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椭圆及其标准方程教学设计


《椭圆及其标准方程》教学设计
庞晓娟 河北省肥乡县第一中学

一、概述
1. 《椭圆及其标准方程》 是高中数学选修 1-1(人教版)2.1.1 中的内容,分三课时完成. 第 一课时讲解椭圆的定义及其标准方程;第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题,巩固求 曲线方程的两种基本方法,即待定系数法、定义法;第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹

方 程的基本思路。 本节是第一课时. 2.本节内容是继学生学习了直线和圆的方程,对曲线的方程的概念有了一定了解,对用坐 标法研究几何问题有了初步认识的基础上,进一步学习用坐标法研究曲线。 椭圆的学习可以为 后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用,是本章和本 节的重点内容之一。 3.运用多媒体形象地给出椭圆,通过让学生自已动手作图, “定性”地画出椭圆,再通过坐 标法“定量”地描述椭圆,使之从感性到理性抽象概括,形式概念,推出方程。

二、教学目标
1. 知识与技能目标: 掌握椭圆的定义和标准方程;明确焦点、焦距的概念;理解椭圆标准方程的推导。 2. 过程与方法目标: 通过让学生积极参与、 亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程; 体验坐标法在处理几何问 题中的优越性,从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想,提高运用坐标法解决几何 问题的能力及运算能力。 3. 情感态度与价值观目标: 通过主动探究、合作学习,相互交流,感受探索的乐趣与成功的喜悦,养成实事求是的科学 态度和契而不舍的钻研精神。 培养学生自主学习的能力。以查找“神舟 7 号”有关材料,激发学生学习数学的兴趣,增强 学生的数学应用意识、创新意识,扩展学生的数学视野,并让学生受到爱国主义思想的教育。

三、教学重点、难点
1.教学重点:椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程. 2.教学难点:椭圆标准方程的建立和推导.

四、学习者特征分析
1.在此之前,学生已学过坐标法解决几何问题,学过圆的定义与标准方程,但掌握不够, 2.从研究圆到研究椭圆,跨度较大,学生思维上存在障碍. 3.在求椭圆标准方程时,会遇到比较复杂的根式化简问题,而这些在目前初中代数中都没 有详细介绍,初中代数不能完全满足学习本节的需要。 4.该班学生是高二文科生,数学基础整体较差。 5.经过近一学期的引导、鼓励,学生学习数学的积极性较高。

五、教学策略选择与设计
1、教法设计:引导发现法、 探索讨论法,在课堂教学中坚持以教师为主导,学生为主体, 思维训练为主线,能力培养为主攻的原则。 2、学法设计:自主探究,合作交流 要求学生动手实验,自主探究,合作交流,抽象出椭圆定义,并用坐标法探究椭圆的标准方
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程,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。 3、教学手段:多媒体辅助教学. 通过动态演示,有利于引起学生的学习兴趣,激发学生的学习热情,增大知识信息的容量, 使内容充实、形象、直观,提高教学效率和教学质量.

六、教学资源与工具设计
1.多媒体教室 2.每个学生准备一段细线、两枚大头针或图钉 3.上网搜索有关神舟系列火箭运行轨迹图

七、教学流程设计:
情景引入 5 分钟------实验探索定义形成 5 分钟-----方程推导 5 分钟-----实际应用 15 分钟----课堂训 练 7 分钟---课堂小结 2 分钟-------作业布置 1 分钟

