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第五章


1

第五章 系统的稳定性
本章主要介绍了稳定性的基本概念,判断线性系统稳定性的基本出发点,着重介绍了 Routh 稳定判据、 Nyquist 稳定判据及 Bode 判据的基本原理和方法,并在此基础上讨论系统的相对稳定性及最小相位系统和 非最小相位系统的概念。这些内容,对于分析和设计系统是十分重要的。

系统的稳定性是保证控制系统

正常工作的首要条件,也是控制系统的重要性能指标之一。 因此,分析系统的稳定性并求出保证系统稳定的条件,是控制理论的重要组成部分。

5.1 系统稳定性的基本概念
控制系统在外来干扰的作用下,被控量会偏离平衡状态产生偏差,一旦干扰消失后,经过 足够长的时间,系统又能够逐渐恢复到原来的状态,则系统是稳定的;否则,系统就是不稳 定的。 如图 5-1 所示的小球,当小球处于图中 a 点时,如果有适当的外力作用在小球上,将小球 带离 a 点,如带到 d 点,外力去掉,小球会在 d、e 之间来回滚动,经过一段时间后,最后 会停在 a 点,说明小球处于 a 点是稳定的。当小球处于 b、c 点时,只要有外力作用在小球 上将小球带离 b、c 点,外力去掉后,小球便不会回到原来的位置上,说明小球在 b、c 时是 不稳定的。小球运动的过渡过程曲线如图 5-2 中 a、b 所示。
c

b d e

y

a

5-1

小球的稳定性的判定

y1(t) x(t) 系统1 x(t) y1(t) t0 (a) y2(t) t0 t x(t) 系统2 y2(t) t0 (b)
图 5-2 小球运动的过渡过程曲线

t

t

由上例可知,如果一个系统在干扰消失后,随着时间的推移,系统能恢复到原平衡位置 或达到一个新的平衡位置,说明此系统是稳定的。否则,称该系统是不稳定的。 系统的稳定性是系统本身的一种固有特性,它只决定于系统本身的结构和参数匹配, 而与外作用无关。不稳定的系统不但不能正常工作,有时甚至会使系统本身遭受严重破坏。

1

2

5.1.1 判断线性系统稳定性的基本出发点
一般的线性定常系统的过渡过程特 性,可用高阶线性微分方程来描述: (5-1) a0 yn (t ) ? a1 yn?1 (t ) ? ?? an y(t ) ? b0 xm (t ) ? b1xm?1 (t ) ? ?? bm x(t ) 式中, x(t ) 为系统的输入, y(t ) 为系统的输出, an ??a0 , bm ??b0 是由系统结构所决 定的常数,研究此微分方程的解,就可研究所描述系统的稳定性。 该微分方程的解 y(t ) ? y1 (t ) ? y2 (t ) , y1 (t ) 是方程的通解,它描述了系统在没有输入时, 在初始条件作用下的运动情况。 y2 (t ) 是方程的特解, 描述了系统在输入作用下的运动情况。 根据系统稳定性的定义, 系统稳不稳定与系统的输入无关, 而取决于在初始条件作用下 的运动情况, 也就是在充分长的时间内, 由初始条件引起的输出能随着时间的推移而逐渐衰 减为零。即系统稳定的充分必要条件是

lim y (t ) ? 0
t ?0 1

而 y1 (t ) 是方程 an y (t ) ? an?1 y
n

n?1

(t ) ??? a0 y(t ) ? 0 的解。由第二章所学的知识解得
j ? k ?1

y
要使 lim
t ?0 1

1

(t ) ? ? ci e i ?
?t
i ?1

k

?e

n

? jt

( D j cos w j t ? E j sin w j t )

y (t ) ? 0 ,必须使 ?

i

? 0, ? j ? 0 ,而 ?i , ? j 是闭环系统传递函数的特征根的实部

式 an yn (t ) ? an?1 yn?1 (t ) ??? a0 y(t ) ? 0 是系统的特征方程式,要讨论系统的稳定性首 先要讨论特征方程式的根(即闭环极点) ,判别系统稳定性的基本出发点是系统闭环传递函 数的极点是否全部具有负实部,或者说闭环传递函数的极点是否全部在[S]平面的左半平面。 因此, 判别系统稳定的基本出发点是它的全部极点必须全部具有负实部, 或者说全部位 于[S]平面的左半平面。

