当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2016年浙江省高中数学竞赛


2016 年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题(本大题共有 8 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后
的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 6 分,共 48 分) 1. 曲线 ( x ? 2 y ? a)( x ? y ) ? 0 为平面上交于一点的三条直线的充要条件是(
2 2

).

>A. C.

a?0 a ? ?1

B. a ? 1 D. a ? R

解答:若 a ? 0 ,则曲线表示的曲线是三条交于原点的直线,反之,由于直线 y

? x 和直线

y ? ? x 交于原点,所以曲线要为平面上三条交于一点的直线,则直线 x ? 2 y ? a ? 0 过原
点,即 a ? 0 .故正确答案为 A. 2. 函数 f ( x) ? 4sin x ? sin x ? 2(sin
3

A. 2?

B.

? 2

x x ? cos ) 2 的最小正周期为( 2 2 2? C. 3

). D. ?

解答:化简得

f ( x) ? ? sin 3x ? 2 ,则函数 f ( x) 的最小正周期为

2? .故正确答案为 C. 3

3. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 A 是过 F2 且倾斜角 a 2 b2

为 ( A.

? 的直线与双曲线的一个交点 . 若△ F1 F2 A 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为 4
).

3 ?1 2

B.

3 ?1

C.

2 ?1 2

D.

2 ?1

解答: 因为 AF1 ? AF2 ? 2a, 要使△ F1 F2 A 为等腰直角三角形, 则 AF1 ? AF2 ? 2a, 以及

AF2 ? F1F2 ? 2c ,由勾股定理得 (2(a ? c))2 ? 2(2c)2 ,解答

c ? 2 ? 1 .故正确答案为 a

D. 4. 已知正三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 1 的正三角形,侧棱长为 2. 若过直线 AB 的截 面, 将正三棱锥的体积分成两个相等的部分, 则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为 ( ). A.

15 10

B.

4 15 15

C.

15 15

D.

2 15 15

解答: 设截面与棱 SC 交于 D 点, 由已知条件可知, 点 D 为棱 SC 的中点.取 AB 的中点 E , 连接 EC, DE, SE ,则 ?DEC 为截面与底面所成二面角的平面角,设为 ? .在△ SEC 中,

SE ?

15 3 5 .在△ DEC 应用余弦定理得 , EC ? , SC ? 2 ,所以中线 DE ? 2 2 2 2 15 .正确答案为 D. 15

cos ? ?

5. 已知 a, b ? R ,函数 f ( x) ? ax ? b .若对任意 x ?[?1,1] ,有 0 ? f ( x) ?1 ,则 的取值范围为( A. ). B.

3a ? b ? 1 a ? 2b ? 2

1 [? ,0] 2

4 [? ,0] 5

C.

1 2 [? , ] 2 7

D.

4 2 [? , ] 5 7
? u?v

a? ? ? 0 ? f (1) ? 1 ? 0 ? a ?b ?1 ?u ? a ? b ? 2 ,这 .令 ? ,则 ? 解答:由题意得 ? ?? ?0 ? f (?1) ? 1 ??1 ? a ? b ? 0 ? v ? a ? b ?b ? u ? v ? ? 2
3a ? b ? 1 4u ? 2v ? 2 = ? ?2 ? a ? 2b ? 2 3u ? v ? 4



4 3a ? b ? 1 2 10 ? . ,由此即知 ? ? 5 a ? 2b ? 2 7 ? 5v ? 11 ? 3?? ? ? 5u ? 3 ?

