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弦长公式(高二版椭圆)


圆锥曲线综合问题
1. 直线方程的处理:若直线方程未给出,应先假设。 (1)若已知直线过点 ( x0 , y0 ) ,则假设方程为 y - y0 = k ( x - x0 ) ; (2)若已知直线的斜率 k ,则假设方程为 y = kx + m ; (3)若仅仅知道是直线,则假设方程为 y = kx + m 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论; (4)若已

知直线恒过 x 轴上一点 (t , 0) ,且水平线不满足条件(斜率为 0) ,可以假设 直线为 x = my + t 。 【反斜截式, m = 2.弦长公式:若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆

1 】不含垂直于 y 轴的情况(水平线) k

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 P, Q 两点,求弦长 a 2 b2

| PQ | 的步骤: 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,联立方程组(将直线方程代入椭圆方程) :

? y ? kx ? m, 2 消去 y 整理成关于 x 的一元二次方程: Ax ? Bx ? C ? 0 , ? 2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ,
则 x1 , x2 是上式的两个根, ? ? B ? 4 AC ? 0 ;由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?
2

B C , x1 x2 ? , A A

又 P, Q 两点在直线 l 上,故 y1 ? kx1 ? m, y2 ? kx2 ? m ,则 y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 ) ,从而

| PQ |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( x2 ? x1 )2 ? k 2 ( x2 ? x1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2
? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?

? ( 1? k 2 ) 2 A
2

【注意:如果联立方程组消去 x 整理成关于 y 的一元二次方程: Ay + By + C = 0 ,则

| PQ |? (1 ?

1 1 ? 反斜截式 揪 揪 揪 井 )( y2 ? y1 )2 ? (1 ? 2 ) 2 揪 2 k k A

(1 + m2 )

D 】 A2

3、其他常见问题处理 (1) 等腰 (使用垂直平分) ,平行四边形 (使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合) (2)直径(圆周角为直角,向量垂直或斜率乘积等于 - 1 ) ,其次考虑是否需要求圆的方程。 (3) 锐角和钝角使用数量积正负求解; 涉及到其它角的问题使用正切值, 转化为斜率求解; (4)三角形内切圆的半径与三角形面积的关系: SD = rp, (这里p =

a +b +c ); 2

(5)圆的弦长用垂径定理; (6)涉及到焦点要联想到定义; (7)三点共线,长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比,利用韦达定理。
1

例 1. (2007 山东卷)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦

点所组成的四边形为正方形,两准线(注:左右准线方程为 x = ?

a2 )间的距离为 4 c

(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当Δ AOB 面积取 得最大值时,求直线 l 的方程. 例 1.解:(1)

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? kx ? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 2

,消去 y 得关于 x 的方程: (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 6 ? 0
2 2

2 由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,?? ? 64k 2 ? 24(1 ? 2k 2 ) ? 8(2k 2 ? 3) ? 0 解得 k ?

3 2

8k 6 , x1 ? x2 ? 又由韦达定理得 x1 ? x2 ? ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
点 O 到直线 l 的距离 d ?

8(2k 2 ? 3) | AB | ? (1 ? k ) (1 ? 2k 2 ) 2
2

2 1? k 2

,? S? AOB

8(2k 2 ? 3) 2 2 2k 2 ? 3 1 . ? | AB | ?d ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2m 2 2 2 ? ? 2 4 m ?4 m? 2 m

令m ?

2k 2 ? 3(m ? 0) ,

2 2 则 2k ? m ? 3 ,? S ?

当且仅当 m ?

4 14 2 即 m ? 2 时, S max ? 此时 k ? ? .所求直线为 ? 14 ? 2 y ? 4 ? 0 m 2 2

解法二:由题意知直线 l 的斜率存在且不为零.设直线 l 的方程为

2 y ? kx ? 2, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则直线 l 与 x 轴的交点 D(? , 0) , k 8 k 6 3 2 , x1 ? x2 ? 由解法一知 k ? 且 x1 ? x2 ? ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 1 1 2 解法 1: S? AOB ? | OD | ? | y1 ? y2 |? | | ? | kx1 ? 2 ? kx2 ? 2 | = | x1 ? x2 | 2 2 k

? ( x 2 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

16k 2 ? 24 2 2 2k 2 ? 3 ? .下同解法一. 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

解法 2: S? AOB ? S? POB ? S? POA ?

2 2 2k 2 ? 3 1 ? 2? || x2 | ? | x1 || ?| x2 ? x1 | = 。 2 1 ? 2k 2

2

例 2: 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 ,F2 . 过 F1 的直线交椭圆于 B,D 两点, 3 2

过 F2 的直线交椭圆于 A,C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P . (Ⅰ)设 P ( x0,y0 ) ,证明:
2 x0 y2 ? 0 ?1; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值. 3 2

例 2:解: (Ⅰ)椭圆的半焦距 c ? 3 ? 2 ? 1 ,由 AC ⊥ BD 知点 P 在以线段 F1F2 为直径
2 2 的圆上,故 x0 ? y0 ? 1,所以 (处理方法一)
2 y2 x2 y 2 1 x2 ? 0 ≤ 0 ? 0 ? ? 1. 3 2 2 2 2

(处理方法二)

2 2 y 2 x 2 1 ? x0 x2 1 1 2 ? 0 ? 0 ? ? ? x0 ?1 3 2 3 2 2 6

(Ⅱ) (ⅰ)当 BD 的斜率 k 存在且 k ? 0 时, BD 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 ,并化简得 (3k 2 ? 2) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 . ? ? 48(k 2 ? 1) ? 0 3 2
设 B( x1,y1 ) , D( x2,y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 6 x x ? , 1 2 3k 2 ? 2 3k 2 ? 2

BD ? (k 2 ? 1)

48(k 2 ? 1) 4 3(k 2 ? 1) ;因为 AC 与 BC 相交于点 P ,且 AC 的斜率 ? (3k 2 ? 2)2 3k 2 ? 2

? 1 ? 4 3 ? 2 ? 1? 1 4 3(k 2 ? 1) k ? ? 为? , 同理可得 AC ? (这里 AC 和 BD 都过 P 与椭圆相交) ? 2 1 k 2 k ? 3 3? 2 ? 2 k
故四边形 ABCD 的面积, 注意 k ? 0
2

1 24(k 2 ? 1)2 4(6k 4 ? 12k 2 ? 6) k2 S ? ?BD AC ? ? ? 4(1 ? ). 2 (3k 2 ? 2)(2k 2 ? 3) 6k 4 ? 13k 2 ? 6 6k 4 ? 13k 2 ? 6
? 4(1 ? 1 1 96 2 ) ? 4(1 ? )? , 当 k ? 1 时,上式取等号. 1 25 1 6(k 2 ? 2 ) ? 13 6 ? 2 k 2 ? 2 ? 13 k k
96 2 . 【也可以令 t = k +1 ? 1 ,或者对分母用基本不等式】 25
3

(ⅱ)当 BD 的斜率 k ? 0 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积 S ? 4 . 四边形 ABCD 的面积的最小值为

x2 y2 1 例 3、[2014· 陕西文] 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为 ,左、右焦点 a b 2 分别为 F1,F2. 1 (1)求椭圆的方程;(2)若斜率为- 的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,与以 2 |AB| 5 3 F1F2 为直径的圆交于 C,D 两点,且满足 = ,求直线 l 的方程. |CD| 4 x2 y2 例 3.解: (1)椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)由题设, 以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1, ∴圆心(0, 0)到直线 l 的距离 d= 由 d<1,得|m|< 5 ,(*) 2 ∴|CD|=2 1-d2=2 1 2|m| . 5

4 2 1- m2= 5-4m2.(垂径定理) 5 5

?y=-2x+m, 设 A(x ,y ),B(x ,y ),由? 得 x -mx+m -3=0, D = 3(4 - m ) >0 x y ? 4 + 3 =1
1 1 2 2 2 2 2 2

2

x1+x2=m,x1x2=m2-3,∴|AB|= (1+ ) |AB| 5 3 由 = ,得 |CD| 4

1 3(4 - m2 ) 15 = 4-m2. 2 2 4 1

4-m2 3 1 3 =1,解得 m=± ,满足(*).∴直线 l 的为 y=- x ± 3 2 3 5-4m2

x2 y2 3 例 4、(2014 全国 I 卷理)已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是 a b 2 椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 2 3 ,O 为坐标原点. 3

(1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 例 4.解:(1) x2 2 +y =1.(2)当 l⊥x 轴时不合题意,故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 4

x2 将 y=kx-2 代入 +y2=1 得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 4

16(4k 2 - 3) 4 k2+1· 4k2-3 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时,从而|PQ|= (1 + k 2 ) = . 4 4k2+1 (4k 2 +1) 2
又点 O 到直线 l 的距离 d= 4 4k2-3 2 1 ,所以△ OPQ 的面积 S = d ? | PQ | = . △ OPQ 2 4k2+1 k2+1

4t 4 4 7 设 4k2-3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = .因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等 t 4 2 t +4 t+ t

4

7 7 号成立,满足 Δ>0,所以,当△OPQ 的面积最大时,k=± ,l 的方程为 y= ? 2 2
例 5、 (2007 浙江文)如图,直线 y=kx+b 与椭圆

2

x2 ? y 2 ? 1交于 A、B 两点,记△AOB 4

的面积为 S. (I)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (Ⅱ)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程.

x2 ? y 2 ? 1, 例 5、解:(I)设点 A 的坐标为( ( x1 , b) ,点 B 的坐标为 ( x2 , b) ,由 4
得 x1,2 ? ?2 1 ? b 故S ?
2

1 b | x1 ? x2 |? 2b 1 ? b 2 ? b 2 ? 1 ? b 2 ? 1(法一:基本不等式) 2

当且仅当 b ?

2 时, .S 取到最大值 1. 2

2 2 ) b 2的二次函数) 法二: S = 2 b (1 - b (看作

q ,由0 < b < 1, 则q ? (0, 法三:令 b = cos

p ) , S = 2b 1- b2 = 2cos q sin q = sin 2 q ?1 2


? y ? kx ? b ? (Ⅱ)由 ? x 2 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 , ? ? 16(4k 2 ? b2 ? 1) 2 ? ? y ?1 ?4
|AB|= ? (1 ? k 2 )

16(4k 2 ? b2 ? 1) ?2 (4k 2 ? 1)2
|b| 1? k
2



又因为 O 到 AB 的距离 d ?

?

2S ?1 | AB |

2 2 所以 b ? k ? 1



2 4 2 ③代入②消去 b 得 4k ? 4k ? 1 ? 0 解得, k ?

1 2 3 , b ? ,代入①式检验,△>0, 2 2

故直线 AB 是 y ?

2 6 2 6 2 6 2 6 或y? 或y?? 或y?? . x? x? x? x? 2 2 2 2 2 2 2 2

例 6、 (2007 陕西文)已知椭圆 C:

x2 y2 6 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右 2 3 a b

焦点的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求△AOB 面积的最大值. 2
5

例 6、解: (Ⅰ)椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m . 把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3(m2 ?1) ? 0 ,

3(m 2 ? 1) ?6km ?? ? 12(3k ? m ? 1), x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? . 3k ? 1 3k 2 ? 1
2 2

由已知

m 1? k 2

?

3 2 3 2 ,得 m ? (k ? 1) .…………① 4 2

由于 S ?

1 3 ? AB max ? , △ AOB 面积取最大值只需|AB|最大, 2 2

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) 12k 2 |AB| ? (离分) ? 3? 4 ? 9k ? 6k 2 ? 1 (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
2 当 k ? 0 时, AB ? 3 【也可以令 t = 3k +1 ? 1 ,或者用基本不等式】

当 k ? 0 时 | AB |? 3 ?

12 12 1 ≤ 3? ? 2 .当且仅当 9 k 2 ? 2 , 1 k 2?3 ? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k

即k ? ?

3 时等号成立.综上所述 AB max ? 2 . 3

1 3 3 . ? ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2
例 7、 【2015 江苏文理】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

的离心率为

2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线 分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

6

例 7、解析: (1)

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)处理一:当 ?? ? x 轴时, ?? ? 2 ,又 C? ? 3 ,不合题意. 当 ?? 与 x 轴不垂直时,设直线 ?? 的方程为 y ? k ? x ?1? , ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,
2 2 2 2 将 ?? 的方程代入椭圆方程,得 1 ? 2k x ? 4k x ? 2 k ? 1 ? 0 , D = 8(1+ k 2 ) >0

?

?

?

?

则 x1 ? x2 ?

? 2k 2 ?k ? 2 2 ?1 ? k 2 ? 4k 2 , AB C , 的中点 的坐标为 ,且 . ? | ?? |? 2 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 1 ? 2k ? 1 ? 2k 2

若 k ? 0 ,则线段 ?? 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k ?

0 ,故直线 PC 的方程为 y ?

5k 2 ? 2 k 1 2k 2 P ( ? 2, ) 故 ? ? ( x ? ), k (1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k 2 k 1 ? 2k 2

从而(用两点间距离公式)|PC|=

2(3k 2 ? 1) 1 ? k 2 ,因为|PC|=2|AB|,所以 | k | (1 ? 2k 2 )

2 2(3k 2 ? 1) 1 ? k 2 4 2 ?1 ? k ? , 解得 k ? ?1 , 所以直线 AB 方程为 y ? x ? 1或y ? ? x ? 1 ? | k | (1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k 2

处理二:显然 AB 不可能水平,且过 F(1,0),故设 AB 直线为 x = my +1 ,联立

ì ? x = my +1 ,得 (2 + m2 ) y 2 + 2my - 1 = 0 , D = 8(m2 +1) > 0 í 2 2 ? ? x +2y = 2
设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , C( x , y ) 则 0 0

y0 =

y1 + y2 -m 2 , = , x = my + 1 = 0 0 2 2 + m2 2 + m2

故 C(

2 2 -m 2 2(1 + m2 ) 2 8( m +1) , ) , | AB | = (1 + m ) = 2 + m2 2 + m2 (2 + m2 )2 2 + m2

故 PC 直线方程为 y +

m 2 2m3 + 5m = m ( x ) P ( 2, ) ,点 P 到直线 AB 的 ,故 2 + m2 2 + m2 2 + m2

| 3?
距离(用点到直线的距离公式)|PC|=

2m4 ? 5m2 | 2(m2 ? 1)(m2 ? 3) 2 ? m2 ? 1 ? m2 (2 ? m2 ) 1 ? m2



2( m 2 +1)(m 2 + 3) (2 + m 2 ) 1 + m 2

=

4 2(1 + m 2 ) 4 2 2 解得 m ? 2m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1, m ? ?1 2 + m2

7

例 8、 【2015 浙江理】椭圆

x2 1 ? y 2 ? 1 上两个不同的点 A , B 关于直线 y ? mx ? 对称. 2 2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) . 例 8、 (1) 解法 1: 由题意知 m ? 0 , 可设直线 AB 的方程为 y ? ?

1 x?b , 即 x ? m(b ? y ) , m

? x2 ? 2 y 2 ? 2 由? , 消去 x ,得 (m2 ? 2) y 2 ? 2bm2 y ? m2b2 ? 2 ? 0 , ? x ? m(b ? y )
∵直线 y ? ?

