模
文 方 法 的可 行 性 .  

[ 关键 词 ] 双 边 定 时截 尾 ; 三参 数 对 数 正 态分 布 ; 似 极 大 似 然 估 计  近 [ 图 分 类 号 ]02 3 2 中 1.  [ 献标识码]C 文   [ 章 编 号] 17 —4 4 20 ) 60 2—6 文 6 215 (0 7 0— 190 

1 参数 估 计   
设 产 品的寿命 丁服从 三参 数对 数正 态分 布 , 其分 布 函数 和密度 函数 分别 为 
一   e一 

t O   0 一 。 <  < + 。   > ,> , 。 。,

( ) 1 

厂r   (

, 一  1  )  

1    e
,  

t O  > 0 一 。 <  < + 。   > , , 。 。,

() 2 

其中  > 0称为 对数 标准差 , 为 对数 均值 , 为位 置 参 数.  称 0称 假设 有 ”个 产 品 做 双边 定 时 截尾 寿 命试 
验 , 时截 尾时 间设 为 r 定   产品失效.   令 y—I( - O , Y 服从 均值 为  , 差 为  的正态 分 布 N(   ) 其 分 布 函数 和 密 度 函数 分 别  n T )则 方  , ,
为:  


、 、 

, 中 r<  在 r 前 共有 r 一1 产 品失 效 , r 其       个 在  前共 有 r  个 产 品失效 ,  

次序失效时 间为 (  )c <f r≤ f    

< …<f (   ≤ )也就是 说在时 间区间[  内共 有 志 2   1 , r,  ] 一r一r+ 个 

1  




 

d ,   

(   3)

1  

(一

 2  

f ( l, ) v y; a =  l e 。 l    

?  

‘  4

令 Z Y-/ — - ̄


则 Z服从 标准 正态 分 布 N( , ) 其分 布 函数 和密 度 函数 分 别为  O 1,
FZ  ( 1 e dx ,      
(   5)

厂 ( 一  1 e z )   一
. 

(   6)

为方 便 起见 , 记 
[ 稿 日期 ] 20 一 11  收 0 6o —6 [ 金 项 目] 上 海 市 教 委 基 金 (6 0 9 C 2 0 1 ) 20 基 0 MS 0 , L 0 5 7 ;0 7年 度 上 海 市 教 委 重 点 课 程 (Z 2 6 ;0 7年 度 统 计 学 专 业  5 10 ) 20
建 设 ( Z 5 1  5 10 )

1O 3 

大  学  数  学 
F(   /z( z) - z),   (   z) z( . z) 

第2 3卷 

令 
Y㈤ 一 l t 一 ), n( ㈤ Z㈤ 一  ,  

y l(l   nr  

, y l(z ) Z】 Yl   nv- , r r 一了 -


Z2   r =

,  

则 (  ≤ )   ≤ y , ¨≤ … ≤ y( ≤ y y。 y, 。    十   r 2  (  ) 来 自 正 态 分 布 N( d ) 样 本 容 量  为 在 区 间 内  为  ,   的

[   y 的 志个 次序失 效 数据 ;Z ≤ ) 【 ≤ Z r ¨≤ …≤ Z r ( Z 为来 自标 准 正 态分 布 N( , ) y  ] ( 1 Zr 1   (十 1 ( ≤  ) 2   O 1  的样本 容量 为  在 区间 内E   Z ] 志个 次 序失效 数据 . z  的   易知似 然 函数 L( d )( 中 C  , , 其  为正 常数 ) 为 

L , 一  F(  ,]一 1 F(  d ”zIf((i,  ( d ) c Ey ; d    一 y ;, ] r  v  fd   , y   )- E y )一  I Y)l )


() 7   (  8 )

cd [( 。 E一 ( ]  fZ )  一 Fz ) 1 FZ )r Ⅱ (㈤ ,      ,z  

l (, -l   是   ( - ) E(r] (一  n1 FZ ) ∑ l (㈤ . (  n  d ) n 一 l + r 1lFZ )   r l 一 ( ] L , C n 。 n 1+ )E   + n Z) 9 f   )
考 虑 到 

