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烟台市2013届高三期中考试数学理科1


烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测

高三数学(理科)
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔. 要字迹工整,笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效. 一、选择题(本大题共 12 小题;每小题 5

分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是符合题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上.) 1.已知函数 f ( x ) ? lg( 1 ? x ) 的定义域为 M,函数 y ? A. ? x | x ? 1, 且 x ? 0 ? C. ? x | x ? 1? 2.设 a ? 2
2 .5

1 x

的定义域为 N,则 M ? N =

B. ? x | x ? 1且 x ? 0 ? D. ? x | x ? 1?

, b ? 2 .5 , c ? (

0

1 2

)

2 .5

, 则 a , b , c 的大小关系是

A. a ? c ? b
1
x

B. c ? a ? b

C. b ? a ? c

D. a ? b ? c

3.曲线 y ? ( ) 在 x ? 0 点处的切线方程是
2

A. x ? y ln 2 ? ln 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 4.已知向量 a 、 b ,其中 | a | ? A.
?
4

B. x ln 2 ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0
2 , | b |? 2

,且 ( a ? b ) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是 C.
3? 4

B.

?
2

D. ?
?
2 ) 的部分图象如图示,则将

) | 5. 函 数 f ( x ) ? A s i n (? x ? ?( A ? 0, ? ? 0, ? |?
y ? f ( x ) 的图象向右平移

?
6

个单位后,得到图象解析式为 B. y ? cos 2 x

A. y ? sin 2 x C. y ? sin( 2 x ?
?
3 )

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

6.已知向量 a ? ( x ? 1, 2 ), b ? ( 4 , y ) ,若 a ? b ,则 9 ? 3 的最小值为 A.2 7.已知 sin 2 ? ? ? A. ?
1 5 1 x

x

y

B. 2 3
24 25 ,? ? (?
1 5

C.6
?
4

D.9

, 0 ), 则 sin ? ? cos ? 等于

B.

C. ?

7 5

D.

7 5

8.如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域,E 是 D 内位于 函数 y ?
( x ? 0 ) 图象下方的阴影部分区域,则阴影部分 E 的面积为

A. ln 2 C. 2 ? ln 2

B. 1 ? ln 2 D. 1 ? ln 2

9.已知函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ,且当
x ? [ 0 , 2 )时 , f ( x ) ? log ( x ? 1 ) ,则 f ( ? 2011 ) ? f ( 2012 ) 的值为

2

A.-2

B.-1

C.1

D.2

10.在 ? ABC 中 , P 是 BC 边 中 点 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是 a , b , c , 若
c Ac ? a PA ? b PB ? 0 ,则 ? ABC 的形状为

A.等边三角形 C.直角三角形

B.钝角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形
?1 , x ? M , ?0, x ? M

11.已知函数 f M ( x ) 的定义域为实数集 R,满足 f M ( x ) ? ?

(M 是 R 的非空

真子集) 在 R 上有两个非空真子集 A, 且 A ? B ? ? , F ( x )? , B, 则 的值域为
( A. 0, ] 3 2

f A? B ( x ) ? 1 f( x ) ? f B ( x ) ? 1 A

B.{1}

1 C. { , ,} 2 3

1

2

D. [ ,1 ]
3

1

x?2 12.已知 f ( x ) ? a , g ( x ) ? log

a

x ( a ? 0 , a ? 1) ,若 f ( 4 ) ? g ( ? 4 ) ? 0 ,则

y ? f ( x ), y ? g ( x ) 在同一坐标系内的大致图象是

二、填空题:本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填在答题卡的相 应位置. 13.在 ? ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cos C ,则 tan B ? tan C ? 14.函数 f ( x ) ? ? 数是 15.函数 y ? 2 sin(
?
3 ? x ), x ? ( 0 , 2 ? ) 的单调递增区间为
?2 x ? 2, ?x
2

x ?1

? 4 x ? 3, x ? 1

的图象和函数 g ( x ) ? ln( x ? 1 ) 的图象的交点个

16.函数 f ( x ) 的定义域为 A,若 x 1 , x 2 ? A 且 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 时总有 x 1 ? x 2 ,则称
f ( x ) 为单函数.例如:函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ( x ? R ) 是单函数.

给出下列命题:
2 ①函数 f ( x ) ? x ( x ? R ) 是单函数;

x ②指数函数 f ( x ) ? 2 ( x ? R ) 是单函数;

③若 f ( x ) 为单函数, x 1 , x 2 ? A 且 x 1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数, 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号) 三、解答题.本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或 推理步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? cos
3x 2 cos x 2 ? sin 3x 2 sin x 2 ? 2 sin x cos x .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? [
?
2 , ? ] ,求函数 f ( x ) 的零点.