5.2 Routh 稳定性判据
由上节系统稳定的基本出发点知,通过求解特征方程的根,可以判断系统是否稳定。若 系统为高阶时,求解方程的根会比较困难。1884 年,有 E.J. Routh 提出的 Routh 稳定性判椐 可以方便地解决这个问题。 这种判椐不需要解出特征方程的根, 而是基于特征方程的根与系 数的关系,通过特征方程的系数来直接判断系统的稳定性。

5.2.1 Routh 稳定判椐
一、系统稳定的必要条件 设系统的特征方程为
D( S ) ? a 0 s ? a1 s
n n ?1

? ......? a n ?1 s ? a n ?? a 0 ( s ?
n

a s a
1 0

n ?1

? a2 s

n?2

a

? ......? a n ?1 )

0

a

(5-2)

0

? a0 ( s ? p1 )(s ? p2 ) ? ( s ? pn )

其中 p1 , p2 ......pn 为系统的特征根。 将(5-2)的因式乘开,由根与系数的关系可以求得:
a1 ? ?( p ? 1 a0

p

2

? ......?

p)
n

a2 ?( a0

p p
1

2

?

p p
1

3

? ......?

p

n ?1

p

n

)

a3 ? ?( p p 1 2 a0

p

3

?

pp p
1 2

4

? ......?

p n ? 2 p n ?1 p )
n

......

2

3

an ? (?1) n ( p p ...... p ) 1 2 n a0
由上式可知,要使全部特征根

p p
1

2

...... p 均具有负实部,必须满足以下两个必要条
n

件: 1) 特征方程的各项系数 ai (i ? 0??n) 都不等于零。 因为如果有一个为零则会出现实部 有正有负的特征根,则系统处于临界稳定或不稳定的状态。 2) 特征方程的各项系数 ai 的符号都相同,一般取正值。 则系统稳定的必要条件是: 要使全部的特征根 的各项系数都有 ai ? 0

p p
1

2

则特征方程 ...... p 都具有负实部,
n

。 此条件只是系统稳定的必要条件,而不是充分条件。

二、系统稳定的的充分必要条件 如果系统满足稳定性的必要条件,由 Routh 判椐指出系统稳定的充分条件是:Routh 阵 列中的第一列所有元素的符号均为正号。 下面列出 Routh 阵列

Sn S n?2 S n ?3 ?? S2 S1 S0 e1 f1 g1

a0

a2 b2 c2

a4 a5 b3 c3

a6 a7 b4 c4

S n ?1 a1 a 3 b1 c1

e2

其中, b1 , b2 , b3 , b4 , c1 , c2 , c3 , c4 , e1 , e2 , f1 , g1 可由下列公式计算得出

b1 ? ? b2 ? ? b3 ? ? ...... c1 ? ? c2 ? ? c3 ? ? ??

1 a0 a1 a1 1 a0 a1 a1 1 a0 a1 a1 1 a1 b1 b1 1 a1 b1 b1 1 a1 b1 b1

a2 a a ?a a ?? 0 3 1 2 a3 a1 a4 a a ?a a ?? 0 5 1 4 a5 a1 a6 a a ? a1a6 ?? 0 7 a7 a1 a3 a b ?b a ?? 1 2 1 3 b2 b1 a5 a b ?b a ?? 1 3 1 5 b3 b1 a7 a b ?b a ?? 1 4 1 2 b4 b1

3

4

这种过程从第一行一直计算到 n+1 行为止,也即完成了 Routh 阵列的列写,Routh 阵列 呈现倒三角形。在展开阵列时,为了简化其后的数值计算,可用一个正整数去除或乘某一行 的所有元素。此时,并不改变稳定性的结论。 Routh 判椐还指出:特征方程中,实部为正的特征根数等于 Routh 阵列中第一列的系数符 号改变的次数。 例 5-1 由 Routh 判椐判别特征方程为 s ? 4s ? 100s ? 500 ? 0 的系统的稳定性。 解: (1)该特征方程的各项系数均大于零,满足系统稳定的必要条件。 (2) 列 Routh 阵列
3 2

s3 1 s2 4 s 0 500

100 500 0

s1 ? 25 0
由 Routh 阵列的第一列可以看出,第一列元素的符号不全为正,故系统不稳定。由于第 一列中元素的符号改变了两次,说明系统的特征方程中有两个正实部的根,即在[S]平面的 右半[平面有两个闭环极点。 例 5-2 设某控制系统如图所示,试计算使系统稳定的 K 值的范围

xi ( s)

?