1 x2 x ? b 与椭圆 ? y 2 ? 1有两个不同的交点, m 2
设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , y1 + y2 =

∴ ? ? 8(m2 ? m2b2 ? 2) ? 0 ,

2bm 2 m2 + 2

故 AB 中点 M (

1 2mb m 2b m2 ? 2 y ? mx ? 代入直线方程 解得 , 代入判别式 , ) b ? ? 2 m2 ? 2 m2 ? 2 2m 2

中得 ? ? 2 ?

(3m4 ? 4m2 ? 4) (3m2 ? 2)(m2 ? 2) 6 6 或m ? ; ? 2? ? 0 ,得 m ? ? 2 2 m m 3 3

解法二: (点差法)设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,AB 中点 M ( x0 , y0 ) , 故 x1 ? 2 y1 ? 2 , x2 ? 2 y2 ? 2 ,两式相减得 x1 ? x2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 0 ,即
2 2 2 2 2 2 2 2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,变形为
故 x0 ?

( x1 ? x2 ) y ? y2 ( y1 ? y2 ) ?2 1 ?0 2 x1 ? x2 2

2 y0 ? 0 …………..① m 1 1 1 1 又 C 在直线 y ? mx ? 上,故 y0 ? mx0 ? …………..②,联立①②得 C ( ? , ? ) 在椭圆 2 2 m 2
内,所以

1 1 2 ? ? 1 解得 m2 ? ,故 m ? ? 6 或 m ? 6 ; 2 2m 4 3 3 3
2

| mb | | m(m2 ? 2) | 2(3m2 ? 2)(m2 ? 2) ? (2) , 点 O 到 AB 距离 d ? , | AB |? (1 ? m ) m2 (m2 ? 2)2 1 ? m2 2m2 1 ? m2
2 2 1 1 | m(m 2 ? 2) | 2 (3m 2 ? 2)(m 2 ? 2) 2 2(3m ? 2)( m ? 2) S ? d ? | AB |? ? ? (1 ? m ) ? ? 2 2 2m 2 1 ? m 2 m 2 ( m 2 ? 2) 2 4 m2

=

2 (3m2 ? 2)(m2 ? 2) 2 (3m2 ? 2)(m2 ? 2) 2 2 2 ? ? ? ? ? (3 ? 2 )(1 ? 2 ) 换元法 4 2 2 4 m 4 m ?m 4 m m
8

∴t ?

2 ? (0,3) , S = 2 (3 - t )(1 + t ) ? (0, 2 ] 当且仅当 t=1 时, S max = 2 . m2 4 2 2 1 2 3m4 - 4m2 - 4 2 4 4 = 3 - 2 - 4 ,令 t = 2 化为二次函数处理。) 4 m 4 m 4 m m

(或者 S =

例 9、 【2015 山东,文理】平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的 a 2 b2

离心率为

3 ,左、右焦点分别是 F1 , F2 ,以 F 1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 2

为半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 , P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的 4a 2 4b 2

直线 y ? kx ? m 交椭圆 E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q .

( i )求

OQ OP

的值;

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值.

例 9.解析: (I)椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(II)由(I)知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1, 16 4
2 x0 2 ? y0 ? 1, 4

(i)设 P ? x0 , y0 ? ,

OQ OP
2

? ? ,由题意知 Q ? ?? x0 , ?? y0 ? 因为
2 ? 2 ? x0

? ?? x0 ? 又
16

2

? ?? y0 ? ?
4

? 1 ,即

OQ 2? ?2 . ? ? y0 ? ? 1 ,所以 ? ? 2 ,即 OP 4 ? 4 ?

(ii)设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 将 y ? kx ? m 代入椭圆 E 的方程,
2 2 2 2 2 可得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 16 ? 0 由 ? ? 16(16k ? 4 ? m ) ? 0 , (估计你算晕了吧,

?

?

记住:系数太大要提取公因数减少计算) ,可得 m ? 4 ? 16k
2

2

………………①

8km 4m2 ? 16 , x1 x2 ? 则有 x1 ? x2 ? ? , 因为直线 y ? kx ? m 与轴 交点的坐标为 ? 0, m? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

9

2 16k 2 ? 4 ? m2 m 1 所以 ?OAB 的面积 S ? m ? x2 ? x2 ? 2 1 ? 4k 2
? ? 2 (16k 2 ? 4 ? m2 ) ? m2 m2 ? m2 ? 2 4 ? ? ? 2 ? 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ? 1 ? 4k



m2 2 ?t , 【这换元太有难度了, 最好看成关于 m 的开口向下的二次函数, 看对称轴】 1 ? 4k 2

2 2 2 将 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程可得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0

?

?

2 2 由 ? ? 0 ,可得 m ? 1 ? 4k …………………………………………②

由①②可知 0 ? t ? 1 因此 S ? 2

?4 ? t ?t ? 2

?t 2 ? 4t ,故 S ? 2 3

2 2 当且仅当 t ? 1 ,即 m ? 1 ? 4k 时取得最大值 2 3

由(i)知, ?ABQ 面积为 3S ,所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3 .

x2 y 2 3 例 10、 (2011 天津理)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率 e ? .连接椭圆的四 a b 2
个顶点得到的菱形的面积为 4 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B .已知点 A 的坐标为 ? ?a,0 ? . (ⅰ) 若 AB ?

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5

(ⅱ)点 Q ? 0, y0 ? 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 .求 y0 的值. 例 10、 【解】 (Ⅰ)椭圆的方程

uur uu u r

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)得 A ? ?2,0? .设点 B 的坐标为 ? x1 , y1 ? , 由题意直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? 。

? y ? k ? x ? 2? , ? 于是 A, B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 由方程组消去 y 并整理得 2 ? y ? 1, ? ? 4

?1 ? 4k ? x
2

2

? 16k 2 x ? ?16k 2 ? 4 ? ? 0 ,

10

处理方法一:(直接求解点的坐标)因为 x ? ?2 是方程的一个根,则由韦达定理有

?2 x1 ?

4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 x ? (体会这种方法) , 所以 , 从而 y1 ? k ? x1 ? 2 ? ? . 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k
2

2 ? 2 ? 8k 2 ? ? 4k ? 4 1? k 2 (两点间距离公式)。 AB ? ? ?2 ? ? ? ? 2 ? 2? 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? ? ? ?

16 4 1? k 2 4 2 ? 处理方法二: ? ? 16 >0, | AB |? (1 ? k ) 。由 AB ? , 2 2 2 5 (1 ? 4k ) 1 ? 4k
2



4 1? k 2 4 2 2 2 4 2 ,整理得 32k ? 9k ? 23 ? 0 , k ? 1 32k ? 23 ? 0 , ? 2 5 1 ? 4k

?

??

?

所以 k ? ?1 .所以直线 l 的倾斜角为

? 3? 或 . 4 4

? 8k 2 2k ? , (ⅱ)线段 AB 的中点为 M ,则 M 的坐标为 ? ? . 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?
下面分情况讨论: (1) 当 k ? 0 时,点 B 的坐标为 ? 2, 0 ? ,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴. 于是 QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? 2, ? y0 ? ,由 QA ? QB ? 4 得 y0 ? ?2 2 . (2) 当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为

uur

uuu r

uur uu u r

6k 2k 1? 8k 2 ? .令 x ? 0 得 y0 ? ? y? ? ? ?x? 2 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k k ? 1 ? 4k ? uur uuu r 由 QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? x1 , y1 ? y0 ? ,

uur uu u r ?2 ? 2 ? 8k 2 ? 6k ? 4k 6k ? QA ? QB ? ?2 x1 ? y0 ? y1 ? y0 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k ? 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 ?
? 4 ?16k 4 ? 15k 2 ? 1?

?1 ? 4k ?

2 2

? 4 .整理得 7k 2 ? 2 . k ? ?

14 . 7

所以 y0 ? ?

6k 2 14 2 14 ?? .综上, y0 ? ?2 2 或 y0 ? ? . 2 1 ? 4k 5 5

例 11、 (2007 山东理)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦 点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.
11

例 11、解(I)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1. 4 3

a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b2 ? 3 ,?

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 48(4k 2 ? m2 ? 3) ? 0 ,得 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,
? y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0 , 7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
m1 ? ?2k , m2 ? ? 2k 2 2 ,且满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ?

y2 例 12、 (2005 全国卷 II)已知 P 、Q 、 M 、 N 四点都在椭圆 x2 ? ? 1 上, F 为椭圆在 y 轴 2 ??? ? ??? ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? 正半轴上的焦点.已知 PF 与 FQ 共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值. 例 12、解:如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 PQ⊥MN, 直线 PQ、NM 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 K,又 PQ 过点 F(0,1),故 PQ 2 2 的方程为 y = kx +1,将此式代入椭圆方程得(2+ k ) x +2 kx -1=0
设 P、Q 两点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),则

2 2(1 ? k 2 ) ? ? 8(k ? 1) ,从而 | PQ |? 2 ? k2
2

12

1 2 2(1 ? ( ? ) 2) 1 1 k (1)当 k ≠0 时,MN 的斜率为- ,(- 代替 k)同理可得 | MN |? 1 2 k k 2 ? (? ) k 1 1 4(1 ? k 2 )(1 ? 2 ) 4(2 ? k 2 ? 2 ) 1 k ? k , 故四边形面积 S ? | PQ || MN |? 1 2 2 (2 ? k 2 )(2 ? 2 ) 5 ? 2k 2 ? 2 k k 1 1 4(2 ? u ) 1 2 ? 2(1 ? ) ,∵ u = k 2 ? 2 ≥2 令u =k ? 2 得 S ? k k 5 ? 2u 5 ? 2u 16 16 ?S?2 当 k =±1 时 u =2,S= 且 S 是以 u 为自变量的增函数,∴ 9 9 1 ②当 k =0 时, MN 为椭圆长轴, |MN|=2 2 , |PQ|= 2 。 ∴S= |PQ||MN|=2 2 16 综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2,最小值为 。 9

x2 y2 例 13、 (2013 年浙江理)如图,点 P(0,?1) 是椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 a b
的长轴是圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两 条直线,其中 l1 交圆 C2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程;(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. 例 13、解:(Ⅰ)

x2 ? y2 ? 1; 4

(Ⅱ) l1 ? l2 ,都过点 P(0, ?1) , 设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , k 存在不为 0,直线

l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 , 所 以 圆 心 (0, 0) 到 直 线 l1 : kx ? y ? 1 ? 0 的 距 离 为 k
,直线 l1 被圆 x2 ? y 2 ? 4 所截的弦 AB ? 2 4 ? d
2

d?

1 1? k2

?

2 3 ? 4k 2 1? k2

? x ? ky ? k ? 0 ? 由 ? x2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 D = 64k 2 >0 2 ? ? y ?1 ?4
?| DP |? (1 ? 1 64k 2 8 k 2 ?1 ) ? ,所以 k 2 (k 2 ? 4)2 k2 ? 4

S?ABD ?

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4 k 2 ? 3 4 ? 8 4 k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2
13

?

32 4k ? 3 4k 2 ? 3
2

?
13

13 4k 2 ? 3

?

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

?

32 2 13

?

16 13 , 13

当 4k ? 3 ?
2

4k ? 3

2

? k2 ?

5 10 10 ?k?? 时等号成立,直线 l1 : y ? ? x ?1 2 2 2

例 14、已知椭圆的焦点坐标为 F1 (-1,0), F2 (1,0),过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q

两点,且|PQ|=3, (1) 求椭圆的方程; (2) 过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1 MN 的内切

圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明 理由. 例 14、解: (1)椭圆方程为

x2 y 2 ? =1 4 3

(2) 设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,设△ F1 MN 的内切圆的径 R,则△ F1 MN 的周长为 4a=8,

S? F1MN ?
大,

1 (MN+ F1 M+ F1 N)R=4R,因此 S? F1MN 最大,R 就最 2
1 | F1 F2 | ?| y1 2 y2 |
F1 O

y
M

法一:利用面积公式 SD F1MN =

x F2
N

(水平宽与铅垂高乘积的一半,三角形被水平线或竖直线分割成同 底的两个三角形) 由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1, (灵 活使用反斜截式)

? x ? my ? 1 ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3m ? 4) y +6my-9=0, D = 144(m +1) ?1 ? ? 3 ?4
则 SD F1MN
2

1 = | F1 F2 | ?| y1 2

12 m 2 ? 1 D y2 | = , (这里使用了 | y1 - y2 | = ) 2 3m ? 4 A2

12 m 2 ? 1 12t 12 ? 2 ? 令 t= m ? 1 ,则 t≥1, 则 S? AMN ? , 2 3m ? 4 3t ? 1 3t ? 1 t 12 12 3 S? AMN ≤ =3,即当 t=1,m=0 时, S? AMN ≤ =3, S? AMN =4R,∴ Rmax = , 3 3 4 9 9 这时所求内切圆面积的最大值为 π .故直线 l:x=1,△AMN 内切圆面积的最大值为 π 16 16 1 (其中d 是F1到直线MN的距离) 法二、更具有一般性 SD F1MN = | MN | ?d, 2
由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1, (灵活使用反斜截式) 点F 1 到直线 MN 的距离 d =

2 1 + m2
14

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3m ? 4) y +6my-9=0, D = 144(m2 +1) ?1 ? ? 3 ?4

12 m 2 ? 1 12t 12 144(m2 +1) 12(m2 +1) ? 2 ? , S? AMN ? | MN |= (1 + m ) = 2 2 2 2 3m ? 4 3t ? 1 3t ? 1 (3m + 4) (3m + 4) t
2

12 12 3 =3,即当 t=1,m=0 时, S? AMN ≤ =3, S? AMN =4R,∴ Rmax = , 3 3 4 9 9 这时所求内切圆面积的最大值为 π .故直线 l:x=1,△AMN 内切圆面积的最大值为 π 16 16

S? AMN ≤

x2 y2 6 例 15、[2014· 四川文] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-2,0),离心率为 . a b 3 (1)求椭圆 C 的标准方程;(2)设 O 为坐标原点,T 为直线 x=-3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P,Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积. x2 y2 例 15、解:(1) + =1. 6 2 m-0 (2)设 T 点的坐标为(-3,m),则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2) 1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= ,直线 PQ 的方程是 x=my-2. m 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. x=my-2, ? ? 2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? ? 6 + 2 =1, 2 2 2 2 消去 x,得(m +3)y -4my-2=0,其判别式 Δ=16m +8(m +3)>0. -2 -12 4m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 ,x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3 m +3 m +3 → → 因为四边形 OPTQ 是平行四边形,所以OP=QT,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2). -12 x1+x2= 2 =-3, m +3 所以 解得 m=± 1. 4m y1+y2= 2 =m. m +3

? ? ? ? ?