一 吉 丝 一 ,a 一 O一 e , “ … 3 _ ’ O 吉- 吉 ( .   ,a   丝 _ 一一   ’ ’ :_ 一   . 一 t   _- p   _ ~
3 一 一

厂( ) -z () 厂() z一1厂 z , z 一- f z , z 一(  ) ( )  

等    ~
一 一

+    r 2
+r   2  
r  2

吉( 1() r )Z  l 丽q -f
。  

} ,   r 2  

() 1 O   } … ,     } ’  
( 2) 1  

一 一 

+ 

一 一 
3   Zq



 

+ 



 







吉  

壹 I +2   r  
i =
r 

令 
口 “ 

一0 于是 得如 下方 程 : ,  

f  一 丽 )   笛 一2 . ( Z q  z o r“    -
令 
口d 

一o 于 是得 如下方 程 : ,  

Zl r  
令  一o 于是得 如下方 程 : ,  

_(-r Z  n z ̄ )z

一 2  r  

r  2

e~

 

e~

 

一  



 

- o  .

第 6期 
令 

徐 晓岭 , : 等 双边 定 时截尾 场合 三参数 对数 正 态分 布的 参数 估计 

11 3 

Pr一    ? 。
一  

  ) 干 『   F( 。 一P 。, -, ( )一     。


。 F    。 , 一 ~ ( )    r  




Pz  一  干 『 , F( ) r一  -, (    z   一 f, 2 
Pt 一  , F( )一 Pt    ,

一 一 ( 2 , 一F    f)   

一 F  ( )    ?

将 函数 

在点  。 泰勒 展开 , 处 得 
( 6) 1  



 

。 ,  

其 中 

厂( )  .  
一  

f ( )  . 一尸 ( )    . F( )  . 
一 ’  

弋 f— —   ?

( 7  1)



 

等  .  


( 8) 1  

将 函数  厂 Z ) 在点  处 泰 勒展开 ( , 

得 
( 9  1)

,  

其 中 

厂( )    


f ( ) 1 F( ) 一尸 ( )     E -  , ]    

F 
一  

弋 r — 1F  z —


. 

’  

( 0) 2  

( 1) 2  

将 ( 6 。 】 ) 入方 程 ( 3 并 化 简 . 】) (9代 】)  

( 一1 a一  I(— z a     一∑ Z 一 , r ) 。 z - n r [ + z ]   [ 。一 )  ㈤ 0  

[ 一 

]n2 --) (r  [

- o ,  
( ) 22   ( 3) 2  

[ 。 1 。 ( ra口 ( 一 )Y +(—  k +∑y ] (一 )一 n  k 一[   1o。 n rf   r a — )] r f   l )Y l ㈤ 
+ [ r 一 1  + ( — r ) + 是 一 0  (  ) n z   ] ,
“一 B( - a ,  ) C 

其 中 
M 一 ( 1 1  + ( — r ) + 是   r— ) n 2  ,
( 4) 2   ( 5) 2  

B)1(一)n 一)( ,kr 0 壹n   , (   , 1l     .l2 ) l )    [   ( + 一 )n - + ( ] 一 .       ( p  一
c一  [ r一1 a 一( - r)  . (。 )。 n 2a ]  
将 (6 , 1 ) 入方 程 (4 并 化简 , 1) (9代 1)  
是+ (   1 Z r一 )  


( 6) 2  

E - o  一 n r z [ + z ] a f 。 (- 2  a     一∑ z 一 , ol ] Z )   : 0    

… 

[ 一 

卜一z [ (   

r  ] 2 [  

0,  

k   (1 ) C + (  一B() - , 一 (  一B() a + r —1 [   y 。   )1 。   y 。 5口   +  )  ]

