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球的体积和表面积


球的体积和表面积
一、知识要点: 1.半径为 R 的球的表面积为 S ? 4 ? R ;体积为 V ?
2

4 3

?R .
3

2.球的截面一定是圆,球的大圆是指经过球心的截面圆,球面距离是指球面上的两点在大 圆上的劣弧的长度. 二、例题分析: 1.一种空心钢球的质量为 142 g

, 外径为 5cm , 求它的内径大小.(钢的密度为 7 . 9 g / cm 3 ) 2.一个有底的半球的表面积为 27 ? ,求这个半球的半径.( R ? 3 ) 3.已知个倒置的正四棱锥形容器,它的底面边长与侧面的斜高都是 6 cm ,将容器盛满水,再 放入一个实心球,这时水面恰好与球上表面相切,问将球取出后四棱锥中水的体积是多少?
? ? ( 3 ) ? ( 36 3 ? 4 3? ) cm ) 3 4.圆台有一个半径为 R 的内切球,已知圆台的母线长为 l ,求圆台的表面积.

(V 水 ?

1

?6 ?3 3 ?
2

4

3

3

3

/ 解:设圆台的上、下底面半径分别为 r , r ,则有 l ? r ? r ,
/

S 台侧 ? ? ( r ? r ) l ? ? l ,又 ( r ? r ) ? ( r ? r ) ? ( 2 R ) ,? rr
/ 2
/ 2 / 2 2

/

? R .
2
2 2 2 2 2

S 底 ? ? (r

2

?r

/2

) ? [( r ? r ) ? 2 rr ] ? ? ( l ? 2 R ), ? S 表 ? ? l ? ? ( l ? 2 R ) ? 2 ? ( l ? R ).
/ 2 / 2 2

三、练习: 1.若两个球的半径之比是 1:2,则它们的表面积之比是 ,体积之比是 2.若球的半径为 5,球心到它的一个截面的距离是 3,则球的截面面积为 3.一个棱长为 2 的正方体内接于球,则该球的表面积为 . 12 ? 4.将一个球的半径变为原来的 2 倍,则球的体积变为原来的 倍. 8 5.若球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径为 . 3 6.球的表面积扩大为原来的 2 倍,则它的体积扩大为原来的 倍. 2 2

.1:4,1:8 . 16 ?

7. 一个半球的全面积为 Q , 一个圆柱与此半球等底等体积, 则这个圆柱的全面积是
32 ? 3

. Q
9

10

8.已知正方体外接球的体积是

, 则正方体的棱长是



4 3 3

9.已知三个球的体积之比为 1:2:3,则它们的表面积之比为( B ) A.1:2:3 B.1: 3 4 : 3 9 C.1: 2 2 : 3 3 D.1: 3 2 : 3 3 D)

10.若用与球心距离为 1 的平面去截球所得截面面积为 ? , 则球的体积为( A.
32 ? 3

B. ?
3

8

C. 8 2?

D.

8 2? 3

11. 把一个半径为 R 的实心铁球熔化铸成两个小球 (不计损耗) 两个小球的半径之比为 1:2, ,

则其中较小球的半径为 A.
1 3
3


3

B)
3 3 R

R

B.

3 3

R

C.

25 5

R

D.

12.设 A , B , C , D 是球面上的四点,且在同一平面内, AB ? BC ? CD ? DA ? 3 , 球心到平 面的距离是球的半径的一半,则该球的体积为( A A. 8 6 ? B. 64 6 ? C. 24 2? )

D. 72 2? C)

13.木星的体积约为地球体积的 240 A.60 倍

30 倍,则它的表面积约是地球表面积的(

B. 60 30 倍 C. 120 倍

D. 120

30 倍

14.有一个倒放着的轴截面为正 ? 的圆锥形容器,内盛有高为 h 的水,放入一个铁球后,水 面恰好与球面相切,求球的半径. 解:设球半径为 r , 放球以后水的高度为 H,则 H ? r ?
r sin 30
0

? 3r.
3 3

因球的体积等于两个有水部分的圆锥的体积之差,且两个水面的半径等于相应高的

,

所以有 ? r ?
3

4 3

1 3

?(

3 3

? 3r ) ? 3r ?
2

1 3

?(

3 3

h ) h , 解得 r ?
2

3

1 15

h.

15.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与此正方体的各条棱都相切,第三个球过 此正方体各顶点,求这三个球的表面积之比. 1:2:3
? 16. 如图, 在四边形 ABCD 中, DAB ? 90 , ? ADC ? 135 , AB ? 5 , CD ? 2 2 , AD ? 2 ,
0 0

求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积. C D A B

解:旋转所得几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的几何体, 圆台上底半径 r ? 2 , 圆锥的高 h ? 2 , 圆台母线长 l ?
2

(5 ? 2 ) ? ( 2 ? 2 )
2

2

? 5.

则 S 表 ? ? ( 5 ? 2 ) ? 5 ? ? ? 5 ? ? ? 2 ? 2 2 ? ( 60 ? 4 2 )? ;
V ? 1 3

? (2 ? 5 ? 2 ? 5) ? 4 ?
2 2

1 3

? ?2 ?2?
2

148 3

?.


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