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数列通项及用归纳法证明不等式


数列通项及用归纳法证明不等式
例一、 在 1 与 2 间插入 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,?, an ,使这 n+2 个数成等比数列;又在 1、2 间插入 n 个正数

b1, b2 , b3 ,?, bn ,使这 n+2 个数成等差数列.记 An ? a1a2a3 ?an , Bn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . .求:
(1)数列 { An } 和 {Bn } 的通项; (2)当 n ? 7 时,比较 An 与 Bn 的大小,并证明你的结论. 分析:考查等差数列,等比数列的知识,以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法. 解: (1)?1, a1, a2 , a3 ,?, an ,2 成等比数列,

? a1an ? a2an ?1 ? a3an ?2 ? ? ? ak an ? k ?1 ? ? ? 1? 2 ? 2,

? A ? (a1an )(a2an ?1 )(a3an ?2 )?(an ?1a2 )(ana1 ) ? (1? 2) ? 2 ,? An ? 2
2 n
n n

n . 2

?1, b1, b2 , b3 ,?, bn ,2 成等差数列, ?b1 ? bn ? 1 ? 2 ? 3,
? Bn ? (b1 ? bn )n 3 ? n. 2 2
n

所以数列 { An } 的通项 An ? 2 2 ,数列 {Bn } 的通项 Bn ?
n

3 n. 2

(2)? An ? 2 2 , Bn ? 较当 n ? 7 时, 2 与
n

3 9 2 2 2 2 的大小,也就是比 n,? An ? 2n , Bn ? n 2 , 要比较 An 与 Bn 的大小,只需比较 An 与Bn 2 4

9 2 n 的大小. 4 9 2 9 1 9 2 n n 当 n=7 时, 2 ? 128, n ? ? 49 ? 110 ,知 2 ? n . 4 4 4 4 9 2 9 2 n n 经验证,n=8,n=9 时,均有 2 ? n 成立,猜想,当 n ? 7 时有 2 ? n , 下面用数学归纳法证明: 4 4 9 2 n (ⅰ)n=7 时已证 2 ? n 4 9 2 k ( ⅱ ) 假 设 n ? k (k ? 7) 时 不 等 式 成 立 , 即 2 ? k , 好 么 4 9 9 9 2k ?1 ? 2 ? 2k ? 2 ? k 2 ? [( k ? 1) 2 ? k 2 ? 2k ? 1] ? [( k ? 1) 2 ? k (k ? 2) ? 1]. 4 4 4 9 9 9 ? k ? 7,? k (k ? 2) ? 35, k (k ? 2) ? 1 ? 0,? [( k ? 1) 2 ? k (k ? 2) ? 1] ? (k ? 1) 2 , 故 2k ?1 ? , (k ? 1) 2 . 即 4 4 4 n ? k ? 1 时不等式也成立. 9 2 n 2 2 根据(ⅰ)和(ⅱ)当 n ? 7 时, 2 ? n 成立,即 An ? Bn ,? An ? Bn . 4

说明:开放题求解要注意观察题目的特点,可以先通过特殊数尝试可能的结果,然后总结归纳出一般规律,利 用归纳法证明结论.

猜想数列通项、利用归纳法证明不等式
2 例一、 设数列 {an } 满足 an?1 ? an ? nan ? 1, n ? 1,2,3,?,

(1)当 a1 ? 2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a1 ? 3 时,证明对所有的 n ? 1 ,有(ⅰ) an ? n ? 2; (ⅱ)

1 1 1 1 ? ??? ? . 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2

分析:本小题主要考查数列和不等式等知识,考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力.
2 解: (1)由 a1 ? 2 得 a2 ? a1 ? a1 ? 1 ? 3,

2 由 a2 ? 3, 得 a3 ? a2 ? 2a2 ? 1 ? 4, 2 由 a3 ? 4 ,得 a4 ? a3 ? 3a3 ? 1 ? 5.

由此猜想 an 的一个通项公式: an ? n ? 1(n ? 1). (2) (ⅰ)用数学归纳法证明: ①当 n ? 1, a1 ? 3 ? 1 ? 2 ,不等式成立. ②假设当 n=k 时不等式成立,即 ak ? k ? 2 ,那么, ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3, 也就 是说,当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? (k ? 1) ? 2. 根据①和②,对于所有 n ? 1 ,有 an ? n ? 2. ( ⅱ ) 由

an ?1 ? an (an ? n) ? 1













k?2





kk ? ak ?1 (ak ?1 ? k ? 1) ? 1 ? ak ?1 (k ? 1 ? 2 ? k ? 1) ? 1 ? 2ak ?1 ? 1, ……

?ak ? 2k ?1 a1 ? 2k ?2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2k ?1 (a1 ? 1) ? 1.
于是

1 1 1 ? ? k ?1 , k ? 2, 1 ? ak 1 ? a1 2

?1 ? a
k ?1 n

n

1

?

k

1 1 ? 1 ? a1 1 ? a1

?2
k ?2

1
k ?1

?