八、教学过程
(一) 创设情景,提出课题 问题一:2008 年 9 月 28 日上午 9 时, “神州七号”载人飞船顺利升空,实现多人航天天 飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问: “神州七号”飞船的运行轨道是什么?多 媒体展示“神州六七号”运行轨道图片和视频. 请学生列举生活中椭圆的例子. 设计意图:引起学生的学习兴趣,激发学生的学习热情 (二) 实验探索,建构新知 手工操作演示椭圆的形成:取一条定长的细绳,把它的两端固定在 画图板上的 F1 , F2 两点,当绳长大于两点间的距离时,用铅笔把绳子拉 近,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆 问题二:假设与两定点的距离之和为 d。 1、当 d=2c 时,轨迹是什么? 2、当 d<2c 时,轨迹又是什么?
王新敞
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结论:当 d>|F1F2|时,是椭圆; 当 d=|F1F2|时,是线段; 当 d<|F1F2|轨迹不存在. 小组合作讨论,形成椭圆定义: 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | )的 点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距 在归纳定义时,再次强调定义要满足三个条件:①平面内(这是大前提) ;②任意一点到两 个定点的距离的和等于常数;③常数大于 |F1 F2 |. 设计意图:让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程,有利于培养学生观察分析、抽象概 括的能力. (三) 师生互动,导出方程 给出椭圆的定义后, 教师即可指出: 由椭圆定义, 知道了它的基本几何特征, 这只是一种 “定 性”的描述,但是对于这种曲线还具有哪些性质,尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方 法,我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述,然后通过对椭圆的方程的讨论,来 研究其几何性质. 问题三 1. 求曲线方程的一般步骤是什么? 2. 建立坐标系的一般原则有哪些?
2

学生围绕以上问题思考,讨论可得:求曲线方程的一般步骤——建系、设点、写出点集、列 出方程、化简方程、证明(可省略). 建系的一般原则为:使已知点的坐标和曲线的方程尽可能 简单,即原点取在定点或定线段的中点,坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上,充分利用图形 的对称性. y 通过前面知识的回忆,学生思考、相互交流,很容易选定下列建立坐标 系的方案. 1. 建系:以两定点 F1 、F2 的 O F1 F2 连线为 x 轴,以线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立坐标系, 2. 设点: 设 M ( x , y ) 为椭圆上任意一点,| F1 F2 | = 2 c (c>0) ,则有 F1 (-c, 0) 、F2 (c ,0). 又设 M 与 F1 和 F2 的距离的和等于常数 2 a ( a > 0 ) .
2 2 2 2 3、列出方程 ( x ? c) ? y ? (x ? c) ? y ? 2a

P

x

到此为止,学生以为椭圆的方程已求出,此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭 圆的其他性质需要尽量简化方程形式,使数量关系更加明朗化. 4. 化简方程:学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难,采用以下方法突破难 点:首先让学生明确,含根号的等式化简的目的就是要去掉根号,变无理式为有理式;启发学生, 化简含两个根式之和的等式,只要将两个根式分别放在等号两边,其中一边只含一个根式,平方 一次后即可转化为只含一个根式的化简问题. 2 2 2 2 2 2 2 2 教师引导学生化简,得到 (a - c ) x + a y = a (a - c ) . 指出:此方 程形式还不够简捷,还有变形的必要再简化。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 先简化 a -c ,∵a>c,∴a -c >0,令 a -c =b ,则方程化为 b x +a y =a b ,联想到直线截距式 方程,两边同除以 a b 得,
2 2

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) a2 b2

指出: 方程

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) 叫做椭圆的标准方程, 此时, 椭圆的焦点在 x 轴上, F1(-c,0) a2 b2
2 2 2

F2(c,0),这里,c =a -b 注意:若坐标系的选取不同,可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在 y 轴上(选取方式不同,调换 x, y 轴)焦点则变
王新敞
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y
P F2 O F1

x2 y2 成 F1 (0,?c), F2 (0, c) ,只要将方程 2 ? 2 ? 1 中的 x, y 调换, 即可得 a b y2 x2 ? ? 1 ,也是椭圆的标准方程 a2 b2

x

王新敞
奎屯

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理解:所谓椭圆标准方程,一定指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点为坐标原点;在

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1 这 两 个 标 准 方 程 中 , 都 有 a ? b ? 0 的 要 求 , 如 方 程 与 a2 b2 a2 b2
x2 y2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 就不能肯定焦点在哪个轴上;分清两种形式的标准方程,可与 m n

3

x y x2 y2 直线截距式 ? ? 1 类比,如 2 ? 2 ? 1 中,由于 a ? b ,所以在 x 轴上的“截距”更大,因 a b a b
而焦点在 x 轴上(即看 x 2 , y 2 分母的大小)
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为了加深对椭圆的两种标准方程的理解, 比较椭圆的两种标准方程,填表. (学生讨论回 答,教师板书) 标准方程 不 同 点