12 3 

大  学  数  学 

第2 3卷 



( r [  /0+ [ + y 一3 ) c) ∑ [㈤ /0+   一 , ” z y 一3 )  ]    (  /0  ] 一 ) ( a (+ 一 y 一3 ) c] 0 (    
i   1  

+(? )  + (  - /( )] ( 。 o a r一1 [ y 。 3 0 ) [ a -pC)-#(  - /() ] y , 3 0 ) 


(一 z (+ y 一3 ) [     )  (  B )一 ∑ [ (㈤ B ) 一 , ” r [ (  /0 ]( + c  y 一 ( ] )  () a + )  + y 一 ( ] 0 )   
i   1  

{ ( l 1 C( o  + r 一 ) a 一  C) ( - r ) a + C) k    一 n 2 C(   - C )

+ (一 ) 。p )   B ) (一 ) o   B ) 2 ∑ ( 一 ( ) {  1 a o (。 ( ) r 1 fy 一 ( ) C y B ) r (一 c y 一   一   C ( 。   一 l     
、   i   1  


(-r c y -BO) n r ( + c (  BO) n 2  (  ( 一(- 2 a   )y - ( } ) ) )k ) 



{  1o   B )+∑ (㈤ B )+” rfY一 () 一 , (一)(。 () r /y 一    2 y 一 () ( 2k  B ) }0    一 )( l     
A  + D ( ) - E( O a-  )一 0,  

() 2  7
( ) 28  

即 

其中  
A 一 是+ ( l 1 C( o r 一 ) a 一  C)一 (  r ) a ,— 2 C(  +  C ) k - C ,   D( 一 ( l 1 a  ) r 一 )( o一  C) 1 r - 0) B( ) ( n(   - O )一 (   1) r一 C  ( n(  - 0 - B( )   1 r - )- O)


( ) 29  

( - r )   (n( 2- 0 - B( ) (  r ) a n- 2 ( I r - )- O) 一 ,— 2 (  +  C ) 1 r - 0) B O ) ( n( 2 - ( ) 



2 ∑ ( ( 一 ) B ) c 1 t  一 ( , n㈤ ) 
1  

() 3  0

E ) r 121 r  一 ( ) ” r ( ( 一 ) B ) ∑ ( ( 一 ) B )  ( 一( 一 ) ( ( 一 ) B    一 2 1 r  一 (       / n  o ) +( ) n   )+ 1t  一 (   n㈤ ).
一 1  

( ) 31  

由 此 得 
a O = - D( )  ̄D  0 + 4 () O + / 2 ) AE( ) ( 0


.  



( ) 32  

代 入 (2 , 2 ) 得 

五  一B   -9 oc  () () () .
将 ( 6 , 1 ) 入方程 ( 5 并化 简 , 1 ) (9 代 1)  


(3 3)  

解。 卜 + r 妻 ㈤o    2   - Z一 ] '  
rr /2 -     V 卜r   2   卜   -. o   -. o  
( 5) 3  

[ 一 
将 ( 2 ,3 ) 入 (4 , 3 ) (3 代 3 ) 得 

[ 一 

卜nr -  2 E  

方程 ( 5 仅 含有 位 置参数 0 故 可解 超 越 方 程 ( 5 得 参 数 0的 近 似极 大似 然 估 计 ( 3) , 3) AML   代 入  E).
( 2 ,3 ) 可得 参数 , 的近似 极 大似 然估计 ( 3 )(3 ,   AMI )     E
a O = - D ( )  ̄ 2 0 + 4 E( ) () O + / (  D ) A 0


( 6) 3  



B() C    一; .