方法 2:利用平行四边形对角线 OT 和 PQ 的中点重合.OT 的中点 ( -

3 m , ) ,PQ 的中点 2 2

(

-6 2m -6 3 2m m , 2 ) ,故 2 =- 且 2 = ,解得 m=± 1.故四边形 OPTQ 的面积 2 m +3 m +3 m +3 2 m +3 2
S 四边形 OPTQ=2S△OPQ=2? 1 ?|OF|?|y1-y2|=2 2

24( m 2 +1) =2 ( m 2 + 3) 2

3.

x2 y2 例 16、[2014· 四川卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴 a b 的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点, 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点);

15

②当

|TF| 最小时,求点 T 的坐标. |PQ|

? a2+b2=2b, 例 16.解:(1)由已知可得? 解得 a2=6,b2=2, 2 2 ?2c=2 a -b =4,
x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 (2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m), 则直线 TF 的斜率 kTF= m-0 =-m. -3-(-2)

1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= .直线 PQ 的方程是 x=my-2. m 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. x=my-2, ? ? 2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? ? 6 + 2 =1. 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. 所以 y1+y2= -2 -12 4m ,y y = ,x +x =m(y1+y2)-4= 2 . m2+3 1 2 m2+3 1 2 m +3

2m ? m ? -6 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为? 2 , 2 ?.所以直线 OM 的斜率 kOM=- 3 , ?m +3 m +3? m 又直线 OT 的斜率 kOT=- ,所以点 M 在直线 OT 上,因此 OT 平分线段 PQ. 3 ②由①可得,|TF|= m2+1, |PQ|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2] 2 -2 ? 24(m2+1) ?? 4m ? = (m2+1)??m2+3? -4· 2 ?= . m +3? m2+3 ? 所以 |TF| = |PQ|
2 2 1 (m +3) · 2 = 24 m +1

4 1? 2 m +1+ 2 +4?≥ m +1 ? 24?

1 3 (4+4)= . 24 3

当且仅当 m2+1= 故当

|TF| 4 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值. |PQ| m2+1

|TF| 最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). |PQ|

例 17、 (2011 北京理)已知椭圆 G:

x2 ? y 2 ? 1 ,过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 4

交椭圆 G 于 A,B 两点。 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值。 例 17、解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ?

a 2 ? b 2 ? 3.

所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) ,离心率为 e ?
16

c 3 ? . a 2

(Ⅱ)由题意知,点(m,0)不在圆内,故 | m |? 1 . (注:点(m,0)在 x 轴上,且水平线不满足条件,用反斜截式处理直线方程) 设切线 l 的方程为 x = ty + m ,因为与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,故圆心到直线 l 的距离

d=

|m| 1+ t
2

= 1,即 m2 = 1+ t 2 ………..①

ì x = ty + m ? 由 í x2 得(t 2 + 4) y2 + 2tmy + m2 - 4 = 0 ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 2 ? + y = 1. ? ? 4
则 y1 + y2 =

2tm m2 - 4 , y y = , D = 16(t 2 - m2 + 4) = 48 (利用①式) 1 2 2 2 t +4 t +4
2

48 ? 4 3 | m | . | AB |= (1 + t ) 2 m 2 ? 3 (特别注意弦长公式的变形) (t + 4)2
因为 | AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2, 故当 m ? ? 3 时,|AB|的最大值为 2.

例 18、 (2013 年湖南(文) )已知 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点 F1 , F2 关 5

于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点. (Ⅰ)求圆 C 的方程;(Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b . 当 ab 最大时,求直线 l 的方程. 例 18.解、(Ⅰ) 【画图】先求圆 C 关于直线 x + y – 2 = 0 对称的圆 D,由题知圆 D 的直径 为 F1F2 , 所以圆D的圆心D (0,0),半径r = c = a 2 - b 2 = 2,圆心D (0,0)与圆心C关于 直 线 x ? y ? 2 ? 0 对称 ? C (2,2) ? 圆C的方程为 : ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 .
2 2

ì yC - yD ? ( 1) = - 1 ? ? xC - xD (说明:这里最好能列出关系式 í ,求 C 点坐标) ? xC + xD yC + yD + - 2=0 ? ? 2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2 (2,0), ,据题可设直线 l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线 l 可被 圆和椭 圆截得 2 条弦,符合题意.

17

2 2 圆 C: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 到直线 l 的距离 d =

| 2m ? 2 - 2 | 1? m
2

?

| 2m | 1? m2

.

2 4 由垂径定理得 b = 2 (4 - 4m ) = . 2 1+ m 1+ m2

设直线与椭圆相交于点E ( x1 , y1 ), F ( x 2 , y 2 ), 联立直线和椭圆方程,整理得:

20(m2 +1) (m + 5) y + 4my - 1 = 0 , D = 20(m +1) ,故 a = (1 + m ) (m2 + 5)2
2 2 2

2

? ab ? 2 5 ?

m2 ?1 4 m2 ?1 . 令 u = m2 +1 ? 1 , ? ? 8 5 ? 2 2 2 m ? 5 1? m m ?5

ab =

8 5u 8 5 8 5 = ? 2 u +4 u + 4 4 2 u? u u

2 5 ,当m2 = 3时,ab取最大值.这时直线方程为x = ? 3 y 2.

例 19、 【2016 高考新课标 1 卷】设圆 x2 ? y 2 ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 例 19.⑴圆 A 整理为 ? x ? 1? ? y2 ? 16 ,A 坐标 ? ?1,0? ,? BE∥AC ,则 ∠C ? ∠EBD ,
2

由 AC ? AD, 则∠D ? ∠C ,?∠EBD ? ∠D, 则 EB ? ED ,?AE ? EB ? AE ? ED ? AD ? 4 所以 E 的轨迹为一个椭圆,方程为 ⑵ C1 :
x2 y 2 ? ? 1 ,( y ? 0 ); 4 3

x2 y 2 设 l : x ? my ? 1 , 因为 PQ⊥l , 设 PQ : y ? ?m ? x ? 1? , 联立 l与椭圆C1 ? ?1; 4 3

? x ? my ? 1 ? 2 2 得 3m2 ? 4 y2 ? 6my ? 9 ? 0 ; D = 144(m +1) ?x y2 ? ? 1 ? 3 ?4

?

?

则 | MN |? (1 ? m2 )

2 144(m2 ? 1) 12 ? m ? 1? ; ? (3m2 ? 4) 3m2 ? 4

y
5

P

4

3

2

圆心 A 到 PQ 距离 d ?

| ?m ? ?1 ? 1? | 1? m
2

?

| 2m | 1? m
2

1

N
x



A
12 10 8 6 4 2

B
1

2

4

M

Q
2 3

4

18

所以 | PQ |? 2 | AQ |2 ?d 2 ? 2 16 ?

4m2 4 3m2 ? 4 , ? 1 ? m2 1 ? m2

? S MPNQ

2 1 1 12 ? m ? 1? 4 3m 2 ? 4 24 m 2 ? 1 1 ? | MN | ? | PQ |? ? ? ? ? 24 ?? 2 ?12,8 3 2 2 1 2 2 3m ? 4 1? m 3m ? 4 3? 2 m ?1

?

例 20.某公园的大型中心花园的边界为椭圆,花园内种植各种花草,为增强观赏性,在 椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草(如图), 并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度),某园林公司承接了该中心花园 的施工建设, 在施工时发现, 椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为 4(单位: 百米), 且椭圆上点到焦点的最近距离为 1(单位:百米). (1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系, 求出该椭圆的标准方程; (2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值. 例 20.解、(1)两焦点连线为 x 轴,中心为坐标原点建立直角坐标系设椭
x2 y2 圆为 2+ 2=1(a>b>0), a b x2 y2 由已知,2a=4,a-c=1,a=2,c=1,∴b= 3,故椭圆的标准方程 + =1. 4 3 (2)①若该直角三角形斜边斜率存在且不为 0, 设直角三角形斜边所在直线方程为 y=kx+m,

ì y = kx + m ? 斜边与椭圆的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组 í x 2 y 2 ? + 1 ? ? 4 3
得 3x2+4(kx+m)2=12, 即(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,(6 分) 2 2 2 2 则 Δ=64k m -4(3+4k )(4m -12)=48(4k2-m2+3)>0,即 4k2-m2+3>0.(7 分)

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 2 2 2 8k2m2 24m -12 2 3m -12k =k - +m = , 要使△AOB 为直角三角形, 需使 x1x2+y1y2=0, 3+4k2 3+4k2 3+4k2 2 2 2 4m -12 3m -12k 即 + =0,所以 7m2-12k2-12=0,(9 分) 3+4k2 3+4k2 12k2+12 12k2+12 48(16k 2 + 9) 即 m2= ,故 Δ=48(4k2+3- )= >0, 7 7 7 所以 |AB| = (1 + k ) =
2

- 8km 4m2 - 12 x1 + x2 = , x1 x2 = 3+4k 2 3 + 4k 2



48(16k 2 + 9) = 7(3 + 4k 2 ) 2

4 2 48 16k +25k +9 · 4 7 16k +24k2+9

k2 48 [1+ 4 ] = 7 16k +24k2+9

48 [1+ 7

1 ]≤ 7. 9 16k + 2+24 k
2

9 3 当仅当 16k2= 2,k=± 时,等号成立. k 2 ②若该直角三角形斜率不存在或斜率为 0,则斜边长为 综上可知,观赏小道长度的最大值为 2 7(百米). 4 21 .(12 分) 7

19

例 21、 (2013 全国 II 卷理)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右 a 2 b2

焦点 F 作直 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

1 . 2

(Ⅰ)求 M 的方程;(Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB ,求四 边形 ABCD 面积的最大值.

例 22、 【2015 高考湖北,文 22】一种画椭圆的工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短 杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑 动,且 DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 ..N 绕 O 转动,
20

M 处的笔尖画出的椭圆记为 C.以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面 直角坐标系. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点. 若直线 l 总 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 试探究:?OPQ 的面积是否存在最小值?若存在, 求出该最小值;若不存在,说明理由.

y

N A D O B

N D O x

M

M

第 22 题图 1 第 22 题图 2 例 22、 【解析】 (Ⅰ)因为 | OM | ? | MN | ? | NO |? 3 ? 1 ? 4 ,当 M , N 在 x 轴上时,等号成立; 同理 | OM | ? | MN | ? | NO |? 3 ? 1 ? 2 ,当 D, O 重合,即 MN ? x 轴时,等号成立. 所以椭圆 C 的中心为原点 O ,长半轴长为 4 ,短半轴长为 2 ,其方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

1 (Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x ? 4 或 x ? ?4 ,都有 S?OPQ ? ? 4 ? 4 ? 8 . 2
? y ? kx ? m, 1 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? m (k ? ? ) , 由 ? 2 2 2 ? x ? 4 y ? 16,

消去 y ,

2 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,所以 可得 ( 1? 4 k2 x )2 ? 8 kmx ? 4m ? 1? 6. 因为直线 0

? ? 64k 2 m2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 16) ? 0 ,即 m2 ? 16k 2 ? 4 .



? y ? kx ? m, 2m m ?2m m 又由 ? 可得 P( , ) ;同理可得 Q( , ) .由原点 O 到直线 PQ 的 x ? 2 y ? 0, 1 ? 2 k 1 ? 2 k 1 ? 2 k 1 ? 2k ?

距离为 d ?

|m| 1? k
2

和 | PQ |? 1 ? k 2 | xP ? xQ | ,可得
1 1 1 2m 2m 2m 2 | PQ | ?d ? | m || xP ? xQ |? ? | m | ? ? . 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 4k 2
4k 2 ? 1 2m 2 1 ? 8 . 当 k 2 ? 时, 1 ? 4k 2 4k 2 ? 1 4

S?OPQ ?



将①代入②得, S ?OPQ ?

S?OPQ ? 8(
0 ? k2 ?

4k 2 ? 1 2 4k 2 ? 1 2 1 ) ? 8(1 ? 2 ) ? 8 ;当 0 ? k 2 ? 时, S?OPQ ? 8( ) ? 8(?1 ? ) .因 2 2 4 4k ? 1 4k ? 1 1 ? 4k 1 ? 4k 2

1 2 2 , 则 0 ? 1 ? 4k 2 ? 1 , 所以 S?OPQ ? 8(?1 ? 当且仅当 k ? 0 时 ?2, )?8, 4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
21

取等号.所以当 k ? 0 时, S?OPQ 的最小值为 8. 综合(1) (2)可知,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时, ?OPQ 的面积取得最小值 8. 例 23、 【2015 湖南,文 20】已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

(a ? b ? 0) 的一个焦点,C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 ,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两
点,与 C2 相交于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向. (I)求 C2 的方程; (II)若 AC ? BD ,求直线 l 的斜率. 例 23、试题解析: (I)由 C1 : x2 ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) ,因为 F 也是椭圆 C2 的一 个焦点,所以 a ? b ? 1 ……..①; 又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 y 轴
2 2

??? ?

??? ?

对称,且 C1 的方程为 C1 : x2 ? 4 y ,由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 ( ? 6, ) ,

3 2

?

9 6 y 2 x2 2 2 ? ? 1 ? ? 1。 ……… . ②,联立①②得 ,故 的方程为 C a ? 9, b ? 8 2 4a 2 b 2 9 8

(II)如图,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), 因 AC 与 BD 同向,且 AC ? BD , 所以 AC ? BD ,从而 x3 ? x1 ? x4 ? x2 ,即 x3 ? x4 ? x1 ? x2 , 于是 ( x3 ? x4 )2 ? 4x3 x4 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 , ③

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

由?

? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y
2

得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , 由 x1 , x2 是这个方程的两根, ? x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4 ④
2

? y ? kx ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (9 ? 8k ) x ? 16kx ? 64 ? 0 ,而 x3 , x4 是这个方程的两根, ?1 ? ? 9 ?8
x3 ? x4 ? ? 16k 64 , x3 x4 ? ? , 2 9 ? 8k 9 ? 8k 2
2



162 k 3 4 ? 64 162 ? 9(k 2 ? 1) 2 将④、⑤代入③,得 16(k ? 1) ? 。即 16(k ? 1) ? ? (9 ? 8k 2 )2 9 ? 8k 2 (9 ? 8k 2 )2

22

所以 (9 ? 8k 2 )2 ? 16 ? 9 ,解得 k ? ?

6 6 ,即直线 l 的斜率为 ? 4 4

方法 2:因 AC 与 BD 同向,且 AC ? BD ,得 AB ? CD ,转化为弦长公式。 x2 y2 例 24、已知 F1,F2 为椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,F2 在以 Q( 2,1) 为圆心, a b 1 为半径的圆 C2 上,且|QF1|+|QF2|=2a. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)过点 P(0,1)的直线 l1 交椭圆 C1 于 A,B 两点,过 P 与 l1 垂直的直线 l2 交圆 C2 于 C,D 两点,M 为线段 CD 中点,求△MAB 面积的取值范围.

??? ?

??? ?

例 24、解: (Ⅰ)圆 C2 的方程为 切点为 ∴ ,即 a2﹣b2=2,且

,此圆与 x 轴相切, ,

又|QF1|+|QF2|=3+1=2a.∴a=2,b2=a2﹣c2=2,∴椭圆 C1 的方程为 (Ⅱ)当 l1 平行 x 轴的时候,l2 与圆 C2 无公共点,从而△MAB 不存在; 设 l1:x=t(y﹣1) ,则 l2:tx+y﹣1=0. 由 ,消去 x 得(t2+2)y2﹣2t2y+t2﹣4=0, D = 8(t 2 + 4) > 0



则 | AB |= (1 + t )

2

8(t 2 + 4) (t 2 + 2) 2
到 l2 的距离 ,得 t2<1,又 MP⊥AB,QM⊥CD

又圆心

∴M 到 AB 的距离即 Q 到 AB 的距离,设为 d2,即



∴△MAB 面积

,令

23

.∴△MAB 面积的取值范围为

例 25、 【2015 陕西,理 20】已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ? a 2 b2
1 c. 2
2 2

到经过两点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线的距离为

(I)求椭圆 ? 的离心率; (II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 若椭圆 ? 经过 ? , ? 两点,求椭圆 ? 的方程. 例 25、 解析: (I) 过点 ? c, 0 ? ,? 0, b ? 的直线方程为 bx + cy - bc = 0 , 则原点 ? 到直线的距离 d ?