-

1 s

k ( s ? 5)( s ? 1)

xo ( s)

图 5-3 例 5-2 系统方框图 解:先求出系统的的闭环传递函数为

xo ( s) k ? 3 2 xi ( s) s ? 6s ? 5s ? k
则系统的特征方程为 s ? 6s ? 5s ? k ? 0 列 Routh 阵列
3 2

s3 s2 s1 s0

1 6 30k 6 k

5 k

则 k ? 0,30 ? k ? 0 ,故当 0 ? k ? 30 时系统稳定。 三、特殊情况的处理 使用 Routh 阵列不但能判断系统的稳定性,而且从完整的 Routh 阵列还可以知道造成系 统不稳定的特征根的数目和性质。但是,在构造 Routh 阵列时,有时会出现某一行的第一列 的元素为零,而其余元素不为零的情况;或者出现某一行的所有元素都为零的情况。在这中 情况下,进一步计算 Routh 阵列的其他元素就有一定的困难。

4

5

1)Routh 阵列的某一行的第一列的元素为零,而该行其余元素至少有一个不为零 在这种情况下,可用一个很小的正数 ? 来代替这个零值元素,而继续求出阵列中的其他 元。当第一列有符号变化时,则符号变化的次数就是带正实部的特征根的数目。若 ? 的上、 下行的第一列的元素的符号相同,则特征根中有一对虚根。 例 5-3 试用 Routh 判椐判别特征方程为 s ? 3s ? s ? 3s ? 1 ? 0 的系统的稳定性,并说明 系统不稳定的特征根的性质。 解:列 Routh 阵列为
4 3 2

s4 s3 s2 s1 s0

1 3 0(? )

1 3

1

?3 ? 3?

?
1

0

该 Routh 阵列中的第一列的第二行出现零值元素, 故可判断系统不稳定, 又第一列元素 的符号变化两次,故特征根中有两个带正实部的根。 2)Routh 阵列中某一行的元素全为零 如果 Routh 阵列中某一行出现所有元素都为零的情况,这说明在系统的特征根中,存在 对称于复平面原点的根存在。这些根或者是两个符号相反,绝对值相等的实根,或者是实部 符号相反,虚部数值相等的两对共轭复根。 在这种情况下, 可以用该零行的上一行的元素构成一个辅助多项式, 取此辅助多项式的 一阶导数所得到的一组系数来代替该零行。然后继续计算 Routh 阵列中其余各个元素,最后 再按照前述方法进行判别。 令辅助多项式等于零可得到辅助方程, 解此辅助方程可以得到一 些成对的特征根。因为这些特征根的总数是偶数,所以辅助多项式的阶数总是偶数。 例 5-4 设系统的特征方程为 s ? s ? 3s ? 3s ? 2s ? 2 ? 0 ,求使系统不稳定的特征根 的数目和性质。 解:列系统的 Routh 阵列
5 4 3 2

s5 s4 s3
3

1 1 0

3 3 0

2 2

因为 s 行的元素全为零,故要构造辅助多项式

A( s) ? s 4 ? 3s 2 ? 2 dA( s) ? 4s 3 ? 6s ds
将该导数多项式的系数作为上述全零行的元素,称为辅助系数,并根据此行继续 Routh 阵列的计算,得 Routh 阵列

5

6

s5 s4 s3 s2 s1 s0

1 1 4 2 3 2 3 2

3 3 6 2 0

2 2

由于 Routh 阵列的第一列元素的符号没有变化,所以特征根中无实部为正的根。解辅助 方程得 s ? ? j, ? j 2 ,即系统的特征方程有两对虚根,表明系统处于临界稳定状态。

5.2 Nyquist 稳定性判椐的基本原理和方法
上节介绍的 Routh 稳定性判椐是判别系统稳定的代数判椐, 这节介绍一种几何判椐—— Nyquist 稳定性判椐。 Nyquist 稳定判椐也是根据系统稳定的充分必要条件导出的一种判椐。 它的特点是不要 求取闭环系统的特征根, 而是应用分析法或频率法获得开环频率特性曲线, 进而分析闭环系 统的稳定性,而且还可以得出系统接近于不稳定的程度,即稳定裕度。这种方法在工程上获 得了广泛的应用。 首先, 当系统某些环节无法列写其传递函数时, 可以通过实验的方法获得这些环节的频 率特性曲线,由曲线即可分析系统的稳定性。其次,Nyquist 判椐可以解决 Routh 判椐不能 解决的诸如包括延迟环节的系统稳定性的问题。