1 1 ? a1

?2
k ?1

n

1
k ?1

?

2 2 1 ? ? . 1 ? a1 1 ? 3 2

说明: 证明不等式的题型多种多样, 所以不等式证明是一个难点, 在由 n=k 成立, 推导 n=k+1 不等式也成立时,

过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用,如比较法、放缩法、分析法、反证法等,有时还要考证与原不等式的 等价的命题.

数列与归纳法的综合题
例一、 设 a0 为常数,且 an ? 3n?1 ? 2an?1 (n ? N ? ) (Ⅰ)证明对任意 n ? 1, an ? [3 ? (?1)
n

1 5

n ?1

? 2n ] ? (?1) n ? 2n a0 ;

(Ⅱ)假设对任意 n ? 1 有 an ? an ?1 ,求 a0 的取值范围. 分析: 本小题主要考查数列、等比数列的概念,考查数学归纳法,考考灵活运用数学知识分析问题和解决问 题的能力. 证明: (Ⅰ)证法一: (1)当 n ? 1 时,由已知 a1 ? 1 ? 2a0 ,等式成立. (ⅱ)假设当 n ? k (k ? 1) 等式成立,即 ak ? 那么 ak ?1 ? 3 ? 2ak ? 3 ?
k k

1 k [3 ? (?1) k ?1 2k ? (?1) k a k a0 ]. 5

2 k [3 ? (?1) k ?1 2k ] ? (?1) k 2k ?1 a. 5

1 ? [3k ?1 ? (?1) k 2k ?1 ? (?1) k ?1 a0 ]. 5 也就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立.
根据(ⅰ)和(ⅱ)可知 证法二:如果设 an ? ? 3n ? ?2(an ?1 ? ? 3n ?1 ). 用 an ? 3n ?1 ? 2an ?1 代入,可解出 a ? 所以 {an ?

1 . 5

3 3n } 是公比的-2,首项为 a1 ? 的等比数列. 5 5

? an ?

3n 3 ? (1 ? 2a0 ? )(?2) n ?1 (n ? N ? ). 5 5 3n ? (?1) n ? 2 2n ? (?1) n 2n a0 . 5

即 an ?

(Ⅱ)解法一:由 an 通项公式

2 ? 3n ?1 ? (?1) n ?1 3 ? 2n ?1 an ? an ?1 ? ? (?1) n 3 ? 2n ?1 a0 . 5

? an ? an ?1 (n ? N? )


2k ?2

(ⅰ)当 n ? 2k ? 1, k ? 1,2,? 时,①式即为 (?1) 即为 a0 ?

3 (5a0 ? 1) ? ( ) 2 k ? 3 . 2

1 3 2k ?3 1 ( ) ? . 5 2 5



②式对 k ? 1,2,? 都成立,有 a0 ?

1 3 ?1 1 1 ?( ) ? ? . 5 2 5 3

(ⅱ)当 n ? 2k , K ? 1,2,? 时, (?1) 即为 a0 ? ? ? ( )

2 k ?1

3 (5a0 ? 1) ? ( ) 2 k ? 2 . 2


1 5

3 2

2k ? 2

1 ? . 5 1 5 3 2

③式对 k ? 1,2,? 都成立,有 a0 ? ? ? ( )

2?1? 2

?

1 ? 0. 5

综上,①式对任意 n ? N ? 成立,有 0 ? a0 ? 故 a0 的取值范围为 ( 0, )

1 . 3

1 3

解法二:如果 an ? an ?1 (n ? N? ) 成立,特别取 n ? 1,2 有 a1 ? a0 ? 1 ? 3a0 ? 0.

a2 ? a1 ? 6a0 ? 0.
因此

1 0 ? a0 ? . 3 1 时,对任意 n ? N ? ,有 an ? an ?1 ? 0. 3

下面证明当 0 ? a0 ? 由 an 通项公式

5(an ? an ?1 ) ? 2k ? 1, k ? 1,2,?,时

5(an ? an ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? 5 ? 3 ? 2n ?1 a0 ? 2 ? 2n ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 0.
(2)当 n ? 2k , k ? 1,2,? 时,

5(an ? an ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? 5 ? 2n ?1 an ? 2 ? 3n?1 ? 3 ? 2n?1 ? 0.
故 a0 的取值范围为 (0, ).

1 3


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