5 的一条直径, 2

bc b ?c
2 2

?

bc , a

由d =

1 c 3 c ,得 a = 2b = 2 a2 - c2 ,解得离心率 = . 2 a 2
(1)

(II)解法一:由(I)知,椭圆 ? 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b2 . 依题意,圆心 ? ? ?2,1? 是线段 ?? 的中点,且 | AB|= 10 . 易知, ?? 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 ,代入(1)得

(1 + 4k 2 ) x2 +8k (2k +1) x + 4(2k +1)2 - 4b2 = 0 , D = 16[(4k 2 +1)b2 - (2k +1)2 ] >0
8k (2k +1) 4(2k +1) 2 - 4b 2 , x1 x2 = . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 + x2 = 1 + 4k 2 1 + 4k 2
由 x1 + x2 = - 4 ,得 -

8k (2k +1) 1 = - 4, 解得 k = . D = 32(b2 - 2) ,从而 x1x2 = 8 - 2b2 . 2 1 + 4k 2

于是 | AB |? (1 ? k 2 )

? ? 10(b2 ? 2) . (1 ? 4k 2 )2
x2 y 2 + =1 . 12 3

2 2 由 | AB|= 10 ,得 10(b - 2) = 10 ,解得 b = 3 .故椭圆 ? 的方程为

解法二:由(I)知,椭圆 ? 的方程为 x + 4 y = 4b .
2 2 2

(2)

24

例 26、 【2015 高考湖南,理 20】已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点 F (0,1)也是椭圆

y 2 x2 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 . a b
(1)求 C2 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A , B 两点,与 C2 相交于 C , D 两 点,且 AC 与 BD 同向.

????

??? ?

[来..

(ⅰ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率; (ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M , 证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是钝角三角形。 例 26、解析: (1)由 C1 : x ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) ,∵ F 也是椭圆 C2 的一焦点,
2

∴ a ? b ? 1 ①,又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方
2 2

2 程为 x ? 4 y , 由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 ( ? 6, ) , ∴

3 2

9 6 ? 2 ? 1 ②, 联立①, 2 4a b

②,得 a ? 9 , b ? 8 ,故 C2 的方程为
2 2

x2 y 2 ? ?1; 9 8

(2)如图, A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) , ( i ) ∵ AC 与 BD 同 向 , 且 | AC |?| BD | , ∴ AC ? BD , 从 而 x3 ? x1 ? x4 ? x2 , 即

????

??? ?

????

??? ?

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,于是 ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? x3 ? x4 ? ? 4 x3 x4 ……..③,
2 2

25

设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,

由?

? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y
2

得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , 由 x1 , x2 是这个方程的两根, ? x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4 ④
2

? y ? kx ? 1 ? 由 ? x2 y 2 得 (9 ? 8k 2 ) x2 ? 16kx ? 64 ? 0 ,而 x3 , x4 是这个方程的两根, ?1 ? ? 9 ?8
x3 ? x4 ? ? 16k 64 , x3 x4 ? ? ,……… ⑤ 2 9 ? 8k 9 ? 8k 2

将④、⑤代入③,得 16(k 2 ? 1) ?

162 k 3 4 ? 64 162 ? 9(k 2 ? 1) 2 。即 ? 16( k ? 1) ? (9 ? 8k 2 )2 9 ? 8k 2 (9 ? 8k 2 )2
6 6 ,即直线 l 的斜率为 ? 4 4

所以 (9 ? 8k 2 )2 ? 16 ? 9 ,解得 k ? ?

方法 2:因 AC 与 BD 同向,且 AC ? BD ,得 AB ? CD ,转化为弦长公式。

??? ?

??? ?

x1 x x12 ? (ii)由 x = 4 y , 得y = ,故 C1 在点 A 处的切线为 y - y1 = ( x - x1 ) ,将 y1 = 代入,即 2 2 4
2

y=

???? ? ??? ? x x x x1 x2 x - 1 ,令 y=0,得 x = 1 ,即 M( 1 ,0),\ FM = ( 1 , - 1) ,而 FA = ( x1, y1 - 1) , 2 2 2 2 4

于是 FM ?FA =

???? ? ??? ?

x12 x2 - y1 +1 = 1 +1 > 0 , 因此 ?AFM 是锐角, 从而 ? MFD p - ? AFM 是 2 4

钝角,故直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是钝角三角形。

例 27、 【2015 上海文理】已知椭圆 x ? 2 y ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于
2 2

? 、 ? 和 C 、 D ,记得到的平行四边形 ?? CD 的面积为 S .
( 1 )设 ? ? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,用 ? 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明

1 (2)设 l1 与 l2 的斜率之积为 ? ,求面积 S 的值. S ? 2 x1 y1 ? x2 y1 ; 2
例 27、 【解析】证明: (1)直线 l1 : y1 x ? x1 y ? 0 ,
26

点 C 到 l1 的距离 d ?

y1 x2 ? x1 y2 x ?y
2 1 2 1

, ?? ? 2 ?? ? 2 x1 ? y1 ,
2 2

所以 S ? 2S ???C ? 2 ?

1 ?? ? d ? 2 x1 y2 ? x2 y1 . 2
? y ? kx 1 x .设 ? ? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ? .由 ? 2 ,得 2 2k ?x ? 2 y ? 1
2

解: (2)设 l1 : y ? kx ,则 l2 : y ? ?

x12 ?

1 . 1 ? 2k 2

2 同理 x2 ?

1 ? 1 ? 1? 2? ? ? ? 2k ?

?

2k 2 . 2k 2 ? 1

? 2k 2 ? 1? 2k x1 ? x2 2k 2 ? 1 由 ?1? , S ? 2 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 , ? x2 ? kx1 ? ? x1 x2 ? 2k k k 1 ? 2k 2 ? 2k 2 ? 1
整理得 S ? 2 . 例 28、 【2016 山东理】平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1? a>b>0 ? a 2 b2

的离心

率是

3 2 ,抛物线 E: x ? 2 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点. 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限,E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A, B,线段 AB 的中点为 D,直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. (i)求证:点 M 在定直线上; (ii)直线 l 与 y 轴交于点 G,记 △PFG 的面积为 S1 , △PDM 的面积为 S2 ,求 大值及取得最大值时点 P 的坐标.

S1 的最 S2

(Ⅱ) (i)设 P(m,

m2 )(m ? 0) ,由 x 2 ? 2 y 可得 y / ? x , 2

m2 m2 ? m( x ? m) ,即 y ? m x ? 所以直线 l 的斜率为 m ,因此直线 l 的方程为 y ? . 2 2

27

? m2 ? y ? mx ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), D( x0 , y0 ) ,联立方程 ? 2 2 2 ?x ? 4 y ? 1 ?
得 (4m ? 1) x ? 4m x ? m ? 1 ? 0 ,由 ? ? 0 ,得 0 ? m ?
2 2 3 4

2? 5 且

x1 ? x 2 ?

x1 ? x 2 4m 3 2m 3 m2 x ? ? y ? m x ? ,因此 , 将其代入 得 0 2 2 4m 2 ? 1 4m 2 ? 1

y0 ? ?

y 1 1 m2 x. ,因为 0 ? ? ,所以直线 OD 方程为 y ? ? 2 4m x0 4m 2(4m ? 1)

1 ? x 1 1 ?y ? ? 联立方程 ? 4m ,得点 M 的纵坐标为 yM ? ? ,即点 M 在定直线 y ? ? 上. 4 4 ? ?x ? m
(ii)由(i)知直线 l 方程为 y ? m x ?

m2 m2 m2 ), ,令 x ? 0 得 y ? ? ,所以 G (0,? 2 2 2

又 P(m,

1 1 m2 1 2m 3 ? m2 ), F (0, ), D ( 2 , ) ,所以 S1 ? | GF | m ? m(m 2 ? 1) , 2 2 4 2 2 4m ? 1 2(4m ? 1)

S2 ?

S1 2(4m 2 ? 1)(m 2 ? 1) 1 m(2m 2 ? 1) 2 ,所以 , | PM | ? | m ? x0 |? ? 2 S2 8(4m 2 ? 1) (2m 2 ? 1) 2
2

令 t ? 2m ? 1 ,则

S1 (2t ? 1)(t ? 1) 1 1 ? ? ? 2 ? ?2, 2 S2 t t t

当 ?

1 t

S 1 9 2 ,即 t ? 2 时, 1 取得最大值 ,此时 m ? ,满足 ? ? 0 , 2 4 2 S2
9 S 2 1 2 1 , ) ,因此 1 的最大值为 ,此时点 P 的坐标为 ( , ). 4 S2 2 4 2 4

所以点 P 的坐标为 (

例 29、 【2016 年高考四川理数】已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点与短轴的 a 2 b2

一个端点是直角三角形的三个顶点,直线 l : y ? ? x ? 3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (Ⅱ)设 O 是坐标原点,直线 l’平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B,且与直线 l 交于点 P.证明:存在常数 ? ,使得 PT
2

? ? PA ? PB ,并求 ? 的值.

28

例 29、解析: (I)由已知, a2 ? a2 ? (2c)2 ,即 a ?

2c ,所以 a ? 2b ,则椭圆 E 的方

? x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1, 程为 2 ? 2 ? 1 .由方程组 ? 2b 得 3x2 ?12x ? (18 ? 2b2 ) ? 0 .① b 2b b ? y ? ? x ? 3, ?
方程①的判别式为 ?=24(b2 ? 3) ,由 ? =0 ,得 b 2 =3 ,此方程①的解为 x =2 ,

x2 y 2 ? ? 1 .点 T 坐标为(2,1). 所以椭圆 E 的方程为 6 3

1 ? 1 ? y ? x ? m, (II)由已知可设直线 l ? 的方程为 y ? x ? m(m ? 0) ,由方程组 ? 2 2 ? ? y ? ? x ? 3,
2m ? x ? 2? , ? 2m 2m 8 2 2 ? 3 ,1 ? 可得 ? ,所以 P 点坐标为( 2 ? ) , PT ? m . 3 3 9 ? y ? 1 ? 2m . ? 3 ? ? x2 y 2 ? ? 1, ? ?6 3 设点 A,B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) .由方程组 ? 可得 ? y ? 1 x ? m, ? ? 2

3x2 ? 4mx ? (4m2 ?12) ? 0 …………...②
方程②的判别式为 ?=16(9 ? 2m2 ) ,由 ? >0 ,解得 ?

3 2 3 2 . ?m? 2 2

由②得 x1 ? x2 = ?

4m 4m2 ? 12 , x1 x2 ? . 3 3

所以 PA ? (2 ?

2m 2m 5 2m ? x1 )2 ? (1 ? ? y1 )2 ? 2? ? x1 , 3 3 2 3

同理 PB ?

5 2m 2? ? x2 , 2 3
5 2m 2m 5 2m 2 2m (2 ? ? x1 )(2 ? ? x2 ) ? (2 ? ) ? (2 ? )( x1 ? x2 ) ? x1 x2 4 3 3 4 3 3

所以 PA ? PB ?

?

5 2m 2 2m 4m 4m2 ? 12 10 2 ? m . (2 ? ) ? (2 ? )(? )? 9 4 3 3 3 3
29

故存在常数 ? ?

4 2 ,使得 PT ? ? PA ? PB . 5

例 30、 (2016 天津理)设椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 3 )的右焦点为 F ,右顶点为 A , a2 3

已知

1 1 3e ,其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率. ? ? | OF | | OA | | FA |

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B ( B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交于点 M , 与 y 轴交于点 H ,若 BF ? HF ,且 ?MOA ? ?MAO ,求直线的 l 斜率的取值范围.

解得 x ? 2 ,或 x ?

? 12 k 8k 2 ? 6 8k 2 ? 6 x ? ,由题意得 ,从而 yB ? . B 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3

由(Ⅰ)知, F (1,0) ,设 H (0, y H ) ,有 FH ? (?1, yH ) , BF ? (

9 ? 4k 2 12k , ) .由 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

9 ? 4k 2 9 ? 4k 2 12kyH BF ? HF ,得 BF ? HF ? 0 ,所以 2 ? ? 0 ,解得 yH ? . 因此直线 12k 4k ? 3 4k 2 ? 3
MH 的方程为 y ? ?

1 9 ? 4k 2 x? . k 12k

? 1 9 ? 4k 2 20k 2 ? 9 ?y ? ? x ? 设 M ( xM , yM ) ,由方程组 ? .在 ?MAO k 12k 消去 y ,解得 xM ? 12(k 2 ? 1) ? y ? k ( x ? 2) ?
中, ?MOA ? ?MAO ?| MA |?| MO | ,即 ( xM ? 2) ? yM ? xM ? yM ,化简得 xM ? 1 ,
2 2 2 2



6 6 6 6 20k 2 ? 9 ]?[ ,??) . 或k ? .直线 l 的斜率范围 (??,? ? 1 ,解得 k ? ? 2 4 4 4 4 12(k ? 1)

30

例 31、 【2016 高考山东文数】已知椭圆 C: (I)求椭圆 C 的方程;

(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2

.

(Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k',证明 (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 例 31、解:(Ⅰ)

k? 为定值. k

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

此时

k' k' ? ?3 ,所以 为定值 ?3 . k k

31

所以直线 AB 的斜率的最小值为

6 . 2

例 32、 【2016 高考四川文科】已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点与短轴的两 a 2 b2

个端点是正三角形的三个顶点,点 P( 3, ) 在椭圆 E 上. 1 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;(Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A, 2 B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明: MA ? MB ? MC ? MD .

1 2

所以 MC ? MD ? 又 MA ? MB ?

5 5 5 (?m ? 2) ? ( 2 ? m) ? (2 ? m2 ) . 2 2 4

1 1 5 2 AB ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 4 4 16 5 5 ? [4m2 ? 4(2m 2 ? 2)] ? (2 ? m 2 ) .所以 MA ? MB = MC ? MD . 16 4

32

例 33、 (2011 湖南理 21)如图,椭圆 C1 :

x2 y 2 3 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

x 轴被曲线 C2 : y ? x2 ? b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长。 (Ⅰ)求 C1 , C2 的方程; (Ⅱ)设 C2 与 y 轴的焦点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相 交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D, E. (i)证明:MD⊥ME; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S2 . 问:是否存在直线 l,使得

S1 17 ? ?请说明理由。 S2 32 c 3 ? , 从而a ? 2b, 又2 b ? a, 解得a ? 2, b ? 1. a 2

例 33、解 : (Ⅰ)由题意知 e ?

故 C1 , C2 的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1. 4

(Ⅱ) (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y ? kx . 由?

? ? y ? kx 2 得 x ? kx ? 1 ? 0 . 2 ? ?y ? x ?1

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1. 又点 M 的坐标为(0,—1) ,所以

k MA ? k MB

2 y1 ? 1 y 2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

?