5.2.1 米哈伊洛夫定理
米哈伊洛夫定理是证明 Nyquist 稳定判椐的一个引理,米哈伊洛夫定理可叙述如下:设 方程

D ( S ) ? a 0 s ? a 1s
n

n ?1

? ...... ? a n ?1s ? a n ? 0

(5-3)

该方程的 n 个根中有 p 个根在复平面的右半边,q 个根在原点上,其余(n-p-q)个根位于左 半平面上。令 s ? j? , 则式(5-3)可写成

D( jw) ? a 0( jw) ? a1( jw) ? ...... ? a n ?1( jw) ? a n ??D( jw) ? (n ? 2 p ? q)

n

n ?1

? 2

证明:设 s1, s2, ......sn 是方程(5-3)的根,则(5-3)可写成

D( jw) ? an ( jw ? s1 )( jw ? s2 )......( jw ? sn ) ? D( jw ) e j?D ( jw)
式中

D( jw ) ? an jw ? s1 jw ? s2 ...... jw ? sn ?D( jw) ? ?( jw ? s1 ) ? ?( jw ? s2 ) ? ...... ? ?( jw ? sn )

(5-5)

在复平面上,由根 si (i ? 0??n) 所在的位置出发,到虚轴上某一点止所构成的矢量, 就是矢量 ( j? ? si ) ,如图 5-4 所示

6

7

Im

S1 S2

-S 1) (Jω

(jω-S4) S4 Re

0 S3

图 5-4 ( j? ? si ) 矢量图 幅角增量为正,而顺时针方向时为负,则 ? 由 ?? 变到 ?? 时,每个位于复平面左半平面的 矢量,其幅角增量为 ? ,而位于右半平面的矢量的幅角增量为 ?? 。令有 p 个根在复平面的 右半边,q 个根在原点上,其余 n ? p ? q 个根位于左半平面上,则 当 ? 变化时,矢量 ( j? ? si ) 以 si 为始点绕其转动。若规定矢量沿逆时针方向转动时,其

?D( j? ) ? (n ? p ? q)? ? p?
? ??????

? (n ? q)? ? 2 p? ? (n ? q ? 2 p)? 因为式(5-3)可写成 D( j? ) ? Re(? ) ? j Im(? ) (5-4)
式中

(5-4)

Re(? ) ? a0 ? a2? 2 ? a4? 4 ? ........ Im(? ) ? a1? ? a3? 3 ? a5? 5 ? ......
由上式可知 故

R e? ? ( )

R ?? e(

)

Im( ? ? ?? )

?I m ( )

D(? j?) ? Re(?) ? j Im(?) (5-5) 由式(5-4)和(5-5)表明,当 ? 由 ?? 变到 ?? 时,矢量 D( j? ) 的矢量轨迹是对称于 实轴的,故当 ? 由 0 变到 ?? 时,矢量 D( j? ) 的幅角增量为 1 ?D ( j? ) ? ( n ? q ? 2 p )? 2
由此米哈伊洛夫定理得到了证明。 推论:如果 n 次多项式 D ( s ) 的所有根都位于复平面的左半平面,则当以 s=jω 代入

D ( s ) ,令 ? 由 0 变到 ?? 时, ,复数 D( j? ) 的角连续增大 n
?D ( j? ) ? 1 n? 2

?
2



? ?(0? ?? )

7

8

5.2.2 Nyquist 稳定判椐
Nyquist 稳定判椐是 Nyquist 于 1932 年设计反馈放大器时提出的,它是根据系统开环频 率特性的 Nyquist 图来判断系统的稳定性的。 设某反馈控制系统如图所示:
xi ( s)

+

G (s)

xo ( s)

H (s) 图 5-5 闭环系统方框图

则系统的闭环传递函数为 设 G (s) H ( s) ?

xo ( s) G( s) ? xi ( s) 1 ? G ( s) H ( s)

B( s) ,则 A( s)

B( s) A( s) ? B( s) D(s) ? ? (5-6) A( s) A( s) A( s) 式(5-6)中 D ( s ) 为系统闭环特征多项式, A( s ) 为系统的开环特征多项式,两者都是 1 ? G( s) H ( s) ? 1 ?
n 阶多项式。

Im
1 ? G ( j? )

Im

G ( j? )

? ??

