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高一奥赛第一课《运动学(一)》By胡迅


运动学(一)Kinematics(一)
广东省龙川县第一中学 胡迅 本节课内容:参考系、相对运动的计算;匀变速直线运动&抛体运动;运动的合成与分解& 微元法求速度 一、相对运动 物体的运动是相对于参照系而言的,同一物体的运动相对于不同的参照系其运动情况不相 同,这就是运动的相对性。 我们通常,把物体相对于地面的速度称为“绝对速度” 。 把运动参照系相对于

地面的速度称为“牵连速度” 。 而物体相对于运动参照系的速度称为“相对速度” 。 显然绝对速度和相对速度一般是不相等的,它们之间的关系是: 绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。

? ? ? ? ? ? v绝 ? v相 ? v牵 或 v甲对地 ? v甲对乙 ? v乙对地

Tips:两个加速度相同的运动,其中一个运动相对于另一个一定是匀速直线运动! ! 有些题目,直接以地面为参考系计算很复杂,一旦转用其它参考系题目将迎刃而解。 二、抛体运动 物体以一定的初速度抛出,若忽略空气阻力,其加速度恒为竖直向下的重力加速度。因 此,抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。 根据运动的叠加原理, 抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。 常用的处理方法是: 将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。 如图。取抛物轨迹所在平面为平面,抛出点为坐标原点,水平方向为 x 轴,竖直方向为 y 轴。则抛体运动的规律为:

?a x ? 0 ?v x ? v0 cos? ? ? v ? v0 sin ? ?a y ? ? g ? y

? x ? v0 cos ?t ? ? 1 y ? v 0 sin ?t ? gt 2 ? ? 2

这是开口向下的抛物线方程。 在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下,飞行时间 T,射程 R 和射高 H 分别为

T?

2v0 sin ? g

R?

2 v0 sin 2? g

H?

2 v0 sin 2 ? 2g

抛体运动具有对称性, 上升时间和下降时间 (抛出点与落地点在同一水平面上) 相等 (一 般地,从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等) ;上升和下降时经 过同一高度时速度大小相等,速度方向与水平方向的夹角大小相等。 三、题目集 一、某人骑自行车以 10m/s 的速度在大风中向东行驶,他感到风正以相当于车的速度从正北 方吹来,实际上风速是( ) A.14m/s,风速方向为南偏西 45 度 B.14m/s,风速方向为东偏南 45 度 C.10m/s,风速方向为正北 D.10m/s,风速方向为正南

二、A、B 两车沿同一直线同向行驶。A 车在前,以速度 v1 做匀速直线运动;B 车在后,先 以速度 v 2 做匀速直线运动( v2 ? v1 )。当两车相距为 d 时(B 车在后) ,B 车开始做匀减速运 动,加速度的大小为 a。试问为使两车不至于相撞,d 至少为多少?

三、 (奥赛指导)如右图,在倾角为 ? 的光滑斜面顶端有一质点 B 自静止开始自由下滑,与此同时在斜面底部有一质点 A 自静止开 始以匀加速度 a 向左在光滑水平面上运动。设 B 下滑到斜面底部 能沿着光滑小弯曲部分平稳地朝 A 追去, 试求为使 B 不能追上 A, a 的取值范围。

四、 (2010,天津理综)如图,在高为 h 的平台边缘水平抛出 小球 A, 同时在水平地面上距台面边缘水平距离为 s 处以 v0 竖 直上抛小球 B, 两小球运动轨迹在同一竖直平面内。 若两球能 在空中相遇,则小球 a 的初速度为多少?从开始到相遇经过 多少时间?

五、 (30th 全国奥物预赛)在水平地面某处,以相同速率 v0 用不同的抛射角分别抛射两小球 A 和 B,他们的射程相同。已知小球 A 在空中运行的时间为 TA ,求小球 B 在空中运行的时 间为 TB 。 (重力加速度大小为 g ,忽略空气阻力)

六、如右图所示,物体 A 置于水平面上,A 前固定一滑轮 B,高台上有 一定滑轮 D,一根轻绳一端固定在 C 点,再绕过 B、D,BC 段水平,当 以恒定水平速度 v 拉绳上的自由端时,A 沿水平面前进,求当跨过 B 的 两段绳子的夹角为 ? 时,A 的运动速度。

七、 (奥赛指导)两相同正方形铁丝框如右图所示装置,并沿对角 线方向分别以速度 v 和 2v 向两侧运动,问两框的交点 M 的运动 速度是多少?

答案:一、B

二、解:以 A 车为参考系,则 B 车初速度为 v2 ? v1 ,加速度为 a 做匀减速直线运动。若刚 好不相撞则 B 车末速度为 0。位移为 d。即由匀变速直线运动规律得:

(v2 ? v1 )2 ? 2ad

(v2 ? v1 ) 2 即最小距离 d ? 2a

三、解:设 B 球在斜面下落时间为 t,则落到斜面低端时候有, A 球速度: vA ? at B 球速度 vB ? gt sin ? (Tip:B 球落到水平面上时候,题目立马变成追击问题啦! ) 以 A 球为参考系, 当加速度为 a 最小的时候, B 球速度为 vB ? v A , 加速度为 a (方向向右! ! ) 则由匀变速直线公式得: A 球位移: s A ?

1 2 at 2

(vB ? vA ) 2 ? 2as A 把上面式子代入该式
得最小加速度值为 a ?

1 g sin ? 2 1 故加速度取值范围 a ? g sin ? 2

(Memo:There is where miracle happens.) 四、解:以 B 球为参考系,A 球做匀速直线运动,轨 迹如图虚线所示。故 A 球相对地面的初速度为:

vA ?
相遇经过的时间为: t ?

s v0 h

s h ? vA v0

五、解:如图设两球与 y 轴方向夹角分别为 ?1 、 ? 2 , 对 A 球: TA ?

2v0 cos ?1 g

水平位移: s ? v0 sin ?1 ?TA ?

2 v0 sin 2?1 g

2v cos ? 2 对 B 球: TB ? 0 g

2 v0 sin 2? 2 水平位移: s ? v0 sin ? 2 ?TB ? g

故 sin 2?1 ? sin 2? 2 即 2?1 ? ? ? 2? 2 或 ?1 =? 2 (舍去)

2v0 cos ? 2 2v0 cos( 2 ? ?1 ) 2v0 sin ?1 故 TB ? ? ? g g g
得 TB ?
2

?

4v0 2 sin 2 ?1 4v0 2 (1 ? cos2 ?1 ) 4v0 2 ? ? 2 ? TA2 2 2 g g g

六、解:如右图,当拉动绳子微小拉动的时候,设所用时间 为 ?t 。设这时候物体 A 因为微小拉动前进了 S。则物体速 度为: v A ?

s ?t

而绳子拉动的长度为 s ? s cos ? (Tips:当绳子拉动很微小的时候,这里很神奇^_^) 故绳子拉动速度有: v ? 故 vA ?

s ? s cos ? ? vA (1 ? cos ? ) ?t

v (1 ? cos ? )

七、解:以左框为参考系,则右框的前进速度为 3v。 假设铁丝框边长为 L,并且两框刚开始相互重合。当两 框相互分离时,右框的位移为 2 L 。M 点则从 B 点运 动到 C 点,位移为 L。他们时间是同时的。故有:

t?

2L L 3 ? 即 M 点相对速度 vM 相 ? v 3v vM 相 2

如右图,M 点绝对速度为:

vM ?

10 v 2


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