? k 2 ? k 2 ?1 ?1

? ?1. 故 MA⊥MB,即 MD⊥ME.
? ? y ? k1 x ? 1, 解得 2 ? ?y ? x ?1

(ii)设直线 MA 的斜率为 k1,则直线 MA 的方程为 y ? k1 x ? 1,由?

1 ?x ? 0 ?x ? k , 2 ? 或? A . MB 则点 的坐标为 又直线 的斜率为 , ( k , k ? 1 ) ? 1 1 2 k1 ? y ? ?1 ? y ? k1 ? 1
同理可得点 B 的坐标为 (?

1 1 , ? 1). k1 k12

33

于是 S1 ?

1 1 1 1 1 ? k12 | MA | ? | MB |? 1 ? k12 ? | k1 | ? 1 ? 1 ? | ? |? 2 2 k1 k1 2 | k1 |

8k1 ? x? , 2 ? ? ? x ? 0, ? 1 ? 4k1 ? y ? k1 x ? 1, 2 2 或? 由? 2 得 (1 ? 4k1 ) x ? 8k1 x ? 0. 解得 ? 2 2 ? ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? 1 ? 4k12 ?
则点 D 的坐标为 (

8k1 4k12 ? 1 , ). 1 ? 4k12 1 ? 4k12 ? 8k1 4 ? k12 1 , ). ,同理可得点 E 的坐标为 ( k 4 ? k12 4 ? k12

又直线 ME 的斜率为 ?

32(1 ? k12 )? | k1 | 1 . 于是 S 2 ? | MD | ? | ME |? 2 (1 ? k12 )(k12 ? 4)
因此

S1 1 4 17 1 1 4 ? (4k12 ? 2 ? 17). 由题意知, (4k12 ? 2 ? 17) ? , 解得k12 ? 4, 或k12 ? . 64 k1 32 4 S2 64 k1

1 k12 1 3 ? k1 ? , 所以k ? ? . 又由点 A、B 的坐标可知, k ? 1 k1 2 k1 ? k1 k12 ?
故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y ?

3 3 x和y ? ? x. 2 2

x2 y 2 Q ? x2 , y2 ? 两 例 34、 (2011 山东理 22) 已知动直线 l 与椭圆 C: ? ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、 3 2
不同点,且△OPQ 的面积 S?OPQ =
2 2 2 2

6 ,其中 O 为坐标原点. 2

(Ⅰ)证明 x1 ? x2 和 y1 ? y2 均为定值; (Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 | OM | ? | PQ | 的最大值; (Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 ? 2

若存在,判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由. 例 34、 (I)解: (1)当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称, 所以 x2 ? x1 , y2 ? ? y1. 因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,因此
34

x12 y12 ? ? 1 ……………….① 3 2

又因为 S ?OPQ ?

6 6 . …………② , 所以 | x1 | ? | y1 |? 2 2 6 2 2 2 2 ,| y1 |? 1. 此时 x1 ? x2 ? 3, y1 ? y2 ? 2, 2

由①、②得 | x1 |?

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 m ? 0 ,将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3(m2 ? 2) ? 0 , 3 2
…………(*)

其中 ? ? 36k 2 m2 ?12(2 ? 3k 2 )(m2 ? 2) ? 0, 即 3k 2 ? 2 ? m2 又 x1 ? x2 ? ?

6km 3(m2 ? 2) , x x ? , 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

所以 | PQ |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 因为点 O 到直线 l 的距离为 d ?

2 6 3k 2 ? 2 ? m2 , 2 ? 3k 2

|m| 1? k 2 ,

S?OPQ ?

1 1 2 6 3k 2 ? 2 ? m2 | m | 6 | m | 3k 2 ? 2 ? m2 | PQ | ?d ? 1? k 2 ? ? ? 2 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 1? k 2

又 S ?OPQ ?

6 2 2 , 整理得 3k ? 2 ? 2m , 且符合(*)式, 2

2 此时 x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ? (?

6km 2 3(m2 ? 2) ) ? 2? ? 3, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

2 y12 ? y2 ?

2 2 2 2 2 (3 ? x12 ) ? (3 ? x2 ) ? 4 ? ( x12 ? x2 ) ? 2. 3 3 3
2 2 2 2

综上所述, x1 ? x2 ? 3; y1 ? y2 ? 2, 结论成立。 (II)解法一: (1)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知 | OM |?| x1 |?

6 ,| PQ |? 2 | y1 |? 2, 2

因此 | OM | ? | PQ |?

6 ? 2 ? 6. 2
x1 ? x2 3k ? , 2 2m

(2)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知

35

y1 ? y2 x ?x 3k 2 ?3k 2 ? 2m2 ? ? k( 1 2 ) ? m ? ? ?m? ? , 2 2 2m 2m m 2 2 x ?x y ? y2 2 9 k 1 6m ? 2 1 1 | OM |2 ? ( 1 2 ) 2 ? ( 1 ) ? ? 2 ? ? (3 ? 2 ), 2 2 2 2 4m m 4m 2 m 2 2 2 24(3k ? 2 ? m ) 2(2m ? 1) 1 | PQ |2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 2(2 ? 2 ), 2 2 2 (2 ? 3k ) m m
2 2 所以 | OM | ? | PQ | ?

1 1 1 ? (3 ? 2 ) ? 2 ? (2 ? 2 ) 2 m m

5 1 1 ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 , 即m ? ? 2 时,等号成立. 2 m m 5 综合(1) (2)得|OM|?|PQ|的最大值为 . 2
所以 | OM | ? | PQ |? 解法二:因为 4 | OM | ? | PQ | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2 2 2 2 2 2

所以 2 | OM | ? | PQ |? 即 | OM | ? | PQ |?

4 | OM |2 ? | PQ |2 10 ? ? 5. 2 5

5 , 当且仅当 2 | OM |?| PQ |? 5 时等号成立。 2 5 因此 |OM|?|PQ|的最大值为 . 2
(III)椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 . 2 6 , 2

证明:假设存在 D(u, v), E ( x1 , y1 ), G( x2 , y2 )满足S?ODE ? S ?ODG ? S ?OEG ? 由(I)得
2 2 2 2 u 2 ? x12 ? 3, u 2 ? x2 ? 3, x12 ? x2 ? 3; v 2 ? y12 ? 2, v 2 ? y2 ? 2, y12 ? y2 ? 2,

3 2 2 解得u 2 ? x12 ? x2 ? ; v 2 ? y12 ? y2 ? 1. 2 5 因此u, x1 , x2只能从 ? 中选取, v, y1 , y2 只能从 ? 1中选取, 2
因此 D,E,G 只能在 ( ?

6 , ?1) 这四点中选取三个不同点, 2

36

而这三点的两两连线中必有一条过原点,与 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 矛盾, 2

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G. 例 35、(2011 四川)椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交 于 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. 3 (Ⅰ)当 | CD |? 2 时,求直线 l 的方程; 2 ??? ? ???? (Ⅱ)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: OP ? OQ 为定值. 例 35 、解: (Ⅰ)因椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为 2 2 y x ? ? 1(a ? b ? 0) ,由已知得 b ? 1 , c ? 1 ,所以 a 2 ? 2 , a 2 b2 y2 则椭圆方程为 x2 ? ?1. 2 直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符. ? 2 y2 ? 1, ?x ? 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,联立 ? 得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kx ? 1 ? 0 , 2 ? y ? kx ? 1, ? 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 ? ? 4k 2 ? 4(k 2 ? 2) ? 8(k 2 ? 1) , x1 ? x2 ? ?
| CD |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 2 2(k 2 ? 1) . k2 ? 2

2k 1 , x1 x2 ? ? 2 , k ?2 k ?2
2

由已知得

2 2( k 2 ? 1) 3 ? 2 , 解 得 k ? ? 2 , 所 以 直 线 l 的 方 程 为 y ? 2x ? 1 或 k2 ? 2 2

y ? ? 2x ? 1 . (Ⅱ)直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符.

1 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ( k ? 0 且 k ? ?1 ) ,所以 P 点的坐标为 (? ,0) . k 2k 1 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,由(Ⅰ)知 x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? ? 2 , k ?2 k ?2 y y 直线 AC 的方程为: y ? 1 ( x ? 1) ,直线 BD 的方程为: y ? 2 ( x ? 1) , x1 ? 1 x2 ? 1 方法一: y1 ? y ( x ? 1) 1? 1 2 ? y ? x ? 1 ( x ? 1), y2 ( x1 ? 1) y2 ( x1 ? 1) ? y1 ( x2 ? 1) ? 1 ? 联立方程 ? 设 Q( x0 , y0 ) ,解得 x0 ? , y ( x ? 1) y2 ( x1 ? 1) ? y1 ( x2 ? 1) ? y ? y2 ( x ? 1), 1? 1 2 y2 ( x1 ? 1) ? x2 ? 1 ? (kx2 ? 1)( x1 ? 1) ? ( kx1 ? 1)( x2 ? 1) 2kx1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? k ( x2 ? x1 ) ? 不妨设 x1 ? x2 ,则 x0 ? (kx2 ? 1)( x1 ? 1) ? ( kx1 ? 1)( x2 ? 1) k ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 2
k 8(k 2 ? 1) ?2k 2k ? ? 2 2 ?4k ? 2k 2(k 2 ? 1) k2 ? 2 ? k ?2 k ?2 ? ? ? k ,因此 Q 点的坐标为 (?k , y0 ) , 8(k 2 ? 1) 2 2(k 2 ? 1) ? 4 2k 2 ? 2 ? ?2 k ?2 k2 ? 2 ??? ? ???? ??? ? ???? 1 1 又 P(? ,0) ,∴ OP ? OQ ? (?k ) ? (? ) ? 0 ? 1 .故 OP ? OQ 为定值. k k

37

? ?y ? ? 方法二:联立方程 ? ?y ? ? ?

y1 ( x ? 1), x1 ? 1

y2 ( x ? 1), x2 ? 1 x ? 1 y2 因为 ?1 ? x1 , x2 ? 1 ,所以 与 异号. y1 x ?1

消去 y 得

x ? 1 y2 ( x1 ? 1) ? , x ? 1 y1 ( x2 ? 1)

?2k ?1 ? 2 2 k ? 2 k ? 2 ? ( k ? 1)2 ?2k ?1 k ?1 1? 2 ? k ? 2 k2 ? 2 2(1 ? k )(1 ? k ) 2(1 ? k )2 k ? 1 又 y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? , ?? 2 ? 2 k ?2 k ? 2 k ?1 k ?1 x ?1 k ?1 x ?1 k ?1 ∴ 与 y1 y2 异号, 与 同号,∴ ,解得 x ? ? k . ? k ?1 x ?1 k ?1 x ?1 k ?1 ??? ? ???? 1 1 因此 Q 点的坐标为 (?k , y0 ) ,又 P(? ,0) ,∴ OP ? OQ ? (?k ) ? (? ) ? 0 ? 1 . k k ??? ? ???? 故 OP ? OQ 为定值.
2 2 ( x ? 1)2 2 ? 2 x2 ( x1 ? 1) 2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) x ? 1 2 y2 ( ) ? 2 1 ? ? ? ? x ?1 y1 ( x2 ? 1)2 2 ? 2 x12 ( x2 ? 1)2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

1?

例 36、 (2010 安徽理数)已知椭圆 E 经过点 A? 2,3? ,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴 上,离心率 e ?

1 。 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;(Ⅱ)求 ?F 1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。

(II)解法一:由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0),∴直线 AF1 为 y=

3 (x+2),即 3x-4y+6=0.直 4

线 AF2 的方程为 x=2.由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数.设 P(x,y)为 直线 l 上任一点,则

3x ? 4 y ? 6 =|x-2|. 5

若 3x-4y+6=5x-10,得 x+2y-8=0(因其斜率为负,舍去). 于是,由 3x-4y+6=-5x+10 得 2x-y-1=0,∴直线 l 的方程为 2x-y-1=0.

38

例 37、(2009 山东卷文)设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (mx, y ? 1) , 向量 b ? ( x, y ?1) , a ? b ,动点 M ( x, y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2) 已知 m ?
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?

?

?

?

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 点 A,B,且 | OA + OB |=| OA - OB | (O 为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知 m ?

1 2 2 2 ,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共 4

点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 例 37、解:(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) ,所以 a ? b ? mx2 ? y2 ?1 ? 0 ,
39

?

? ?

?

? ?

即 mx2 ? y 2 ? 1 。 当 m=0 时,方程表示两直线方程为 y ? ?1 ;当 m ? 1 时, 方程表示的是圆; 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2).当 m ?

1 x2 ? y 2 ? 1,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t , 时, 轨迹 E 的方程为 4 4

? y ? kx ? t ? 解方程组 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 ,即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 ,

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4k ? 1 ,
2 2 2 2

8kt ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 4k 2 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 2 , ? ? t ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?
要使 | OA + OB |=| OA - OB | ,即 OA ? OB ,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,



4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2 2 2 2 2

所以 5t ? 4k ? 4 ? 0 , 即 5t ? 4k ? 4 且 t ? 4k ? 1 , 所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,

即 4k ? 4 ? 20k ? 5 恒成立.
2 2

4 (1 ? k 2 ) t 4 t 4 2 所以圆的半径为 r ? ,r ? ?5 ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k
2

当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ?

2 2 2 x2 5 ,与 5) 或 ? y 2 ? 1 交 于 点 ( 5 ,? 5 5 5 4

(?

2 2 5 ,? 5 ) 也满足 OA ? OB . 5 5
2 2

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? A,B,且 OA ? OB . (3)当 m ?

4 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 5

??? ?

??? ?

1 x2 ? y 2 ? 1,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,因为直线 l 与 时,轨迹 E 的方程为 4 4
40

圆 C: x 2 ? y 2 ? R2 (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ?

t 1? k
2

,

即 t 2 ? R2 (1 ? k 2 ) ….①,

? y ? kx ? t ? 因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1, 由(2)知 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 , 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 有唯一解 则△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 , 即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



? 2 3R 2 t ? ? ? 4 ? R2 由①②得 ? , 2 ?k 2 ? R ? 1 ? ? 4 ? R2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

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8kt ? x ? x ? ? 1 2 ? 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 1 ? 4k 2 2 x ? ? 由? 中 , 所以 , , x ? x 1 1 2 2 2 2 1 ? 4 k 3 R 4 t ? 4 ? xx ? ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y1 ? 1 ?
2
2

4 1 2 4 ? R2 2 2 2 x1 ? ,所以 | OB1 | ? x1 ? y1 ? 5 ? 2 , 2 R 4 3R
2 2

在直角三角形 OA1B1 中, | A1 B1 | ?| OB1 | ? | OA1 | ? 5 ? 因为

4 4 ? R2 ? 5 ? ( 2 ? R2 ) 2 R R

4 ? R 2 ? 4 当且仅当 R ? 2 ? (1, 2) 时取等号,所以 | A1B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即 2 R

当 R ? 2 ? (1,2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.

例 38、(2009 山东卷理)设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)经过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两 a 2 b2

点,O 为坐标原点, (I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

??? ?

??? ?

x2 y 2 例 38、解:(1)因为椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a b

41

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2) 假设存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,

? y ? kx ? m ??? ? ??? ? ? 且 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 ? ? 1 ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,

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2 2 2 2 2 2 则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0 ,
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 , ?

