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灌云县四队中学2013-2014学年高中数学教案:平均数及其估计 (苏教版必修3)


四队中学教案纸 备课 时间 教学 目标 重点 难点 教学 课题

( 学科: 高一数学 )

教时 2 计划

教学 1 课时

(1)理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平; (2)初步了解如何运用数学知识和方法进行统计研究,提高统计的准确性和科学性; (3)掌握从实际问题中提取数据,利用样本

数据计算其平均值,并对总体水平作出 估计的方法. 掌握从实际问题中提取数据,利用样本数据计算其平均值,并对总体水平作出估计的 方法. 能应用相关知识解决简单的实际问题.

教学过程
一、问题情境 1.情境: 某校高一(1)班同学在老师的布置下,用单摆进行测试,以检查重力加速度.全班同学两人一 组,在相同条件下进行测试,得到下列实验数据(单位: m / s 2 ) 9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94 9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90 2.问题: 怎样利用这些数据对重力加速度进行估计? 二、学生活动 我们常用算术平均数

1 n ? ai (其中 ai (i ? 1,2,?,n) 为 n 个实验数据)作为重力加速度的 n i ?1

“最理想”的近似值,它的依据是什么呢? 处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小.设这个近似值为 x,那么 它与 n 个实验值 ai (i ? 1,2,?, n) 的离差分别为 x ? a1 , x ? a 2 , x ? a3 ,?, x ? a n .由于上述 离差有正有负,故不宜直接相加.可以考虑离差的平方和,即

( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a 2 ) 2 ? ? ? ( x ? a n ) 2
2 2 = nx 2 ? 2(a1 ? a 2 ? ? a n ) x ? a12 ? a 2 ? ? a n ,

a1 ? a 2 ? ?a n 时,离差的平方和最小, n a ? a2 ? ?an 故可用 1 作为表示这个物理量的理想近似值. n
所以当 x ? 三、建构数学 1.平均数最能代表一个样本数据的集中趋势,也就是说它与样本数据的离差最小;

a1 ? a 2 ? ?a n ; n 3 . 若 取 值 为 x1 , x2 , ?, xn 的 频 率 分 别 为 p1 , p2 ,?, pn , 则 其 平 均 数 为
2.数据 a1 , a2 , ?, an 的平均数或均值,一般记为 a ?
__

x ? x1 p1 ? x2 p2 ?… ? xn pn .
四、数学运用
1

1.例题: 例 1.某校高一年级的甲、乙两个班级(均为 50 人)的语文测试成绩如下(总分:150 分) ,试 确定这次考试中,哪个班的语文成绩更好一些. 甲班 112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102 93 84 94 94 100 90 84 114 乙班 116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87 108 106 103 97 107 106 111 121 97 107 114 122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 110 分析:我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水平,因此,分别求出甲、乙两个班的平 均分即可. 解: 用计算器分别求出甲班的平均分为 101.1, 乙班的平均分为 105.4,故这次考试乙班成绩要好于 甲班. 例 2.下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表(单位:h),试估计该学生的日平均睡眠时间. 睡 眠 时 间 人 5 17 33 37 6 2 100 数 频 0.05 0.17 0.33 0.37 0.06 0.02 1 率

?6,5? 6 . ?6.7 ? 5 , ?7,5? 7. ?7.8? 5 , ?8,5? 8 . ?8.9? 5 ,
合 计

分析:要确定这 100 名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间,由于每组中的个体睡眠 时间只是一个范围,可以用各组区间的组中值近似地表示. 解法 1:总睡眠时间约为 6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75×37+8.25×6+8.75×2=7.39(h) 故平均睡眠时间约为 7.39h. 解法 2:求组中值与对应频率之积的和 6.25×0.05+6.75×0.17+7.25×0.33+7.75×0.37+8.25×0.06+8. 75×0.02=7.39(h) 答:估计该校学生的日平均睡眠时间约为 7.39h. 例 3.某单位年收入在 10 000 到 15 000、15 000 到 20 000、20 000 到 25 000、25 000 到 30 000、 30 000 到 35 000、35 000 到 40 000 及 40 000 到 50 000 元之间的职工所占的比分别为 10%,15%, 20%,25%,15%,10%和 5%,试估计该单位职工的平均年收入. 分析:上述百分比就是各组的频率. 解:估计该单位职工的平均年收入为 12 500×10%+17 500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45 000 ×5%=26125(元) 答:估计该单位人均年收入约为 26125 元.

2

课外作业 教学反思

课本第 69 页第 1、2、4、6 题

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