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2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(50)抛物线B 2


大千教育课时作业(五十)B

抛物线

1.若点 P(x,y)到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则 P(x,y)的轨迹方 程为( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 2.抛物线 x2=(2a-1)y 的准线方程是 y=1,则实数 a=( ) 5 3 1 3 A. B. C.-

D.- 2 2 2 2 3.已知抛物线 y2=4x,若过焦点 F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于 A,B 两点,O 是坐标原点,则△OAB 的面积是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 4. 对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q, 点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|, 则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,2] C.[0,2] D.(0,2) 5.已知 A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,O 是原点,若|OA|=|OB|,且△AOB 的 垂心恰好是抛物线的焦点,则直线 AB 的方程是( ) 3 5 A.x=p B.x=3p C.x= p D.x= p 2 2 6.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)均在抛物 线上,且 2x2=x1+x3,则有( ) A. |FP1|+|FP2|=|FP3|B. |FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C. 2|FP2|=|FP1|+|FP3|D. |FP2|2=|FP1|· |FP3| 2 7. 已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点, 则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为( ) 17 9 A. B.3 C. 5 D. 2 2 8.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上且|AK|= 2 |AF|,则△AFK 的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 9.已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________. 10. [2010· 全国卷Ⅱ] 已知抛物线 C: y2=2px(p>0)的准线为 l, 过 M(1,0)且斜率为 3的 → → 直线与 l 相交于点 A,与 C 的一个交点为 B.若AM=MB,则 p=________. → → 11.[2010· 重庆卷] 已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A、B 满足AF=3FB,则 弦 AB 的中点 P 到准线的距离为________. 1 ? 12.(13 分)[2012· 珠海模拟] 在平面直角坐标系 xOy 中,设点 F? ?2,0?,直线 l:x=- 1 ,点 P 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l. 2 (1)求动点 Q 的轨迹方程 C; (2)设圆 M 过 A(1,0),且圆心 M 在曲线 C 上,TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦,当 M 运动 时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由.

图 K50-1

选做题:

13.(12 分)[2010· 湖北卷] 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离 减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 →→ FA· FB<0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

课时作业(五十)B 1. C [解析] 点 P(x, y)到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2, 说明点 P(x, y)到点 F(0,2)的距离与到直线 y+2=0 即 y=-2 的距离相等,轨迹为抛物线,其中 p=4, 故所求的抛物线方程为 x2=8y. 1 ? 1 2.D [解析] 根据分析把抛物线方程化为 x2=-2? ?2-a?y,则焦参数 p=2-a,故抛物 1 1 -a -a 2 p 2 3 线的准线方程是 y= = ,则 =1,解得 a=- . 2 2 2 2 1 3. B [解析] 焦点坐标是(1,0), A(1,2), B(1, -2), |AB|=4, 故△OAB 的面积 S= |AB||OF| 2 1 = ×4×1=2. 2 2 y2 0 ?y0-a?2≥a2,整理,得 ,y0?,由|PQ|≥|a|,得 y2 4.B [解析] 设点 Q 的坐标为? + 0 ?4 ? ?4 ? 2 y y2 0 0 2 2 2 y2 0(y0+16-8a)≥0,∵y0≥0,∴y0+16-8a≥0,即 a≤2+ 恒成立.而 2+ 的最小值为 2, 8 8 所以 a≤2. p 5.D [解析] A(x0,y0),则 B(x0,-y0),由于焦点 F ,0 是抛物线的垂心,所以 OA⊥ 2 - y y0 5p 5 0 2 BF.由此得 × =-1,把 y0 =2px0 代入得 x0= ,故直线 AB 的方程是 x= p. x0 p 2 2 x0- 2 p? ? p? ? p? 6.C [解析] 由抛物线定义,2? ?x2+2?=?x1+2?+?x3+2?,即 2|FP2|=|FP1|+|FP3|. 1 ? 7.A [解析] 依题设 P 在抛物线准线的投影为 P′,抛物线的焦点为 F,则 F? ?2,0?. 依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 1?2 2 17 到该抛物线准线的距离之和 d=|PF|+|PA|≥|AF|= ? ?2? +2 = 2 . 8.B [解析] ∵抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F(2,0),准线方程为 x=-2,∴K(-2,0), 设 A(x0,y0),过 A 点向准线作垂线 AB,则 B(-2,y0),∵|AK|= 2|AF|,又 AF=AB= x0-(-2)=x0+2, 2 2 ∴由 BK2=AK2-AB2 得 y2 4),∴△ 0=(x0+2) ,即 8x0=(x0+2) ,解得 x0=2,∴A(2,± 1 1 AFK 的面积为 |KF|· |y0|= ×4×4=8. 2 2 2 9.y =4x [解析] 设抛物线方程为 y2=kx,与 y=x 联立方程组,消去 y,得:x2-kx =0,x1+x2=k=2×2=4,故 y2=4x. → → 10.2 [解析] 过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E,∵AM=MB,∴M 为 AB 中点,∴|BM| 1 1 = |AB|.又斜率为 3,∠BAE=30° ,∴|BE|= |AB|,∴|BM|=|BE|, 2 2 ∴M 为抛物线的焦点,∴p=2.

8 11. [解析] 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则|AF|=xA+1,|BF|=xB+1,∴xA+1=3(xB+ 3 1).① 由几何关系,xA-1=3(1-xB).②

xA+xB 1 8 联立①②,得 xA=3,xB= ,∴所求距离 d= +1= . 3 2 3 12.[解答] (1)依题意知, 点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ⊥FP, ∴RQ 是线段 FP 的垂直平分线. ∵|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离. 点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上,∴|PQ|=|QF|. 故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线, 其方程为:y2=2x(x>0). (2)弦长|TS|为定值. 理由如下:取曲线 C 上点 M(x0,y0),M 到 y 轴的距离为 d=|x0|=x0, 圆的半径 r=|MA|= ?x0-1?2+y2 0, 则|TS|=2 r2-d2=2 y2 - 2 x + 1 , 0 0 y2 0 因为点 M 在曲线 C 上,所以 x0= , 2
2 所以|TS|=2 y2 0-y0+1=2,是定值. 【难点突破】 13.[解答] (1)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x,y)满足 ?x-1?2+y2-x= 1(x>0). 化简得 y2=4x(x>0). (2)设过点 M(m,0)(m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). ?x=ty+m, ? 设 l 的方程为 x=ty+m,由? 2 得 y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0, ?y =4x, ?

? ?y1+y2=4t, 于是? ① ?y1y2=-4m. ? → → 又FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2), →→ FA· FB<0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.② 2 2 y1 y2 y2 y2 2 1 y2 + ?+1<0, 又 x= ,于是不等式②等价于 · +y1y2-? ?4 4? 4 4 4 ?y1y2?2 1 ? +y1y2- [(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.③ 16 4 由①式,不等式③等价于 m2-6m+1<4t2.④ 对任意实数 t,4t2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2-6m+1<0,即 3-2 2<m<3+2 2. 由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0),且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线, →→ 都有FA· FB<0,且 m 的取值范围是(3-2 2,3+2 2).


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