??? ? ??? ? 2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0, 要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
所以 3m ? 8k ? 8 ? 0 ,所以 k ?
2 2

2

? m2 ? 2 3m2 ? 8 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 , 8 ?3m ? 8

所以 m ?
2

8 2 6 2 6 ,即 m ? 或m?? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一 3 3 3

条切线,所以圆的半径为 r ?

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

m2 8 2 6 ? ,r ? , 2 3m ? 8 3 3 1? 8

所求的圆为 x ? y ?
2 2

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m ? ? , 3 3 3

而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ?

x2 y 2 2 6 ? ?1 的两个交点为 与椭圆 8 4 3

(

??? ? ??? ? 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) 满 足 OA ? OB , 综 上 , 存 在 圆 心 在 原 点 的 圆 3 3 3 3 ??? ? ??? ? 8 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB . 3

42

而 | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m 2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1

①当 k ? 0 时 | AB |?

1 32 1 2 [1 ? ] 因为 4k ? 2 ? 4 ? 8 1 k 3 4k 2 ? 2 ? 4 k

所以 0 ?

1 1 32 32 1 ? ,所以 ? [1 ? ] ? 12 , 1 1 8 3 3 2 2 4k ? 2 ? 4 4k ? 2 ? 4 k k
4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 3 2
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所以

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ), 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (

此时 | AB |?

4 4 4 6 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] , 综上, |AB |的取值范围为 3 3 3

例 39、 (2008 福建卷 21)如图、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 F(1,0) , a 2 b2

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动,值有 OA ? OB ? AB ,求 a 的取值范围。 例 39、解法一:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点, 因为△MNF 为正三角形,所以 OF ?
2 2 2

3 MN , 2

即 1=

3 2b ? , 解得b= 3. a2 ? b2 ? 1 ? 4, 2 3

x2 y 2 ? ? 1. 因此,椭圆方程为 4 3
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).

43

2 2 2 (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时, OA ? OB ? 2a , AB ? 4a (a ? 1),

2

2

2

因此,恒有 OA ? OB ? AB .
(ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时, 设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1, 代入

2

2

2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

得 (a2 ? b2 m2 ) y 2 ? 2b2my ? b2 ? a2b2 ? 0, 所以 y1 ? y2 ? 因为恒有 OA ? OB ? AB ,所以 ? AOB 恒为钝角. 即 OA? OB ? ( x1, y1 )? ( x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立.
2 2 2

2b2 m b 2 ? a 2b 2 , y y ? . 1 2 a 2 ? b 2 m2 a 2 ? b 2 m2

??? ? ??? ?

x1x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1

?

(m2 ? 1 ) b ( 2 ? a 2 b2 ) 2 b 2 m2 ? m2 a 2 ? b2 ? ? 1 ? 2 a 2 ? b 2 m2 a 2? b2 m2 a ?

? b 2 a 2? b2 a 2 ? 0. b 2 m2

又 a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0 对 m ? R 恒成立, 即 a2b2m2> a2 -a2b2+b2 对 m ? R 恒成立. 当 m ? R 时,a2b2m2 最小值为 0,所以 a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4, 因为 a>0,b>0,所以 a<b2,即 a2-a-1>0, 解得 a>

1? 5 1? 5 1? 5 或 a< (舍去),即 a> , 2 2 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为( 解法二:(Ⅰ)同解法一,

1? 5 ,+ ? ). 2

1 y2 b2 ( a 2 ? 1) 2 (Ⅱ)解: (i)当直线 l 垂直于 x 轴时,x=1 代入 2 ? 2 ? 1, y A ? =1. a b a2
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1,即

a2 ? 1 >1, a

解得 a>

1? 5 1? 5 1? 5 或 a< (舍去),即 a> . 2 2 2

(ii)当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 A(x1,y1), B(x2,y2).

x2 y2 设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入 2 ? 2 ? 1, 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, a b
故 x1+x2=

2a 2 k 2 a 2 k 2 ? a 2b 2 2 2 2 , x2 x2 ? 2 . 因为恒有|OA| +|OB| <|AB| , 2 2 2 2 2 b ?a k b ?a k
44

所以 x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得 x1x2+ y1y2<0 恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2 =(1+k2)

a 2 k 2 ? a 2b 2 2a 2 k 2 ( a 2 ? a 2b 2 ? b 2 )k 2 ? a 2b 2 2 2 ? k ? k ? <0 b2 ? a 2k 2 b2 ? a 2k 2 b2 ? a 2k 2

由题意得(a2- a2 b2+b2)k2- a2 b2<0 对 k ? R 恒成立. ①当 a2- a2 b2+b2>0 时,不合题意; ②当 a2- a2 b2+b2=0 时,a= ③当 a2- a2 b2+b2<0 时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0, 解得 a2>

1? 5 ; 2

3? 5 3? 5 1? 5 1? 5 或 a2> (舍去) ,a> ,因此 a ? . 2 2 2 2 1? 5 ,+ ? ). 2

综合(i) (ii) ,a 的取值范围为(

例 40、(2008 天津理)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,A 是椭圆 a 2 b2
1 OF1 . 3

O 到直线 AF1 的距离为 上的一点, AF2 ? F 1F 2 ,原点
(Ⅰ)证明 a ?

2b ; (Ⅱ)设 Q1,Q2 为椭圆上的两个动点, OQ1 ? OQ2 ,过原点 O 作直

线 Q1Q2 的垂线 OD ,垂足为 D ,求点 D 的轨迹方程. 例 40 解: (Ⅰ)证法一:由题设 AF2 ? F , 0) , F2 (c, 0) ,不妨设点 A(c,y) , 1F2 及 F 1 (?c 其中 y ? 0 .由于点 A 在椭圆上,有

c2 y 2 a 2 ? b2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 1. ,即 a 2 b2 a2 b

解得 y ?

? b2 ? b2 b2 ( x ? c) , ,从而得到 A ? c, ? .直线 AF1 的方程为 y ? 2ac a ? a?
1 c b 2c OF1 ,即 ? , 3 3 b4 ? 4a 2c 2

得 b2 x ? 2acy ? b2c ? 0 .原点 O 到直线 AF1 的距离为
2 2 2 2 2 将 c ? a ? b 代入上式并化简得 a ? 2b ,即 a ?

2b .

证法二:同证法一,得到点 A 的坐标为 ? c, ? .

? b2 ? ? a?

过点 O 作 OB ? AF1 ,垂足为 B ,易知 △F 1BO ∽ △F 1 F2 A ,故

BO OF1

?

F2 A F1 A



45

由椭圆定义得 AF 1 ? AF 2 ? 2a ,又 BO ? 所以

1 OF1 , 3
B

y A

F2 A 1 F2 A , ? ? 3 F1 A 2a ? F2 A
b2 b2 a a ? ,即 a ? 2b . ,而 F2 A ? ,得 2 a a 2

F1 O

F2

x

解得 F2 A ?

(Ⅱ)解法一:设点 D 的坐标为 ( x0,y0 ) . 当 y0 ? 0 时 , 由 OD ? Q1Q2 知 , 直 线 Q1Q2 的 斜率 为 ?

x0 , 所 以 直 线 Q1Q2 的 方 程为 y0

y??

x2 x0 x ( x ? x0 ) ? y0 ,或 y ? kx ? m ,其中 k ? ? 0 , m ? y0 ? 0 . y0 y0 y0
? y ? kx ? m,
2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b .

点 Q1 ( x1,y1 ),Q2 ( x2,y2 ) 的坐标满足方程组 ? 将①式代入②式,得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 2b2 ,

整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2b2 ? 0 ,于是 x1 ? x2 ? ?

2m 2 ? 2b 4km x x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由①式得 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? k 2

? k2 ·

2m2 ? 2b2 ?4km m2 ? 2b 2 k 2 2 ? km · ? m ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

3m2 ? 2b 2 ? 2b 2 k 2 ?0, 由 OQ1 ? OQ2 知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .将③式和④式代入得 1 ? 2k 2

3m2 ? 2b2 (1 ? k 2 ) .将 k ? ?

x0 x2 2 2 2 ? y0 ? b2 . ,m ? y0 ? 0 代入上式,整理得 x0 3 y0 y0

当 y0 ? 0 时 , 直 线 Q1Q2 的 方 程为 x ? x0 , Q1 ( x1,y1 ),Q2 ( x2,y2 ) 的 坐 标 满 足方 程 组
2 ? x ? x0, 2b2 ? x0 ,所以 x1 ? x2 ? x0 , y1, . ? 2 2 ?? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b .
2 2b 2 ? x0 2 2 ? b2 . ? 0 ,解得 x0 3 2

由 OQ1 ? OQ2 知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x0 ?
2

46

2 2 这时,点 D 的坐标仍满足 x0 ? y0 ?

2 2 b .综上,点 D 的轨迹方程为 3

x2 ? y 2 ?

2 2 b . 3

解法二:设点 D 的坐标为 ( x0,y0 ) ,直线 OD 的方程为 y0 x ? x0 y ? 0 ,由 OD ? Q1Q2 ,
2 2 垂足为 D ,可知直线 Q1Q2 的方程为 x0 x ? y0 y ? x0 . ? y0 2 2 记 m ? x0 (显然 m ? 0 ) ,点 Q1 ( x1,y1 ),Q2 ( x2,y2 ) 的坐标满足方程组 ? y0

? ? x0 x ? y0 y ? m, ? 2 2 2 ? ? x ? 2 y ? 2b .

① ②

由①式得 y0 y ? m ? x0 x .……………③

2 2 2 2 2 2 由②式得 y0 x ? 2 y0 y ? 2 y0 b ………………… ④ 2 2 2 2 将③式代入④式得 y0 x ? 2(m ? x0 x)2 ? 2 y0 b .

2 2m2 ? 2b2 y0 整理得 (2x ? y ) x ? 4mx0 x ? 2m ? 2b y ? 0 ,于是 x1 x2 ? .…………⑤ 2 2 2 x0 ? y0
2 0 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 由①式得 x0 x ? m ? y0 y ……………⑥,由②式得 x0 x ? 2x0 y ? 2x0 b …………………⑦ 2 2 2 2 将⑥式代入⑦式得 (m ? y0 y)2 ? 2x0 y ? 2x0 b ,

2 2 2 整理得 (2x0 ? y0 ) y2 ? 2my0 y ? m2 ? 2b2 x0 ? 0 ,于是 y1 y2 ?

2 m2 ? 2b2 x0 ………………⑧ 2 2 2 x0 ? y0

2 2 2m2 ? 2b2 y0 m2 ? 2b2 x0 由 OQ1 ? OQ2 知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .将⑤式和⑧式代入得 ? ? 0, 2 2 2 2 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0

2 2 2 2 2 2 2 2 代入上式,得 x0 ? y0 ? b . 3m2 ? 2b2 ( x0 ? y0 ) ? 0 .将 m ? x0 ? y0 3 2 2 2 2 所以,点 D 的轨迹方程为 x ? y ? b . 3
例 41、 (2007 四川文)设 F1、F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点. 4
5 ,求点 P 的作标; 4

(Ⅰ)若 r 是第一象限内该数轴上的一点, PF1 ?PF2 ? ?

???? ???? ?

(Ⅱ)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B,且∠ADB 为锐角(其中 O 为作标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 例 41、 (Ⅰ)易知 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 .∴ F 1 (? 3,0) , F 2 ( 3,0) . 设 P( x, y) ( x ? 0, y ? 0) .则

47

???? ???? ? x2 5 PF1 ? PF2 ? (? 3 ? x, ? y )( 3 ? x, ? y ) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? ,又 ? y 2 ? 1, 4 4

7 ? 2 x ? y2 ? ?x ? 1 ? x2 ? 1 ? 3 ? 4 ? ? 联立 ? 2 ,解得 ? 3?? 3 , P(1, 2 ) . 2 ? x ? y2 ? 1 ?y ? ?y ? ? 4 ? 2 ? ?4
(Ⅱ)显然 x ? 0 不满足题设条件.可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? x2 ? ? y2 ? 1 联立 ? 4 ? x 2 ? 4(kx ? 2)2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?
12 16k , x1 ? x2 ? ? ,由 ? ? (16k )2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) ?12 ? 0 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 3 16k 2 ? 3(1 ? 4k 2 ) ? 0 , 4k 2 ? 3 ? 0 ,得 k 2 ? .…………………① 4 ??? ? ??? ? 又 ?AOB 为锐角 ? cos ?AOB ? 0 ? OA ? OB ? 0 ,
∴ x1 x2 ? ∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

??? ? ??? ?

x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? (1 ? k 2 ) ?
?

12 16k ? 2k ? ( ? )?4 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

12(1 ? k 2 ) 2k ?16k 4(4 ? k 2 ) 1 ? ? 4 ? ? 0 ∴ ? ? k 2 ? 4 .………….② 2 2 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k

综①②可知

3 ? k 2 ? 4 ,∴ k 的取值范围是 (?2, ? 3 ) ? ( 3 , 2) . 4 2 2

例 42、 (2011 全国 I 卷) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 过 F1 a 2 b2

斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (1)求 E 的离心率; (2) 设点 p (0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程 例 42.解: (I)由椭圆定义知 AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ,又 2 AB ? AF2 ? BF2 , 得 AB ?

4 a; 3

2 2 又 l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a ? b 。

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组

48

?y ? x ? c ? 2 2 2 2 2 2 2 2 ,化简得 ? a ? b ? x ? 2a cx ? a ? c ? b ? ? 0 , ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
则 x1 ? x2 ?

a 2 ? c 2 ? b2 ? ?2a 2c 2 4 , D = 8a b >0 , x1 x2 ? 2 2 2 2 a ?b a ?b
2

8a 2b 4 因为直线 AB 斜率为 1,所以 AB ? (1 ? 1 ) 2 (a ? b 2 ) 2
4 4ab 2 c a 2 ? b2 2 2 2 , a ? 2 b 得 a? 2 故 ,所以 E 的离心率 e ? ? ? 2 3 a ?b a a 2
( II ) 设 AB 的 中 点 为 N ? x0 , y0 ? , 由 ( I ) 知 x0 ?

x1 ? x2 ?a 2 c 2 ? 2 ?? c , 2 2 a ?b 3

y ?1 c ? ?1 , 由 PA ? PB , 得 kPN ? ?1 , 即 0 得 c ? 3, 从而 a ? 3 2, b ? 3 y0 ? x0 ? c ? 。 x0 3
x2 y2 ? ? 1。 故椭圆 E 的方程为 18 9

x2 ? y 2 ? 1. 例 43、已知椭圆 ? : 4
(1) 椭圆 ? 的短轴端点分别为 A , B ,直线 AM , BM 分别与椭圆 ? 交于 E , F 两点,其中点 M ? m ,

? ?

1? ? 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2?

①证明直线 E F 与 y 轴交点的位置与 m 无关; ②若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍,求 m 的值; (2)若圆 ? : x ? y ? 4 . l1 , l 2 是过点 P(0,?1) 的两条互相垂直的直线,其中 l1 交圆 ?
2 2

于 T 、 R 两点, l 2 交椭圆 ? 于另一点 Q .求 ?TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程.