18.(本小题满分 12 分) 已知 ? , ? 是三次函数 f (x) ?
1 3 x ?
3

1 2

ax

2

? 2 bx ( a , b ? R ) 的 两 个 极 值 点 , 且

? ? 0 ,1), ? ? 1, 2) ( ( ( ,求动点 a , b ) 所在区域面积 S.

19.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 2 cos
2

x,

3 ), n ? (1 , sin 2 x ),

函数 f ( x ) ? m ? n .

(1)求函数 f ( x ) 的对称中心; (2)在 ? ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,且 f ( C ) ? 3 , c ? 1 , ab ? 2 3 , 且 a ? b ,求 a , b 的值. 20.(本小题满分 12 分) 一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题: (1)用 ? 表示铁棒的长度 L ( ? ); (2)若铁棒能通过该直角走廊,求铁棒长度的最大值.

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x ) ? ax 记 f ( x ) ? g (| x |) . (1)求实数 a , b 的值; (2)若不等式 f (log
k ) ? f ( 2 ) 成立,求实数 k 的取值范围;
2

? 2 ax ? 1 ? b ( a ? 0 )

在区间[2, 3]上的最大值为 4, 最小值为 1,

2

( 3 ) 定 义 在 [ p, q]

上 的 一 个 函 数

m (x)

, 用 分 法

T : p ? x 0 ? x 1 ? ? ? x i ?1 ? x i ? ? x n ? q 将区间 [ p , q ] 任意划分成 n 个小区间, 如果存
n

在一个常数 M ? 0 ,使得和式 ? | m ( x i ) ? m ( x i ? 1 ) |? M 恒成立,则称函数 m ( x ) 为在
i ?1

[ p , q ] 上的有界变差函数,试判断函数 f ( x ) 是否为[1,3]上的有界变差函数?若是,求
n

M 的最小值;若不是,请说明理由.(参考公式: ? f ( x i ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? f ( x n ))
i ?1

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
ln x ? a x (a ? R ) .

(1)求 f ( x ) 的极值;

2 ( (2)若函数 f ( x ) 的图象与函数 g ( x ) ? 1 的图象在区间 0 , e ] 上有公共点, 求实数

a

的取值范围.

高三数学(理科)答案
一、选择题 ADBAD CBDCA BB 14.2 15. (
5? 6 , 11 ? 6 )

二、填空题 13.2 三、解答题

16.②③④

17.解: (1) f ( x ) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 故T ? ?

2 cos( 2 x ?

?
4

) ,…………4 分

………………5 分
?
4 ) ? 0,

(2)令 f ( x ) ? 0 , 2 cos( 2 x ?
?? ?

又? x ? ? , ? ? , ?2 ?
? 5? 4 ?

…………………………7 分
?
4 3? 2 5? 8

?
4

? 2x ?

9? 4

?

? 2x ?

, ………………9 分 .………………12 分

故x ?

5? 8

,函数 f ( x ) 的零点是 x ?
1 3 x ?
3

18.解:由函数 f ( x ) ?
f '(x) ? x
2

1 2

ax

2

? 2 bx ( a , b ? R ) 可得,

? ax ? 2 b



…………………………2 分
2

由题意知, ? , ? 是方程 x ? ax ? 2 b ? 0 的两个根, …………5 分 且 ? ? 0 ,1), ? ? 1, 2),因此得到可行域 ( (
? f '(0 ) ? 2b ? 0 ? ? f ' (1 ) ? 1 ? a ? 26 ? 0 ? f '(2) ? 4 ? 2a ? 2b ? 0 ?

……………………9 分
?b ? 0 ? 即 ? a ? 2 b ? 1 ? 0 ,画出可行域如图. ………………11 分 ?a ? b ? 2 ? 0 ?

所以 S ?

1 2

.

……………………12 分

19.解: (1) f ( x ) ? m ? n ? ( 2 cos

2

x,

3 ) ? (1 , sin 2 x ) ? 2 cos

2

x ?

3 sin 2 x

,

………………2 分

= cos 2 x ? 1 ? 令2x ?
?

3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ? k? 2 k? 2 ?

?
6

) ?1.

………………4 分

?
6

? k ? 得, x ?

?
12 ?

(k ? Z ) ,

函数 f ( x ) 的对称中心为 (
?
6

?
12

,1 ) .

………………5 分
?
6 ) ?1,

(2) f ( C ) ? 2 sin( 2 C ?

) ? 1 ? 3 ? sin( 2 C ?

? C 是三角形内角,? 2 C ?
2

?
6

?

?
2

即: C ?

?
6

……………………7 分

? cos C ?

b

? a

2

?c

2

?

3 2

即: a ? b ? 7 .

2

2

………………9 分

2 ab

2 将 ab ? 2 3 代入可得: a ?

12 a
2

? 7 ,解之得: a

2

? 3 或 4,

? a ?

3 或 2,? b ? 2 或

3 .……………………11 分

? a ? b ,? a ? 2 , b ?