图形

焦点坐标 共 同 点 定义 a、b、c 的关系 焦点位置的判定

设计意图: 让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程, 使学生真正了解椭圆标准方程的来源, 并在这种师生尝试探究、 合作讨论的活动中, 使学生体会成功的快乐, 提高学生的数学探究能力, 培养学生独立主动获取知识的能力. (四) 初步运用,强化理解 例 1 判断下列各椭圆的焦点位置,并说出焦点坐标、焦距。

(1)

x2 y2 ? ?1 3 4

(2)

x2 y2 ? ?1 4 2

例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 两个焦点的坐标分别是 (?4,0), (4,0) ,椭圆上一点 P 到两焦点距离和等于 10. 变题一:若将例 2 焦点改为(0,-4)、(0,4) 结果如何? 变题二:将例 2 改为两个焦点的距离为 8,椭圆上一点 P 到两焦点的距离和等于 10,结果会 怎样? 例 3.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 ( ,? ) , 求它的标准方程. 设计意图:让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题,同时也是为了更好地调动、活跃学生 的思维,发展学生数学思维能力 (五) 自我评价,反馈调节 1.椭圆

5 2

3 2

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 64 9


2.动点 P 到定点 F1(-5,0) ,F2(5,0)的距离的和是 10,则动点 P 的轨迹为( (A)椭圆 (B) 线段 F1F2 (C) 直线 F1F2 (D)不能确定
4

2 2 3.简化方程: x ? ( y ? 3) ?

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10

(学生分组比赛,每组抽 2 位同学的作业用幻灯演示,教师订正。 ) 设计意图:让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题,同时也是为了更好地调动、活跃学生 的思维,发展学生数学思维能力 (六) 知识整理,形成系统(由学生归纳,教师完善) 1. 椭圆的定义(注意定义中的三个条件) 2. 椭圆的标准方程(注意焦点的位置与方程形式的关系) 3. 求椭圆标准方程的方法 (七)布置作业,巩固提高(学有余力的学生全做,其余学生不做探究题) 作业:教科书 P39 第 2 大题 探究题: 方程 Ax2 ? By 2 ? 1什么时候表示椭圆?什么时候表示焦点在 x 轴上的椭圆?什么 时候表示焦点在 y 轴上的椭圆?

板书设计
课 题
1、椭圆的定义 椭圆标准方程的推导过程书写 例 1: (写要点) 例 2: 2、有关概念 (1)详写 (2)写关键步骤 3、标准方程 (1 ) 、焦点在 x 轴上 (2 ) 、焦点在 例 3:写关键步骤

y 轴上

课后反思
本节课围绕“层层设问 自主探索 发现规律 归纳总结”这一主线展开, 对教材内容进行优化组合,在教学过程中,学生通过观看图片,动手实践,自己总结出椭圆定义, 符合从感性上升为理性的认知规律,而且提升了抽象概括的能力. 同时在进行推导椭圆的标准方 程的过程中, 提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 在整节课中, 教师作为引导者, 利用“神舟 7 号”围绕地球运行轨迹的演示,激发学生学习数学的兴趣,鼓励学生大胆探索 , 勇于创新,提高学生参与数学活动的兴趣和积极性,同时设置了不同层次的知识面,以适应不同 学生的认知过程.增强了学生的自信心,基本体现了新课标中让学生自主学习的教学理念.

附 1:教学过程流程图
开始

附 2:课件结构图
创建情景提出课题
5

创设情景, 提 出课题

自主探究形成概念

附件 3:教学评价内容设计
1、评价内容:课堂表现评价、学习效果评价 2.评价方式: 课堂表现评价采用教师依据学生学习态度、 积极参与、 认真听课、 完成课堂练习等进行定性评价, 分优秀、良好、合格、有待提高四个等级,比例为 2:3:4:1 学习效果评价采用课堂学习效果评价+作业方式评价,内容有课堂练习、课后作业(定量,根据 完成情况及正确程度评分,满分 10 分)课后探究(定性)等

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