正确答案为 D. 6. 已知向量 OA ,OB 垂直,且 OA ? OB ? 24 .若 t ? [0,1] ,则 t AB ? AO ? 5 BO ? ( 1 ?t ) BA
12

的最小值为( A. 2 193

). B. 26 C. 24 2 D.24

解答:用数形结合方法求解,作正方形 OACB ,连对角线 AB ,则向量 t AB ? AO 等于向 量 OD( D 为对角线 AB 上一点) ,向量

EB ? 10 ) D D ? C ,O

5 BO ? (1 ? t ) BA 等于向量 ED( E 为 OB 边上一点, 12 ,所以 t AB ? AO ? 5 BO ? (1 ? t ) BA 等于 ED ? DC ,由几何意义可知
12

ED ? DC 的最小值为 EC 的值,即等于 26.故正确答案为 B.
7. 设集合 M ? ?( x, y )

? ? ? ?

? 1 1 1 ? ? ? , x, y ? N* ? ,则集合 M 中的元素个数为( x y 45 ? ?
C. 2 D. 3

).

A. 0 解答:由于

B. 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ,故 ? + + ,这样 5 x 225 5 y 15 5 y x y 45 5x 5 y 15

5 y ? Q .同理, 5x ? Q . 所以可设 x ? 5a 2 , y ? 5b2 , a, b ? N* ,因此,原式

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? a, b ? ? (2, 6) . 又因为 ? a, b ? 与 ? x, y ? 一一对应,则 a b 3 x y 45
集合 M 中的元素个数为 1. 故选 B. 8. 记 [ x] 为不超过 x 的最大整数. 若集合 S ? ( x, y) 所表示的平面区域的面积为( A. ). C.

?

[ x ? y] ? [ x ? y] ? 1 ,则集合 S

?

5 2

B. 3

9 2

D. 4

解答:当 0 ? x ? y ? 1 时, [ x ? y] ? 0, 所以 [ x ? y] ? 1 ,即 ?1 ? x ? y ? 2 ; 当 1 ? x ? y ? 2 时, [ x ? y] ? 1, 所以 [ x ? y] ? 0 ,即 0 ? x ? y ? 1 ; 当 ?1 ? x ? y ? 0 时, [ x ? y] ? ?1, 所以 [ x ? y] ? 0 ,即 0 ? x ? y ? 1 ; 画出满足上述条件的区域,可知集合 S 所表示的平面区域的面积为

5 .正确答案为 A. 2

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每题 7 分,12 题 9 分, 共 51 分) 9. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数. 若对任意实数 x , 有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ?[0,1] 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (10 3) = .

解答:由 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 4) ? f ( x) ,所以 f ( x) 的周期为 4.因此,

f (10 3) ? f (10 3 ?16) ? ? f (16 ?10 3) ? f (18 ?10 3) ? 36 ? 20 3 .
10. 已知数列 {an },{bn } 满足: a1 ? ?1, b1 ? 2, an?1 ? ?bn , bn?1 ? 2an ? 3bn (n ? N*), 则

b2015 ? b2016 ?
解答:由已知 ?

.

?ai ?1 ? ?bi , 得到 ?bi ? 2 ? 2ai ?1 ? 3bi ?1 ,

bi ?2 ? bi ?1 ? ?2(bi ?1 ? bi ) ? (?2)2 (bi ? bi ?1 ) ?
b2015 ? b2016 ? ?3 ? 22015.

? (?2)i (b2 ? b1 ). 所以

11. 设 a ? R ,方程 x ? a ? a ? 2 恰有三个不同的根,则 a ?

.

解答:原方程可变形为 x ? a ? a ? 2 ,要使方程恰有三个不同的根,则 a ? 2, 此时方程恰 有三个不同的根 x1 ? 2, x2 ? 6, x3 ? ?2 .所以 a ? 2.

1

12. 已知两个底面重合的正四面体 A ? OBC 和 D ? OBC , M , N 分别为△ ADC 与△ BDC 的重心.记 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,若点 P 满足 OP ? xa ? yb ? zc , MP ? 2PN ,则 实数 x ? ______, y ? _______, z ? ________. 解答:设点 A 在面 OBC 上的投影为 H ,则 OH ?

2 1 1 ? (OB ? OC ) ? (b ? c), 3 2 3

所以 AH ? OH ? OA ?