( 7  3)

为 了考察 方程 ( 5 解 的情 况 , 们 分 别 取 样 本 容 量 为 ” 2 ,0 参 数 真 值 取 为  一 0 5 1 1 5  3) 我 一 03 , . , ,. ,

O ,一 0 1 5 通 过 Mo t- al 拟 产 生 服 从 三 参 数 对 数 正 态 分 布 的 ”个 随 机 数 , t — ㈩ , -   z1 , ,. neC r o模 取 l  

第 6期 
t一) z [  

徐 晓岭 , : 等 双边 定 时截尾 场合 三参数 对数 正 态分 布的 参数 估计 

13 3 

, 此时  一4 r —n 3 代 入方程 ( 5 求解 , ,z - . 3) 有解 的成功 率 列 于表 1 从 中可 以看 出其 有解 率  .

还是 比较高的. 在有解的情况下, 我们模拟了 10 00次,  ,, 得到 五 的均值及均方差列于表 2从 中可 以看  .
出其精 度还 是令人 满 意 的.  
表 1 Mo t C r   n e— al 拟成 功 率  o模

r l  
2  0 2  0 2  0 2  0 2  0 2  0 3  0 3  0 3  0 3  0 3  0 3  0 O   .5 O.5   O   .5 1   1   1   O.5   O.5   0   .5 1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   O   1   5   O   1   5   O   1   5   O   1   5   4   4   4   4   4   4   4   4   4   4   4   4  

7 " 2  
1    7 1  7 1  7 1  7 1  7 1  7 27   27   2  7 27   27   27  

~, 功 次 数  成
1 00 0   1 00 0   1 0 00   1 00 0   1 00 0   1 00 0   1 00 0   1 00 0   1 00 0   1 00 0   10  00 1 00 0  

~ 模 拟 总 数 
1    O1 5 1 O21   1 4 O1   1 6 37   1 69 3   1 3 41   1 04 0   1 O1 O   1 2 00   11   65 11 8 5  11 6 6 

成 功 率 
98 5   2


97


9 %  4

98 6   2


72 6   7


73 O5  


7O 7   7


9 6 9  


9 9 9  


9 8 9  


85 84  


86 3   6


85 7   6


表 2 Mo t C r 模 拟所得 ,  的均值和方差    ne— al o 五,
^  

r l  
20   20   20   2  0 2  0 O.   5 0.   5 O.   5 1   1   1   1   1   1   1   O   1   5   O   1   4   4   4   4   4  

" 7 2  
1  7 1  7 1  7 1  7 1  7

均值  均方差 


五均方差 

均方差 

O. 61   O. 21   O 61   0. 94 1 4   O.1 2 2 6 O 8 27 07   .3 21 O5   0 7 5 0. 233 O. 41   O   611   O. 73 1 4   O.11   5 O8   .3 73 44


4. 35   0. 213 O 63   O.1 O9 1 81   O 7 7 O   28 O   .2 4 .11   91


O. 32 0. 24 O. 4O O 09   1 39   O.1 O3   O3   81   94 .7 7 267  


1 O2   O. 21 0. 94 O 1 68 1 33   O.1 O9 . 35 O3   80   0   .7 6 3  


20  
2  0 2  0 2  0

1  
1   .5 1   .5 1   .5

1  
1   1   1  

5  
O   1   5  

4  
4   4   4  

1  7
1  7 1  7 1  7

5. 28   O. 1   0. 03 O.1 25 1 2   O 3   0 6 O3 8 83   2   .6 O5 .1 83
O. 31 O. 08 1 6   O.1 4 2 O5   O.1 3   36   06   .3 09 27   .1 7 54 1 35   O. 87 1 5   O 27   2 0 4 O.1 . 24 O5   .3 93 .1 3 86   477  


5. 38 O. 3O 1. 5   O 36   1. O7   O.1 36   O6   3 24 .1 5 9 6 473  

3  0 3  0 3  0

O.5   O.5   O.5  

1   l   1  

O   l   5  

4   4   4  

27   27   27  

O. 321   O. 27 O.6 O5 O. 8   1. 51 0. 55 3 O1   4   05 2 29   07   0. 677   O. 22 O.6 5 0 59   1. 07 0. 78 5 Ol   47   .0 3 3l   07   4. 97 O. 2O O.71 O O 85   1. 645 O. 99 69   O1   9  .O 8 3   O9  