1 ),且 m ? 0 , 2 1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , ? 直 线 AM 的斜率为 k1= ? 2m 2m
例 43.解: (1)①因为 A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

3 ? 直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

2m

49

? x2 ? y 2 ? 1, 4m ? ? m m2 ? 1 ? 由? 4 得 ? m 2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 ,? x ? 0, x ? 2 , ?E ? 4 , 2 ?, 2 m ?1 ? m ?1 m ?1 ? ? y ? ? 1 x ? 1, 2m ?
? x2 ? y 2 ? 1, 12m 12m 9 ? m2 ? ; 由? 4 得 m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 ,? x ? 0, x ? 2 , ?F ? , 2 ? ? ? 2 m ?9 3 m ? 9 m ?9? ? ?y ? x ? 1, 2m ?

?

?

m2 ? 1 9 ? m2 2 ? 2 2 据已知, m ? 0, m2 ? 3 ,? 直线 EF 的斜率 k ? 1 ? m2 9 ? m2 ? (m ? 3)(m ? 3) ? ? m ? 3 , 4m 4m 12m ?4m(m2 ? 3) ? 2 2 1? m 9 ? m

? 直线 EF 的方程为

y?

m2 ? 1 m2 ? 3 ? 4m ? ? ? ?x? 2 ?, 2 m ?1 4m ? m ?1 ?

令 x=0,得 y ? 2, ? EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关. ② S ?AMF ?

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME , 2 2
| ME | | MF |

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,

?

5m m ? ,? m ? 0, 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2

? 整理方程得

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ?1) ? 0 , m ?1 m ? 9
2

又有 m ? ? 3 ,? m ? 3 ? 0 , ? m ? 1 ,? m ? ?1 为所求.
2

2

(2) 因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 直线 l2 : y ? ?

,

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 , k

所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 1? k2


,

所以直线 l1 被圆 x2 ? y 2 ? 4 所截的弦 TR ? 2 4 ? d

2

?

2 3 ? 4k 2 1? k 2

? x ? ky ? k ? 0 ? 由 ? x2 ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 2 ? ? y ?1 ?4
xQ ? x P ? ? 8k 2 k ?4
所以

QP ? (1 ?

1 64k 2 8 k2 ?1 ) ? k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

50

所以 S ?TRQ ?

1 8 4k 2 ? 3 32 QP TR ? ? 2 2 k ?4 4k 2 ? 3 ?

13 4k 2 ? 3

?

32 16 ? 13 2 13 13

当 4k ? 3 ?

2

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 10 时等号成立,直线 l1 : y ? ? x ?1 。 ?k ?? 2 2 2
3 . 2

例 44、已知椭圆 E 中心在原点,一个焦点为 (? 6,0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若 AB 是长为

5 的椭圆 E 的动弦, O 为坐标原点,求 ?AOB 面积的最大值与最小值 2

【解析】(Ⅰ)设椭圆方程:

x2 y 2 c 3 2 2 2 ? 2 ? 1 由条件知 c ? 6, ? ,又 a ? b ? c , 2 a b a 2 x2 y 2 ? ? 1 ………4 分 8 2

解得 a2 ? 8, c2 ? 6, b2 ? 2 所以椭圆方程为

(Ⅱ)当直线 AB 斜率存在时,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB : y ? kx ? b 代入椭圆方程

x2 ? 4 y 2 ? 8 得, (4k 2 ? 1) x2 ? 8kbx ? 4(b2 ? 2) ? 0 ,
? x1 ? x2 ? ? 8kb 4(b 2 ? 2) , x x ? . 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

25 16(1 ? k 2 ) 2 2 2 由 ?| AB | ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? ?? ? [2(4k 2 ? 1) ? b2 ] , 2 2 4 (4k ? 1)
得 b ? 2(4k ? 1) ?
2 2

25(4k 2 ? 1)2 . 64(k 2 ? 1)
|b| k 2 ?1
,…………8 分

又原点 O 到 AB 的距离为

4k 2 ? 1 5 |b | , 所以 S?A O B? ? ,记 u ? 2 k ?1 4 k 2 ?1
625 2 128 625 64 2 4k 2 ? 1 3 (u ? u) ? 4 ? (u ? ) . 因为 u ? 2 ? 4? 2 ? [1, 4) 则S ?? 1024 25 1024 25 k ?1 k ?1
2

所以 S ? [

5 103 5 7 5 103 , 2] ,当直线 AB 斜率不存在时, S ? ?[ , 2] , 32 8 32

51

所以 Smax ? 2 ,此时 u ?

64 39 , 即k ? ? ; 25 6
……?…13 分

Smin ?

5 103 ,此时 u ? 1 ,即 k ? 0. 32

例 45. (2013 年高考四川卷(理) )已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 a 2 b2

4 1 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆 C 经过点 P ( , ) . 3 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

2 1 1 ? ? ,求点 Q 的轨迹方程. 2 2 | AQ | | AM | | AN |2
例 45.解: 所以, a ?

2 , c ? 1 ,离心率 e ?

c 1 2 ? ? a 2 2

x2 ? ?? ? 由 ? ? ? 知椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 . 设点 Q 的坐标为(x,y). 2
(1)当 l 与 x 轴垂直时,直线 l 与椭圆 C 交于 ? 0,1? , ? 0, ?1? 两点,此时 Q ? 0, 2 ? ?

? ?

3 5? ? 5 ? ?

(2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 因为 M , N 在直线 l 上,可设点 M , N 的坐标分别为 ( x1, kx1 ? 2),( x2 , kx2 ? 2) ,则

AM ? (1 ? k 2 ) x12 , AN ? (1 ? k 2 ) x2 2 .


2

2

2 2 2 又 AQ ? x ? ? y ? 2 ? ? (1 ? k ) x . 2 2

2 AQ
2

?

1 AM
2

?

1 AN
2

,得

2 1 1 , ? ? 2 2 2 2 ?1 ? k ? x ?1 ? k ? x1 ?1 ? k 2 ? x22

2 1 1 ? x ? x2 ? ? 2 x1x2 即 2 ? 2? 2 ? 1 …………① x x1 x2 x12 x2 2
2

将 y ? kx ? 2 代入
2

x2 ? y 2 ? 1 中,得 ? 2k 2 ? 1? x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 ………… ② 2

2 由 ? ? ? 8k ? ? 4 ? 2k ? 1 ? 6 ? 0, 得 k ?

?

?

2

3 . 2

由②可知 x1 ? x2 ? ?

8k 6 18 , x1 x2 ? 2 , 代入①中并化简,得 x 2 ? …… ③ 2 2k ? 1 2k ? 1 10k 2 ? 3

52

因为点 Q 在直线 y ? kx ? 2 上,所以 k ?
2 2 得 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 . 由③及 k ? 2

y?2 ,代入③中并化简, x

? 3 3 6 ? ? 6? 2 ,0 ? ?? 0, ,可知 0 ? x ? ,即 x ? ? ? ? ? ? ? ?. 2 2 ? 2 ? ? 2 ?

又 ? 0, 2 ?

? ? ?

? 3 5? 6 6? 2 2 满足 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 ,故 x ? ? ? ? ? 2 , 2 ? ?. 5 ? ? ? ?
2

2 由题意, Q ? x, y ? 在椭圆 C 内部,所以 ?1 ? y ? 1 , 又由 10 ? y ? 2 ? ? 18 ? 3 x 有

? y ? 2?

2

?1 3 5? ?9 9 ? ,2 ? ? ? , ? 且 ?1 ? y ? 1 ,则 y ? ? ?. ? 5 ? ?5 4 ? ?2
2

2 所以点 Q 的轨迹方程是 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 ,其中, x ? ? ?

? ? ?

?1 6 6? 3 5? , , y ?? ,2 ? ? ? ?2 2 2 ? 5 ? ? ?

例 46.(2013 山东数学理)椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心 a 2 b2

率为

3 ,过 F 1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F 1PF 2 的角平分线 PM 交

C 的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设 直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明

1 1 ? 为定值,并求出这个定值. kk1 kk2

例 46.解:(Ⅰ)椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 4

???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? ? PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM ? = ???? ? ???? ? , ???? = ???? ? , 设 P( x0 , y0 ) 其 (Ⅱ)由题意可知 : ???? ???? | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |
中 x0 ? 4 ,将向量坐标代入并化简得:m( 4 x0 ?16) ? 3x0 ?12 x0 ,因为 x0 ? 4 ,
2 2 3 2

所以 m ?

3 3 3 x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? ( ? , ) 4 2 2

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 P 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

x0 x y0 y0 x 1 1 ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 ,而 k1 ? , k2 ? ? ,代入 中得 4 4 y0 kk1 kk2 x? 3 x? 3
53

x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值. kk1 kk2 x0 x0
例 47.(2013 年高考课标Ⅰ卷(文理) )已知圆 M

: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,

动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径 最长是,求 | AB | . 例 47.解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1 ? 1 ;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2 ? 3 . 设知 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (I) 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以

PM ? PN ? ( R ? r 1 ) ? (r 2 ? R) ? r 1 ?r 2 ?4.
有椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左.右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆

x2 y 2 (左定点除外),其方程为 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3
(II)对于曲线 C 上任意一点 P ( x, y ) ,由于 PM ? PN ? 2R ? 2 ? 2 ,所以 R ? 2,当且仅 当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆 P 的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ;
2 2

若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得 AB ? 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°,则 r 1 ? R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则

3k QP R ?1, ? ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4).由 l 于圆 M 相切得 QM r1 1? k 2
2 . 4

解得 k=±

当 k=

x2 y 2 2 2 ? ? 1 ,并整理得 7 x 2 ? 8x ? 8 ? 0 , 时,将 y= x+ 2 代入 4 3 4 4

解得 x1,2 ?

?4 ? 6 2 18 .所以 AB = 1+k 2 x2 ? x1 ? . 7 7

当 k= ?

18 2 18 时,有图形的对称性可知 AB = . 综上, AB =2 3或 AB ? . 7 4 7

54

x2 y 2 3 , 过点 F ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 a b 3 4 3 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3
例 48、 (2013 天津文理)设椭圆 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若
???? ??? ? ???? ??? ? AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.

x2 y 2 + =1 例 48.(1) 3 2

例 49.(2013 年湖北卷(理) )如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且 在 x 轴上, 短轴长分别为 2m , 2n ? m ? n ? , 过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A , B , C , D .记 ? ? 积分别为 S1 和 S2 . (I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

m , ?BDM 和 ?ABN 的面 n

y
A B

M

O

N x

C
D
第 49 题图

55

不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) ,

56

又 S1 ?

S | BD | 1 1 ??. | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? S 2 | AB | 2 2

57

m ?1 ? ?1 ? 例 49.解:(I) S1 ? ? S2 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,? ? ? n m ?1 ? ?1 n
解得: ? ?

2 ? 1 (舍去小于 1 的根)

(II)设椭圆 C1 :

x2 y2 x2 y2 , ? ? 1 a ? m C : ? ? 1 ,直线 l : ky ? x ? ? 2 a 2 m2 a2 n2

? ky ? x a 2 ? m 2k 2 2 am ? 2 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y 2 2 am ? ?1 a 2 ? m 2k 2 ? ? a 2 m2
同理可得, 又? ?BDM 和 ?ABN 的的高相等 ?

S1 BD y B ? y D y B ? y A ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

如果存在非零实数 k 使得 S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? y B ,
2 2 a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? ? 2 ? ? ? 1? ? ? 1? ? 2 即: 2 ,解得 k ? ? 4n 2? 3 a ? ? 2n 2k 2 a 2 ? n 2k 2

? 当 ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,不存在这样的直
线l . x2 y2 例 50,[2014· 湖南卷理] 如图,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分 a b 2 2 x y 别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率为 a b 3 e2.已知 e1e2= ,且|F2F4|= 3-1. 2 (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB, M 为 AB 的中点. 当 直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的 最小值. a2-b2 a2+b2 3 3 例 50.解: (1)因为 e1e2= , 所以 ? = , a a 2 2 3 即 a4-b4= a4,因此 a2=2b2,从而 F2(b,0),F4( 3b,0), 4 于是 3b-b=|F2F4|= 3-1,所以 b=1,a2=2.故 C1,C2 x2 x2 的方程分别为 +y2=1, -y2=1. 2 2 (2)因 AB 不垂直于 y 轴,且过点 F1(-1,0), x=my-1, ? ? 2 故可设直线 AB 的方程为 x=my-1,由?x 2 ? ? 2 + y =1 得(m2+2)y2-2my-1=0. D 1 = 8(m +1) > 0 .
58
2

-1 2m ,y1y2= 2 . 2 m +2 m +2 -4 m ? ? -2 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2= 2 ,于是 AB 的中点为 M? 2 , 2 ?, m +2 ?m +2 m +2? m m 故直线 PQ 的斜率为- ,PQ 的方程为 y=- x,即 mx+2y=0.【这里也可以用点差法】 2 2 m y=- x, 2 ì 2 ? 2- m ? 0 2 2 由 2 得(2-m )x -4=0,所以 í ,故 0 ? m2<2, 2 x 2 ? ? D 2 = 16(2 - m ) > 0 -y =1 2 m2+4 m2 4 2 2 2 2 且x= ,y = ,从而|PQ|=2 x +y =2 .【这里也可以使用弦长公式】 2-m2 2-m2 2-m2 设点 A 到直线 PQ 的距离为 d,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d, |mx1+2y1|+|mx2+2y2| 所以 2d= , 【处理方法一】由于点 A,B 在直线 mx+2y=0 的异侧, m2+4 所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|, (m2+2)|y1-y2| 【这种方法在学习线性规划以及抛物线时用过】从而 2d= . m2+4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=

? ? ?

2 2? 1+m2 2 2· 1+m2 ,所以 2 d = . m2+2 m2+4 【处理方法二】 【没有发现点 A 到直线 PQ 的距离和点 B 到直线 PQ 的距离相等】 又因为|y1-y2|=

d A + dB =

| mx1 + 2 y1 | | mx2 + 2 y2 | | (m2 + 2) y1 - m | | (m2 + 2) y2 - m | + = + m2 + 4 m2 + 4 m2 + 4 m2 + 4

| - 2(m 2 +1) | | 2( m 2 +1) | | 2( m 2 +1) | 2 2· 1+m2 = + = 2? = m2+4 m2 + 4 m2 + 4 m2 + 4
(此处与标准答案方法不同,本人认为更自然:强解) 2 2? 1+m2 1 故四边形 APBQ 的面积 S= |PQ|?2d= =2 2? 2 2-m2 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2. 【这里也可以令 t = 2 - m ? (0, 2] 】
2

-1+

3 . 2-m2

59

弦长公式(每周 2 题)
1. 直线方程的处理:若直线方程未给出,应先假设。 (1)若已知直线过点 ( x0 , y0 ) ,则假设方程为 y - y0 = k ( x - x0 ) ; (2)若已知直线的斜率 k ,则假设方程为 y = kx + m ; (3)若仅仅知道是直线,则假设方程为 y = kx + m 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论; (4)若已知直线恒过 x 轴上一点 (t , 0) ,且水平线不满足条件(斜率为 0) ,可以假设 直线为 x = my + t 。 【反斜截式, m = 2.弦长公式:若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆

1 】不含垂直于 y 轴的情况(水平线) k

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 P, Q 两点,求弦长 a 2 b2

| PQ | 的步骤: 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,联立方程组(将直线方程代入椭圆方程) :

? y ? kx ? m, 2 消去 y 整理成关于 x 的一元二次方程: Ax ? Bx ? C ? 0 , ? 2 2 2 2 2 2 b x ? a y ? a b , ?
则 x1 , x2 是上式的两个根, ? ? B ? 4 AC ? 0 ;由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?
2

B C , x1 x2 ? , A A

又 P, Q 两点在直线 l 上,故 y1 ? kx1 ? m, y2 ? kx2 ? m ,则 y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 ) ,从而

| PQ |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( x2 ? x1 )2 ? k 2 ( x2 ? x1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2
? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?