3

.

……………………12 分

20.解: (1)根据题中图形可知,
L ( ? )? 2 cos ? ? ? ? ? ,? ? ? 0, ? . sin ? 2 ? ? 2

………………4 分

(2)本题即求 L ( ? )的最小值. 解法一:
L ( ? )? 2 cos ? ? 2 sin ? ? 2

………………5 分
sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?



令 t ? sin ? ? cos ? , t ? (1 , 2 ] , 原式可化为 L ( t ) ?
t 4t
2

?1

?

4 t? 1 t

………………9 分

因为 L ( t ) 为减函数,所以 L ( t ) ? L ( 2 ) ? 4 2 .…………11 分 所以铁棒的最大长度为 4 2 m . 解法二: 因为 L (? ) ?
? 2 cos ? sin
2

………………12 分

?

?

2 sin ? cos
2

?

,所以

L ? (? ) ? ?

? 2 cos ? sin
2

?

?

2 sin ? cos
2 2 2

?

?

2 (sin sin

3 2

? ? cos ? )
3

? cos ?
2 2

………………9 分

2 (sin ? ? cos ? )(sin sin
? ?

? ? sin ? cos ? ? cos ? ) ? cos ?
2

因为 ? ? ? 0 , ? ,所以 ? ? 0 , ] 时, L ( ? )为减函数,? ? [ (
2 ?

? ?

?

?
4

,

?
2

为 ) 时, L ( ? )

4

增函数,所以 L (? ) ? L ( min

?
4

) ? 4

2 ,

………………12 分

2 21.解: (1) g ( x ) ? a ( x ? 1 ) ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x ) 在区间[2,3]上是增函

数,故 ?

? g (2) ? 1

?a ? 1 ,解得 ? ? g ( 3)? 4 ?b ? 0

…………4 分

2 (2)由已知可得 f ( x ) ? g (| x |) ? x ? 2 | x | ? 1 为偶函数,所以不等式

f (log

2

k ) ? f ( 2 ) 可化为 log

2

k ? 2

解得 k ? 4 或 0 ? k ?

1 4



………………7 分 ………………8 分

(3)函数 f ( x ) 为[1,3]上的有界变差函数。

因为函数 f ( x ) 为[1,3]上的单调递增函数,且对任意划分 T: 1 ? x 0 ? x 1 ? ? x i ? 1 ? x i ? ? ? x n ? 3 ,有
f (1 ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 1 ) ? ? ? f ( x n ? 1 ) ? f ( x n ) ? f ( 3 ) ,
n

所以 i ? 1

?|

f ( x i ) ? f ( x i ? 1 ) |? f ( x1 ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? f ( x n ) ? f ( x n ?1 ) ? f ( x n ) ? f ( x 0 ) ? f ( 3 ) ? f (1 ) ? 4 , ? 11 分 ?
n

所以存在常数 M ? 4 ,使得 ? | m ( x i ) ? m ( x i ? 1 ) |? M 恒成立,
i ?1

所以 M 的最小值为 4.

………………13 分
1 ? (ln x ? a ) x
2

( ? 22.解: (1) f ( x ) 的定义域为 0 , ? ), f ' ( x ) ?

…………2 分

1? a 令 f '( x) ? 0得 x ? e ,

1? a 当 x ? ( 0 , e ) 时, f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 是增函数;

? f ( x )在 x ? e

1? a

处取得极大值, f ( x ) 极大值 ? f ( e 1 ? a ) ? e a ? 1 ,无极小

值.…………5 分 (2)①当 e
1? a

? e 时,即 a ? ? 1 时,
1? a

2

( 由(1)知 f ( x ) 在 0 , e

)

( 上是增函数,在 e

1? a

, e ] 上是减函数,

2

? f ( x ) max ? f ( e

1? a

)? e

a ?1

,

………………6 分 …………………7 分

又当 x ? e

?a

时, f ( x ) =0,

?a ?a 2 a ?1 当 x ? ( 0 , e ] 时 f ( x ) ? 0 .当 x ? ( e , e ] 时, f ( x ) ? ( 0 , e ) ,

? f (x)

2 ( 与图象 g ( x ) ? 1 的图象在 0 , e ] 上有公共点,

?e

a ?1

? 1 ,解得 a ? 1 ,又 a ? ? 1 ,所以 a ? 1 ………………9 分
a ?1

②当? e

( ? e 即 a ? ? 1 时, f ( x ) 在 0 , e ] 上是增函数,

2

2

( ? f ( x ) 在 0 , e ] 上的最大值为 f ( e ) ?

2

2

2? a e
2

………………11 分

所以原问题等价于

2? a e
2

? 1 ,解得 a ? e

2

? 2.

又? a ? ? 1 ? 无解. 综上,实数 a 的取值范围是 [1, ?? ) . ………………13 分


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