? ?0
Re

? ??
0 G ( j?

? ?0
Re

0
1? G( j? )

)
ω

ω
图 5-6 G ( j? ) 与 1 ? G( j? ) H ( j?) 的关系

将 G(s) H(s)和 1 ? G( j? ) H ( j?) 用 j? 代替, 1 ? G( j? ) H ( j?) 与 G( j? ) H ( j? ) 只相 差常数 1,所以这两个矢量的轨迹相同,只是在实轴方向的位置不同而已,1+G(jω)H(jω)的 原点可认为对应 G( j? ) H ( j? ) 的 (?1, j 0) 点。 图(5-6)表示了这两个矢量的轨迹之间的关系。因此就可根据系统开环传递函数特征 根在复平面上左、右两半边的分布数目以及开环频率特性的 Nyquist 图来判断闭环系统的稳 定性,下面分几种情况来讨论。

8

9

(1) 系统的开环极点均在 S 左半平面 当开环传递函数全部特征根都在复平面的左半平面时称为开环稳定。依据米哈伊洛夫

1 1 n? ,而稳定的闭环系统 ?D ( j? ) ? n? (? ? 0 ? ??) ,则 2 2 1 1 ?[1 ? G ( j? ) H ( j? )] ? n? ? n? ? 0 (? ? 0 ? ??) (5-7) 2 2 由 图 中 可 知 , ? 由 0 变 到 ?? 时 , 1 ? G ( j ) H (? ) 幅 角 增 量 为 零 , 也 即 ? j 的 1 ? G( j?) H ( j?) 的轨迹不能包围原点, 闭环后系统就是稳定的。 也就是矢量 G( j? ) H ( j? ) 的轨迹不能包围 (?1, j 0) 点,系统稳定。
定理有 ?A( j? ) ? 于是得到 Nyquist 判椐如下: 当系统开环稳定时,闭环系统稳定的充分必要条件是:ω 由 0 变到+∞时,系统的开环 频率特性的 Nyquist 图不能包围 (?1, j 0) 点。 (2)开环特征方程式有 p 个根在复平面的右半边,q 个根在原点上,其余(n-p-q)个根 位于左半平面 当开环特征方程式有特征根在复平面的右半平面时, 称为开环不稳定。 根据米哈伊洛夫 定理 ?A( j? ) ?

(? ? 0 ? ? ?,则 )

1 ? (n ? 2 p? q ) 2

(? ? 0 ? ??) ,而稳定的系统必有 ?D ( j? ) ?
1 1 ? n? ? ? (n ? 2 p ? q ) ? p? ? q 2 2 2

1 n? 2

?[1 ? G ( j? ) H ( j? )] ?

(? ? 0 ? ? ? )

由此得到 Nyquist 判椐如下: 当系统开环不稳定,并知开环特征根有 p 个根在复平面的右半边,q 个根在原点上,则 闭环系统稳定的充要条件是: ? 由 0 变到 ?? 时,系统开环频率特性的 Nyquist 图必须包围

(?1, j 0) 点 , 并 且 绕 该 点 朝 逆 时 针 方 向 转
( p? ? q

?
2

p 圈 或 其 相 对 于 (?1, j 0) 的 角 度 变 化 为 2

)时,系统闭环后稳定。

例 5-5 某单位负反馈系统的开环传递函数为 G ( s ) ? 情况下闭环系统的稳定性。 解: (1)写出开环频率特性 G ( j? ) ?

1 ,试判断 k ? 40 和 k ? ?40 s ? 10

k j? ? 10

(2) 作出 k ? 40 和 k ? ?40 时的开环 Nyquist 曲线,如图所示

9

10

Im

Im

-1

? ??