? ( 1? k 2 ) 2 A

60

【注意:如果联立方程组消去 x 整理成关于 y 的一元二次方程: Ay 2 + By + C = 0 ,则

| PQ |? (1 ?

1 1 ? 反斜截式 揪 揪 揪 井 )( y2 ? y1 )2 ? (1 ? 2 ) 2 揪 2 k k A

(1 + m2 )

D 】 A2

3、其他常见问题处理 (1) 等腰 (使用垂直平分) ,平行四边形 (使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合) (2)直径(圆周角为直角,向量垂直或斜率乘积等于 - 1 ) ,其次考虑是否需要求圆的方程。 (3) 锐角和钝角使用数量积正负求解; 涉及到其它角的问题使用正切值, 转化为斜率求解; (4)三角形内切圆的半径与三角形面积的关系: SD = rp, (这里p =

a +b +c ); 2

(5)圆的弦长用垂径定理; (6)涉及到焦点要联想到定义; (7)长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比,利用韦达定理。

椭圆解答题选编
例 1. (2007 山东卷)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦

点所组成的四边形为正方形,两准线(注:左右准线方程为 x = ?

a2 )间的距离为 4 c

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点, 当Δ AOB 面积取得最大值时,求直线 l 的方程. 例 2: 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 ,F2 . 过 F1 的直线交椭圆于 B,D 两点, 3 2

过 F2 的直线交椭圆于 A,C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P . (Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x0,y0 ) ,证明: (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值. x2 y2 例 3、[2014· 陕西文] 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3), a b 1 离心率为 ,左、右焦点分别为 F1,F2. 2 1 (1)求椭圆的方程;(2)若斜率为- 的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点, 2 |AB| 5 3 与以 F1F2 为直径的圆交于 C,D 两点,且满足 = ,求直线 l 的方程. |CD| 4 x2 y2 3 例 4、(2014 全国 I 卷理)已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是 a b 2 椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 2 3 ,O 为坐标原点. 3
2 x0 y2 ? 0 ?1; 3 2

(1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

61

例 5、 (2007 浙江文)如图,直线 y=kx+b 与椭圆 的面积为 S. (I)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (Ⅱ)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程. 例 6、 (2007 陕西文)已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1交于 A、B 两点,记△AOB 4

x2 y2 6 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右 2 3 a b
(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两

焦点的距离为 3 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求△AOB 面积的最大值. 2

例 7、 【2015 江苏文理】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

的离心率为

2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分 别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程. 例 8、 【2015 浙江理】椭圆

x2 1 ? y 2 ? 1 上两个不同的点 A , B 关于直线 y ? mx ? 对称. 2 2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) .

x2 y 2 例 9、 【2015 山东,理 20】平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 a b
离心率为

3 ,左、右焦点分别是 F1 , F2 ,以 F 1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 2

为半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 (Ⅱ)设椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 , P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭 4a 4b
圆 E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q .

62

( i )求

OQ OP

的值;

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值.

例 10、 (2011 天津理)已知椭圆 个顶点得到的菱形的面积为 4 . (Ⅰ)求椭圆方程;

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 的离心率 e ? .连接椭圆的四 2 a b 2

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B .已知点 A 的坐标为 ? ?a,0 ? . (ⅰ) 若 AB ?

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5

(ⅱ)点 Q ? 0, y0 ? 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 .求 y0 的值. 例 11、 (2007 山东理)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦 点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

uur uu u r

y2 例 12、 (2005 全国卷 II)已知 P 、 Q 、 M 、 N 四点都在椭圆 x2 ? ? 1 上, 2 ??? ? ??? ???? ? ???? ? F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 PF 与 FQ 共线, MF 与 FN 共线, ??? ? ???? ? 且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.

x2 y2 例 13、 (2013 年浙江理) 点 P(0,?1) 是椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 a b
一个顶点, C1 的长轴是圆 C2 : x ? y ? 4 的直径. l1 , l2 是过点 P 且互相
2 2

垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D . (1)求椭圆 C1 的方程;(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

例 14、已知椭圆的焦点坐标为 F1 (-1,0), F2 (1,0),过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q

两点,且|PQ|=3. (1) 求椭圆的方程; (2) 过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1 MN 的内切圆 的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线;若不存在,请说明理由.
63

x2 y2 6 例 15、[2014· 四川文] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-2,0),离心率为 . a b 3 (1)求椭圆 C 的标准方程;(2)设 O 为坐标原点,T 为直线 x=-3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P,Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积. x2 y2 例 16、[2014· 四川卷] 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴 a b 的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点, 过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); ②当 |TF| 最小时,求点 T 的坐标. |PQ|

例 17、 (2011 北京理)已知椭圆 G: 交椭圆 G 于 A,B 两点。

x2 ? y 2 ? 1 ,过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 4

(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值。

x2 例 18、 (2013 年湖南(文) )已知 F1 , F2 分别是椭圆 E : ? y 2 ? 1 的左、右焦点 F1 , F2 关 5
于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点. (Ⅰ)求圆 C 的方程;(Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b . 当 ab 最大时,求直线 l 的方程.

例 19、 【2016 高考新课标 1 卷】设圆 x ? y ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)
2 2

且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

例 20.某公园的大型中心花园的边界为椭圆,花园内种植各种花草,为增强观赏性,在 椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草(如图), 并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度),某园林公司承接了该中心花园 的施工建设, 在施工时发现, 椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为 4(单位: 百米), 且椭圆上点到焦点的最近距离为 1(单位:百米). (1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系, 求出该椭圆的标准方程;
64

(2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值.

例 21、 (2013 全国 II 卷理)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右 a 2 b2

焦点 F 作直 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

1 . 2

(Ⅰ)求 M 的方程;(Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB ,求四 边形 ABCD 面积的最大值.

例 22、 【2015 高考湖北,文 22】一种画椭圆的工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短 杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑 动,且 DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 ..N 绕 O 转动, M 处的笔尖画出的椭圆记为 C.以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面 直角坐标系. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点. 若直线 l 总 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 试探究:?OPQ 的面积是否存在最小值?若存在, 求出该最小值;若不存在,说明理由.

y

N A D O B

N D O x

M
第 22 题图 1

M
第 22 题图 2

例 23、 【2015 湖南,文 20】已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

(a ? b ? 0) 的一个焦点,C1 与 C2 的公共弦长为 2 6 ,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两
点,与 C2 相交于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向. (I)求 C2 的方程; (II)若 AC ? BD ,求直线 l 的斜率.

??? ?

??? ?

65

例 24、 【2015 山东文】平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的离 a 2 b2

心率为

1 3 ,且点( 3 , )在椭圆 C 上. 2 2
x2 y2 + = 1 , P 为椭圆 C 上任意一点,过点 4a 2 4b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E :

P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q .
(i)求

|OQ | 的值;(ii)求 ?ABQ 面积的最大值. |OP |
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的 a 2 b2
1 c. 2
2

例 25、 【2015 陕西,理 20】已知椭圆 ? :

半焦距为 c ,原点 ? 到经过两点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线的距离为
2

(I)求椭圆 ? 的离心率; (II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 椭圆 ? 经过 ? , ? 两点,求椭圆 ? 的方程.

5 的一条直径,若 2

例 26、 【2015 高考湖南,理 20】已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点 F (0,1)也是椭圆

C2 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 . a 2 b2

(1)求 C2 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C1 交于 A , B 两点,与 C2 相交于 C ,D 两点,且 AC 与 BD 同向.

????

??? ?

[来 ..

(ⅰ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率; (ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M , 证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是钝角三角形。

例 27、 【2015 上海文理】已知椭圆 x ? 2 y ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于
2 2

? 、 ? 和 C 、 D ,记得到的平行四边形 ?? CD 的面积为 S .
( 1 )设 ? ? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,用 ? 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明

1 (2)设 l1 与 l2 的斜率之积为 ? ,求面积 S 的值. S ? 2 x1 y1 ? x2 y1 ; 2

66

x2 y 2 3 例 28、 【2016 山东理】 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a>b>0 ? 离心率是 , a b 2
抛物线 E: x ? 2 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点.
2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限,E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A, B,线段 AB 的中点为 D,直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. (i)求证:点 M 在定直线上; (ii)直线 l 与 y 轴交于点 G,记 △PFG 的面积为 S1 , △PDM 的面积为 S2 ,求 大值及取得最大值时点 P 的坐标. 例 29、 【2016 年高考四川理数】已知椭圆 E:

S1 的最 S2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点与短轴的 a 2 b2

一个端点是直角三角形的三个顶点,直线 l : y ? ? x ? 3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (Ⅱ)设 O 是坐标原点,直线 l’平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B,且与直线 l 交于点 P.证明:存在常数 ? ,使得 PT
2

? ? PA ? PB ,并求 ? 的值.

例 30、 (2016 天津理)设椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 3 )的右焦点为 F ,右顶点为 A , a2 3

已知

1 1 3e ,其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率. ? ? | OF | | OA | | FA |

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B ( B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交于点 M , 与 y 轴交于点 H ,若 BF ? HF ,且 ?MOA ? ?MAO ,求直线的 l 斜率的取值范围.

例 31、 【2016 高考山东文数】已知椭圆 C: (I)求椭圆 C 的方程;

(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2

.

(Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N,交 C 于点 A, P(P 在第一象限), 且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂

67

线交 C 于另一点 Q,延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k',证明 (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 例 32、 【2016 高考四川文科】已知椭圆 E:

k? 为定值. k

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点与短轴的两 a 2 b2

个端点是正三角形的三个顶点,点 P( 3, ) 在椭圆 E 上. 1 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;(Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A, 2 B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明: MA ? MB ? MC ? MD .

1 2

例 33、 (2011 湖南理 21)如图,椭圆 C1 :
2

x2 y 2 3 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

x 轴被曲线 C2 : y ? x ? b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长。 (Ⅰ)求 C1 , C2 的方程; (Ⅱ)设 C2 与 y 轴的焦点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相 交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D, E. (i)证明:MD⊥ME; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S2 . 问:是否存在直线 l,使得

S1 17 ? ?请说明理由。 S2 32

例 34、 (2011 山东理 22) 已知动直线 l 与椭圆 C:

x2 y 2 Q ? x2 , y2 ? 两 ? ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? 、 3 2

不同点,且△OPQ 的面积 S?OPQ =
2 2 2 2

6 ,其中 O 为坐标原点. 2

(Ⅰ)证明 x1 ? x2 和 y1 ? y2 均为定值; (Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 | OM | ? | PQ | 的最大值; (Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 若存在,判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由. 例 35、(2011 四川)椭圆两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点

6 ? 2

68

F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P, 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. 3 (Ⅰ)当 | CD |? 2 时,求直线 l 的方程; 2 ??? ? ???? (Ⅱ)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: OP ? OQ 为定值. 例 36、 (2010 安徽理数)已知椭圆 E 经过点 A? 2,3? ,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴 上,离心率 e ?

1 。 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;(Ⅱ)求 ?F 1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。 例 37、(2009 山东卷文)设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (mx, y ? 1) , 向量 b ? ( x, y ?1) , a ? b ,动点 M ( x, y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2) 已知 m ?
21 世纪教 育网

?

?

?

?

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 点 A,B,且 | OA + OB |=| OA - OB | (O 为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知 m ?

1 2 2 2 ,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共 4

点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

x2 y 2 例 38、(2009 山东卷理)设椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)经过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两 a b
点,O 为坐标原点, (I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。 例 39、 (2008 福建卷 21)如图、椭圆

??? ?

??? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 F(1,0) , a 2 b2

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动,值有 OA ? OB ? AB ,求 a 的取值范围。
2 2 2

例 40、(2008 天津理)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分 a 2 b2
69

别为 F ,F2,A 是椭圆上的一点, AF2 ? F1F2 ,原点 O 到直线 AF1 的距离为 1 (Ⅰ)证明 a ?

1 OF1 . 3

(Ⅱ)设 Q1,Q2 为椭圆上的两个动点, OQ1 ? OQ2 ,过原点 O 作直 2b ;

线 Q1Q2 的垂线 OD ,垂足为 D ,求点 D 的轨迹方程.

例 41、 (2007 四川文)设 F1、F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点. 4
5 ,求点 P 的作标; 4

(Ⅰ)若 r 是第一象限内该数轴上的一点, PF1 ?PF2 ? ? 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 例 42、 (2011 全国 I 卷) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

???? ???? ?

(Ⅱ)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B,且∠ADB 为锐角(其中 O

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 过 F1 a 2 b2

斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (1)求 E 的离心率; (2) 设点 p (0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程

x2 ? y 2 ? 1.(1) 椭圆 ? 的短轴端点分别为 A , B ,直线 AM , BM 例 43、已知椭圆 ? : 4
分别与椭圆 ? 交于 E , F 两点,其中点 M ? m ,

? ?

1? ? 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2?

①证明直线 E F 与 y 轴交点的位置与 m 无关; ②若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍,求 m 的值; (3)若圆 ? : x ? y ? 4 . l1 , l 2 是过点 P(0,?1) 的两条互相垂直的直线,其中 l1 交圆 ?
2 2

于 T 、 R 两点, l 2 交椭圆 ? 于另一点 Q .求 ?TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程. 例 44、已知椭圆 E 中心在原点,一个焦点为 (? 6,0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

3 . 2

5 的椭圆 E 的动弦, O 为坐标原点,求 ?AOB 面积的最大值与最小值 2 x2 y 2 例 45. (2013 年高考四川卷(理) )已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 a b 4 1 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆 C 经过点 P ( , ) . 3 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,
(Ⅱ)若 AB 是长为
70

点 Q 是线段 MN 上的点,且

2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程. ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2 x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心 a 2 b2

例 46.(2013 山东数学理)椭圆 C :

率为

3 ,过 F 1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F 1PF 2 的角平分线 PM 交

C 的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设 直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明
例 47.(2013 年高考课标Ⅰ卷(文理) )已知圆 M

1 1 ? 为定值,并求出这个定值. kk1 kk2

: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,

动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径 最长是,求 | AB | .

x2 y 2 3 , 过点 F ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 a 2 b2 3 4 3 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3
例 48.(2013 天津文理)设椭圆 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆
???? ??? ? ???? ??? ? DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值. 交于 C, D 两点. 若 AC·

例 49.(2013 年湖北卷(理) )如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且 在 x 轴上, 短轴长分别为 2m , 2n ? m ? n ? , 过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A , B , C , D .记 ? ? 积分别为 S1 和 S2 . (I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II) 当 ? 变化时, 是否存在与坐标轴不重合的直线 l , 使

m , ?BDM 和 ?ABN 的面 n

71

得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

x2 y2 例 50、[2014· 湖南卷理] 如图,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点 a b x2 y2 分别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率 a b 3 为 e2.已知 e1e2= ,且|F2F4|= 3-1. 2 (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB, M 为 AB 的中点. 当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边形 APBQ 面 积的最小值.

72


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