1 2 (b ? c ? 3a), 因此 AD ? 2 AH ? (b ? c ? 3a). 3 3

又 AM ?

1 2 1 1 ? ( AD ? AC ) ? (?9a ? 2b ? 5c), 所以 OM ? OA ? AM ? (2b ? 5c). 9 3 2 9 2 1 1 1 ? ( BC ? BD) ? (OC ? OB ? AD ? AB) ? (?3a ? 4b ? 5c), 3 2 3 9

同理, BN ?

1 ON ? OB ? BN ? (?3a ? 5b ? 5c). 9
由 MP ? 2PN 得, 3OP ? OM ? 2ON ,所以 xa ? yb ? zc ? ?

1 (?2a ? 4b ? 5c), 因此 9

2 4 5 x ? ? , y ? ,z ? . 9 9 9
13. 在△ ABC 中, ?B ?

?
4

, ?C ?

5? , AC ? 2 6 , AC 的中点为 D . 若长度为 3 的线 12
.

段 PQ ( P 在 Q 的左侧)在直线 BC 上滑动,则 AP ? DQ 的最小值为

解 答 : 由 已 知 求 得 BC ? 6 , 过 D 做 直 线 DE 平 行 BC , 交 AB 于 E 点 , 则

1 D E/ / B C, D? E 2

PQDE 为平行四边形,即 DQ ? EP .这样问题就转化为 3 B ? C ,所以

在直线 BC 上找一点,使 AP ? EP 最小.计算得 AP ? EP 的最小值为

30 ? 3 10 . 2
.

14. 若关于 x, y 的方程组 ?

? sin x ? m sin 3 y
3 ?cos x ? m cos y

有实数解,则正实数 m 的取值范围为

解答:两式平方,消去 x 得 1=m (1 ?
2

3 2 4 sin 2 y) ,故 sin 2 2 y = ?1 ? m2 ? ? [0,1] 4 3

这样,1 ? m ? 2 。反之,当 1 ? m ? 2 时,也存在 ? x0 , y0 ? 满足方程。因此,正实数 m 的 取值范围为 [1, 2] . 15. 已知 a, b, c 为互不相等的整数,则 4(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? (a ? b ? c)2 的最小值为 .

解答: 4(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ,其最小 值为 8. 三、解答题(本大题共有 3 小题,16 题 15 分,17、18 每题 18 分,共 51 分) 16.设函数 f ( x) ? x 2 ? (k 2 ? 5ak ? 3) x ? 7( a, k ? R ) .已知对于任意的 k ?[0, 2] , 若 x1 , x2 满足 x1 ?[k , k ? a], x2 ?[k ? 2a, k ? 4a] ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 求正实数 a 的最大值. 解答: 由于二次函数 f ( x) ? x 2 ? (k 2 ? 5ak ? 3) x ? 7 的对称轴为 x ? 件等价于对任意的 k ?[0, 2] 均有

k 2 ? 5ak ? 3 ,故题设条 2

k 2 ? 5ak ? 3 5 ? k ? a. ……………………① 2 2
即对任意的 k ?[0, 2] 均有 5a ?

? k 2 ? 2k ? 3 ? k 2 ? 2k ? 3 , 5a ? min ? ? 0? k ? 2 k ?1 ? k ?1 ?



6 6 k 2 ? 2k ? 3 ? (k ? 1) ? ? 4 ? 2 (k ? 1) ? ? 4 ? 2 6 ? 4 ,当且仅当 k ? 6 ? 1 k ?1 k ?1 k ?1
? k 2 ? 2k ? 3 ? ? ? 2 6 ?4. 0? k ? 2 ? k ?1 ?

时取等号,故 min ?

所以,正实数 a 的最大值为

2 6 ?4 . 5

17. 已知椭圆 C :

16 3 x2 y 2 ,经过点 P(3, ) ,离心率为 . 过椭圆 C 的 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 5 5 a b

右焦点作斜率为 k 的直线 l ,交椭圆于 A, B 两点,记 PA, PB 的斜率为 k1 , k2 . (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 k1 ? k2 ? 0 ,求实数 k .