0

1

2

3

4 Re

ω ? ?0 -4 -3 -2

? ??
-1 0 1 Re

? ?0

ω
(a) 图 5-7 (3) 由 G ( s ) ? (b) 例 5-5 开环 Nyquist 曲线

k ? 40
不稳定。

1 知,开环极点为 s ? ?10 ,为负实极点 s ? 10 时,由图 a 可知 ?[1 ? G( j?)] ? 0? ,此时系统稳定

k ? ?40 ,由图 b 可知 ?[1 ? G( j?)] ? 180 ? ,不满足 Nyquist 稳定判椐,此时系统

例 5-6 某反馈控制系统开环传递函数为 G ( s) ?

k ,当 k ? 40 和 s(0.1s ? 1)(0.05s ? 1 )

k ? 10 时,试判断系统的稳定性。

Im

Im

(-1,j0) K=10

? ??
0 Re K=40

? ??
(-1,j0) 0 Re

? ?0
(a)
图 5-8

? ?0
(b)
例 5-6 开环 Nyquist 曲线

解: (1)因 (?1, j 0) ,故要使系统稳定的条件应为 ?[1 ? G ( j? )] ? (2)画该系统的 Nyquist 曲线

?
2

k ? 10

时,由图 a 可知

? ?[ 1? G ( ? )?] j

?
2

,满足条件,故系统稳定。

k ? 40

时,由图 b 可知 ? ?[1 ? G ( j? )] ?

3? ,故系统不稳定。 2
10

11

例 5-7 设某系统的开环传递函数分别为 ① G(s) ?

k s (0.5s ? 1 )
2

② G(s) ?

k s(0.15s ? 1 )

试判断闭环系统的稳定性。

解: (1)作出开环 Nyquist 曲线,如图所示

Im

Im

? ?0
-1

? ??

0

? ?0
Re

-1

? ??

0

Re

(a) 图 5-9 例 5-7 开环 Nyquist 曲线 (2)由于 p ? 0, q ? 2 ,则系统稳定的条件是 ?[1 ? G( j? )] ? ? ① 式图 a 知, ?[1 ? G( j? )] ? ?? ,则系统不稳定

(b)

② 式图 b 知 ?[1 ? G( j? )] ? ? ,则系统是稳定的 由此例题可以看出, ①和②式之间相差一个一阶微分环节, 这说明不稳定的Ⅱ型系 统,通过串联一阶微分环节,可以变得稳定。

k e?? s ,试判断该系统的稳定性。 s( s ? 1 ) 解: (1)此系统含有一个延迟环节,画出其 ? ? 0,? ? 0.5,? ? 1 时的 Nyquist 曲线
例 5-8 某系统的传递函数 G ( s) ? 如图所示

Im

(-1,j0) 0

Re
?
? ? 0.5
? ?0

? ?1

图 5-10

例 5-8 开环 Nyquist 曲线

11

12

G( j? ) ? G( j? ) ?

1 e?? jw j? ( j? ? 1) 1

? ?2 ?1 ?[1 ? G( j?)] ? ?90? ? arctan ? ??? 当 τ 取不同的值时,即 ? ? 0,? ? 0.5,? ? 1 ,其开环频率特性如图(5-10)所示。由图 (5-10) 可知,当 ? ? 0 ,即系统无延迟环节时,Nyquist 曲线的相位不超过-180 ? 。随着 τ
值的增加,相位也增加,Nyquist 曲线向坐上方偏转,由第三象限进入第二和第一象限。当 ? 值增加到使 Nyquist 曲线包围 (?1, j 0) 点时,系统就不稳定。所以,系统串联延迟环节对 系统的稳定性是不利的。虽然一阶系统或二阶系统总是稳定的,但若存在延迟环节,系统也 可能变得不稳定。

5.3

Bode 判椐

Bode 判椐实际上是 Nyqiust 稳定判椐的另一种形式,即利用开环系统的 Bode 图来判 别闭环系统的稳定性。Bode 图可以由实验获得,因此在工程上获得了广泛的应用。

5.3.1Bode 判椐的原理
由 Nyqiust 稳定判椐知,若一个自动控制系统,其开环是稳定的,闭环稳定的充分必要 条件是 Nyqiust 曲线不包围 (?1, j 0) 点。图(5-11)中的曲线 1 所对应的闭环系统是稳定的, 而曲线 2 对应的闭环系统是不稳定的。

Im

?c
?g
曲线2

-1

? ??
?g
0

? ?0
Re

曲线1

?c

图 5-11 表示稳定性的 Nyquist 曲线 若开环频率特性 G ( j? ) 与单位圆交点的频率为 ?c ,与实轴的交点频率为 ?g ,当幅频 特性 A(? ) ? 1 时,开环 Bode 图 L(? ) ? 20lg A(? ) ? 0db ;当幅频特性 A(? ) ? 1 时,开环 Bode 图 L(? ) ? 20lg A(? ) ? 0db 。 而在图中 ?c 处, L(?c ) ? 20lg A(?c ) ? 0 而在图中 ?g 处, L(?g ) ? 20lg A(?g ) ? 0 当于对数相频特性的 ?? 轴,由图(5-12)中所示 由上述可以看出,图(5-11)上的单位圆相当于对数幅频特性的 0db 线,而 ?g 点处相

? (?c ) ? ??