3  0
3  0 3  0 3  0 3  0 3  0

1  
1   1   1   .5 15 .  1.   5

1  
1   1   1   1   1  

O  
1   5   O   1   5  

4  
4   4   4   4   4  

2  7
2  7 2  7 2  7 2  7 2  7

O O 2   0 O 1  0 8 7  O O 8   1 6 6   O O 5   .33 .2 1 .4 1 .6 7 .4 0 .81
O.9 7 O. 20   O. 465 O. 25 1 63   O.O 0 65   0 3 8   O7   . 88 87   4 821 O. 8   O. 91 O. 08 1 5   O 99   .9   O1 9 91   09   .6 63 .0 7 O. 67   O. 355 1 43   0. 93 1 73   0 88   2 0 O   . 59 07   .9 2 .0 3 1. 83   O. 72 1 43   O. 69 1 63   O 821 2 4 O3   . 35 O7   .9 4 .O   5. 961 O. 38 1 7   0. 2   O3   .5 49 095   1 3 .91 8 0 97   4   .O 9

14 3 

大  学  数  学 

第 2 3卷 

2 算 


例 
取样 本容 量 一2 , 0 参数 真值 分别取 为 一1 口 ,一1 通过 Mo t— al 拟 产生 服 从 三参  ,一1  , neC r o模
1 3 8, 1 9 3   2 1 2, 2 08   .9 8   . 7 0, . 04   .1 5,

数对 数 正态分 布 的 2 0个 随机 数 , 从小 到大 排列 如下 :  
1 1 8, 1 21 5, 1 4 4, 1 5 05, 1 8 1, 1 88 1, .1 4   . 6   .5 8   . 5   . 27   . 6  

2 l 9, 2 2 0, 2 0 .1 1   . 03   .3 21, 2. 8   5 47, 2 6 9, 2 89 8, 3 46 6, 3. 7   . 43   . 5   . 0   4 71, 3 6 1, 5 09 5    . 89   . 8.

取 t—1 5 0 , —3 4 0 , 1 . 55t 2 . 6 6 此时 ,1 ,2 7 所剩余 的 1 数据 t ~£7如下 : r—4 r—1 , 4个 … () 1  
1 5 05, 1 82 1, 1 88 .5   . 7   . 61, 1 3 8, 1 9 3   2 0   .9 8   . 7 0, .1 42, 2 08     .1 5,
2 11 9, 2 2 0, 2. 0 . 1   . 03   3 21, 2 5 47, 2 6 9, 2 89 8, 3 46 .   . 8   . 43   . 5   . 06 

利用 本文 方法 可 以得 到参数 的近 似极 大似 然估 计分 别为 
“ 一 0 5, .9 口: 1 06, .   一 0. 4   9 .

[ 参  考  文  献]  
[ ] 费 鹤 良 , 玲 玲 . 品 寿命 分 析 方 程 [ . 京 : 防 工 业 出版 社 ,9 8 1 王 产 M] 北 国 18.   [ ] 戴 树森 . 鹤 良 , . 靠 性 试 验 的统 计 分 析 ( 、 册 ) M]北 京 : 防工 业 出版 社 ,9 3 2 费 等 可 上 下 [ . 国 18.   [ ] B lki n nN ad CiodC h nA.Ore tt t sa difrneet t nmeh d [ .B s n 3 aa r h a   n  lfr  o e  s f d r ai i  n nee c si i   to s M] ot :Acd mi s sc ma o o ae c  
Pr s e s.I C 。 1 9l  N 9 _

Th   tm a o so   r m e e s o   e Es i t r   f Pa a t r   fThr e Pa a e e   g r a   e - r m t r Lo no m l

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XU  a —i g Xi o ln  , W  N G  n — a   ZHA NG  e 。 W  NG  a —i  Ro g hu  , Ch n , Xi oln
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