解答: (Ⅰ)由已知得,

9 256 a 2 ? b2 9 ,解得 a 2 ? 25, b2 ? 16 ,所以椭圆方程 1, ? ? ? 2 2 2 a 9b a 25



x2 y 2 ? ?1. 25 16

(Ⅱ)右焦点坐标为(3,0) , (1)当 0 ? k ? ? 时,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) . 联立方

? y ? k ( x ? 3), ? 程组 ? x 2 y 2 得 (16 ? 25k 2 ) x 2 ? 150k 2 x ? 225k 2 ? 400 ? 0 . ? 1, ? ? ? 25 16
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

150k 2 225k 2 ? 400 , . x x ? 1 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2

16 16 16 16 y2 ? ( y1 ? )( x2 ? 3) ? ( y2 ? )( x1 ? 3) 5 ,k ? 5 , 所以 k ? k ? 5 5 . 又 k1 ? 2 1 2 x1 ? 3 x2 ? 3 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) y1 ?
由 y1 ? k ( x1 ? 3), y2 ? k ( x2 ? 3) ,得 k1 ? k2 ? (2)当斜率 k ? 0 时, k1 ?

1536 ? 2560k 3 ? 0, 解得 k ? . 2 5(16 ? 25k )( x1 ? 3)( x2 ? 3) 5

2 8 6 , k2 ? ? , 则 k1 ? k2 ? ? ? 0 ,不合题意. 5 5 5

(3)当斜率 k 不存在时,此时斜率 k1 , k2 均不存在,不合题意. 所以, k ?

3 . 5

18. 给定数列 {xn } , 证明: 存在唯一分解 xn ? yn ? zn , 其中数列 ? yn ? 非负, ? zn ? 单调不减, 并且 yn ( zn ? zn?1 ) ? 0 , z0 ? 0 . 证明:我们只需证明对任意的正整数 n , 满足

? xn ? yn ? zn ? y (z ? z ) ? 0 ? n n n ?1 ? yn ? 0 ? ? ? zn ? zn ?1 ? 0,z0 ? 0
的 ? yn , zn ? 存在且唯一。下面用数学归纳法证明之。

………(*)

? y1 ? 0 ? y1 ? x1 或? 。 1 当 n ? 1 时, y1 ( z1 ? z0 ) ? y1 z1 =0 ,这样有 ? ? z1 ? ? x1 ? z1 ? 0

若 x1 ? 0 ,则 ?

? y1 ? 0 ? y1 ? x1 ;若 x1 ? 0 ,则 ? .这样,当 n ? 1 时命题成立。 ? z1 ? ? x1 ? z1 ? 0

2 假设当 n ? k (k ? 1) 时, 命题成立,则当 n ? k +1 时,(*)等价于

? yk ?1 ? ( zk ?1 ? zk ) ? xk ?1 ? zk ? yk ?1 ( zk ?1 ? zk ) ? 0 ? ? yk ?1 ? 0 ? ? ( zk ?1 ? zk ) ? 0,z0 ? 0 ?
这样有 ?

?

yk ?1 ? 0

? zk ?1 ? zk ? ?( xk ?1 ? zk )

或?

? yk ?1 ? xk ?1 ? zk 。进一步, ? zk ?1 ? zk ? 0

若 xk ?1 ? zk ? 0 ,则 ?

? yk ?1 ? xk ?1 ? zk ? yk ?1 ? xk ?1 ? zk ,即 ? ; ? zk ?1 ? zk ? 0 ? zk ?1 ? zk ? yk ?1 ? 0 ? zk ?1 ? zk ? ?( xk ?1 ? zk )
,即 ?

若 xk ?1 ? zk ? 0 ,则 ?