12

13

L(ω) -20

?c
-40 -60

ω

Φ(ω) 0 -180°

ω

?g

图 5-12

与图 5-11 对应的 Bode 图

5.3.2 Bode 判椐

由开环 Nyquist 曲线与 (?1, j 0) 点以左实轴的穿越点相当于 Bode 图中的相频特性曲线与

?? 的穿越点。穿越定义为:在对数相频曲线中, L(? ) ? 0 范围的开环对数相频特性曲线由 下而上穿过 ?? 线时为正穿越;反之,则为负穿越。
由此可得 Bode 判椐如下: (1)如果系统开环稳定,则在 L(? ) ? 0 的所有频率 ? 值下,相角 ? (? ) 不超过 ?? 线,那么闭环是稳定的。 (2) 如果系统的开环特征方程式有 q 个根在复平面的右边, 则闭环稳定的充要条件是: 在所有的 L(? ) ? 0 的频率范围内,相频特性曲线 ? (? ) 在 ?? 线上的正负穿越之差为

q 。 2

例 5-9 已知系统开环特征方程的右根数 q 及开环 Bode 图如图中 a,b,c 所示,试判断系 统的稳定性。 解: (1)图 a 中, q ? 2 ,正负穿越之差为 1 ? 2 ? ?1 ? 定。 (2)图 b 中 q ? 2 , ,正负穿越之差为 2 ? 1 ? 1 ?

q ,故该系统闭环状态下不稳 2

q ,故该系统闭环状态下稳定。 2 q (3)图 c 中, q ? 0 ,正负穿越之差为 1 ? 1 ? 0 ? ,故该系统闭环状态下稳定。 2

13

14

L(ω) q=2

L(ω) q=2

ω Φ(ω) Φ(ω)

ω



-

+
(a)

-

ω



(b)

+

+

ω

L(ω) q=0

ω Φ(ω)
?

?
2



-

+
(c)

ω

例 5-10

图 5-13 例 5-9Bode 图 已知系统的开环传递函数为

G( s) H ( s? )

1 0 0 ( 1 .s2 5 2 1 ) ? 2 S ( 5s? 1 ) ( 0 . s?2 1 ) ( 0 ?0 0 5 0 s.

1)

试用 Bode 判椐判断系统闭环后的稳定性。 解: (1)画出系统的 Bode 图如下图所示:

图 5-14 例 5-10 Bode 图 由上式知,q=0,并由图中可知,在 L(? ) ? 0 的频率范围内,相频特性曲线 ? (? ) 和 ?? 不相交,故该系统在闭环状态下是稳定的。

14

15

5.4 系统的相对稳定性
最小相位系统的频率特性函数 G( j? ) H ( j? ) 的矢端轨迹通过复平面的 (?1, j 0) 点时, 系统将处于稳定的临界状态,即处于稳定的边缘。 G( j? ) H ( j? ) 矢端轨迹离开 (?1, j 0) 点 越远,对应的闭环系统的稳定程度越高,越近则越低。稳定系统的稳定程度,称为系统的相 对稳定性。频域中通常用相位裕量 ? (?c ) 和幅值裕量 kg 来表示系统的相对稳定性。

5.4.1 相位裕量 ? (?c )
Nyquist 曲线与单位圆相交时的频率 ?c 为幅值穿越频率,相位裕量是指 G( j? ) H ( j? ) 矢端轨迹在[GH]平面上和单位圆相交处的矢量 G( j?c ) H ( j?c ) 与负实轴的夹角,如图 (5-16) 所示,由图中知,相位裕量为:

? (?c ) ? ? (?c ) ?180? 即 ? (?c ) ? ?G( j?c ) H ( j?c ) ? 180? ,式中,? (?c ) 是开环传递函数在幅值穿越频率上的相
角。 在 Nyquist 曲线上,从原点到 G( j? ) H ( j? ) 轨迹与单位圆的 ? (?c ) 交点可以作一条直 线,从负实轴到达这条直线的夹角,就是相位裕量。当 ? (?c ) ? 0 时,相位裕量为负值。为 了使最小相位系统稳定,相位裕量必须为正值。 图(5-16)(a),(c)表示的是正相位裕量( ? ? 0 ) ,而图(b),(d)则表示负相位裕量 (? ? 0) ,显然,要使系统稳定,必须具有正的相位裕量。相位裕量 ? 越大,则系统的稳 定程度越高。为使系统有较好的动态特性,一般要求 30? ? ? ? 60? 。

5.4.2 幅值裕量 kg
Nyquist 曲线与[ G( j? ) H ( j? ) ]平面负实轴的交点频率 ?g 为相位穿越频率。在相位

?G( j? ) H ( j? ) 等于 ?180? 时,频率 ? g G ( j? g ) H ( j? g ) 的倒数,称为幅值裕量,表示
为:

kg ?

1 G(j?g ) H ( j?g )

(a)所示,而 kg ? 1 为负幅值裕量,如图(5-16) kg ? 1 为正幅值裕量,如图(5-16) (b)所示。

15

16

Im 正增益裕量 1 kg
γ

Im 负相位裕量
1

γ

1

正相位裕量

φ

Re

φ

Re

1 kg
(a) (b) 正增益裕量 ω L(ω)

负增益裕量

L(ω)

负增益裕量 ω

Φ(ω) ω 正相位裕量 (c)
图 5-16 若用分贝数表示幅值裕量,则有

Φ(ω) ω 负相位裕量 (d)
相位裕量和幅值裕量

20 lg k g ? ?20 lg G ( j? g ) H ( j? g )
可见,当 20 lg G ( j? g ) H ( j? g ) 为负值时,幅值裕量为正,如图(5-16) (c)所示;反之, 幅值裕量为负,如图(5-16) (d)所示。 要使系统稳定,幅值裕量必须为正,一般要求 20lg kg ? 6 分贝。 例 5-12 已知系统的开环传递函数为 G ( s ) H ( s ) ? 值裕量。 解:相位裕量计算如下,由 20lg G( j? ) H ( j? ) 求增益交界频率 ?c

20 ,试计算其相位裕量和幅 s(0.5s ? 1)

20 lg 20 ? 20 lg ?c ? 20 lg (0.5?c ) 2 ? 1 ? 0
解这一方程式得: ?c ? 6.618 (1/s) ,
?

将 ?c 代入 ?G( j? ) H ( j? ) 得

?G( j?) H ( j?) ? ?90 ? arctan(0.5*6.168) ? ?162? ? 故相位裕量为 ? ? ?162 ? 180 ? 18 又因相位交界频率为 ?g ? ? ,故幅值裕量为

20lg kg ? ?db

5.4.3 关于相位裕量和幅值裕量的几点说明
(1)控制系统的相位裕量和幅值裕量,是极坐标图对 (?1, j 0) 点靠近程度的度量。因 此,这两个裕量可以用来作为设计准则。为了确定系统的相对稳定性,必须同时给出这两个 量。

16

17

(2)对于最小相位系统,只有当相位裕量和幅值裕量都是正值时,系统才是稳定的。 负的裕量表示系统是不稳定的。 (3)为了得到满意的性能,相位裕量应在 30 和 60 之间,而幅值裕量应当大于 6dB 。 对于具有这些裕量的最小相位系统, 即使开环增益和元件的时间常数在一定的范围内发生变 化,也能保证系统的稳定性。 (4)对于最小相位系统,开环频率特性的幅值和相位有确定的关系。要求相位裕量在
? ?

30? 和 60? 之间,即意味着在对数坐标中,对数幅频曲线在幅值穿越频率上的斜率应大于 ?40dB / dec 。在大多数实际情况中,为了保证系统稳定,要求幅值穿越上的斜率为 ?20dB / dec 。如果幅值穿越上的斜率为 ?40dB / dec ,则系统可能是稳定的,也可能是不
稳定的(即使系统是稳定的相位裕量也比较小) 如果在幅值穿越频率上的斜率是 。 ?60dB / dec ,或者更陡,则系统是不稳定的。 (5)对于非最小相位系统,除非 Nyquist 曲线不包围 (?1, j 0) 点,否则稳定条件是不 能满足的。因此稳定的非最小相位系统将有负的相位和幅值裕量。

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