? yk ?1 ? 0 。 ? zk ?1 ? ? xk ?1

故则当 n ? k +1 时,命题成立。

3 由数学归纳法可知,对于任意的自然数 n 命题均成立。
综上,原问题得证。 四、附加题(本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分) 19. 设集合 A ? {x ? N x 的十进制表示中数码不含 2,0,1,6 } . 证明:
*

? x ? 3.
x?A

1

(注:

? x 表示集合 A 中的所有元素的倒数之和)
x? A

1

解答:在 k 位正整数中,各位上的数码不含数字 2,0,1,6 的共有 6 个,其中首位数字为 3,4,5,7,8,9 的各有 6
k ?1

k

,所以,在所有的 k 位数中有

1 6k ?1 6k ?1 6k ?1 6k ?1 6k ?1 6k ?1 ? ? ? ? ? ? ? 3 ?10k ?1 4 ?10k ?1 5 ?10k ?1 7 ?10k ?1 8 ?10k ?1 9 ?10k ?1 k xn
? 6k ?1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ), 10k ?1 3 4 5 7 8 9

所以,

1 ? 6 k ?1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ) ( ? ? ? ? ? ) ? 3. ? 3 4 5 7 8 9 x?A x k ?1 10

20.设正整数 n ? 2 ,对 2 ? n 格点链中的 2n 个结点用红(R) 、黄(Y) 、蓝(B)三种颜色 染色,左右端点中的三个结点已经染好色,如图所示. 若对剩余的 2n-3 个结点,要求每个 结点恰染一种颜色,相邻结点异色,求不同的染色方法数.

解答:对 2 ? n 格点链中的 2n 个结点用红(R) 、黄(Y) 、蓝(B)三种颜色染色,其中左端 点染红色与黄色,设右端点染色为 P,Q,如图所示。

R

P

Y
记 P= R(或 Y), Q=B 时的着色数目为 an ; 记 P=B, Q=R(或 Y)时的着色数目为 bn ;

Q

记 P=R,Q=Y 或者 P=Y,Q=R 时的着色数目为 Cn 。 我们注意到: (1)若右端没有约束时,每增加一个格子都有 3 种不同的着色方法,则

an +bn ? cn ? 3n?1
(2)由对称性,即将图形上下翻转,并且颜色 R 和 Y 互换,可知

an ? bn
(3)考虑相互的递推特征,则

B

R或Y

Y(R)

R(Y)

R (Y )

B
an ? 2bn?1 ? cn?1

R (Y )

B

?an +bn ? cn ? 3n ?1 ? 所以, ? , n ? N* an ? bn ? a ? 2b ? c n ?1 n ?1 ? n
这样, an ? 2bn?1 ? cn?1 ? an?1 ? bn?1 ? cn?1 ? 3 即为问题所求的不同的染色方法数。
n?2


相关文章:
2016浙江省高中数学竞赛试题及解答
2016浙江省高中数学竞赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016浙江省高中数学竞赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。...
2016年浙江省高中数学竞赛卷
2016年浙江省高中数学竞赛卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年浙江省高中数学竞赛2016 年浙江省高中数学竞赛卷一、选择题(每题 6 分,共 48 分) 1.曲线...
2016年浙江高中数学竞赛(含答案)
2016年浙江高中数学竞赛(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年浙江省高中数学竞赛与4.17日开考 文档贡献者 zjlxzxl 贡献于2016-04-21 ...
2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案
2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题及参考答案 2016 年浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)...
2016浙江高中数学竞赛初赛试题(含答案)
2016浙江高中数学竞赛初赛试题(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016浙江高中数学竞赛初赛试题及答案 第1 页 第 2 页 第 3 页 第 4 页 第 5 页 第 ...
2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案
2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题及参考答案 2016 年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)...
2015年浙江省高中数学竞赛试卷(word版,含答案)
2015年浙江省高中数学竞赛试卷(word版,含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015...2m ? 1 两 者之一为偶数,即为 2 2016 , 2 20165, 2 201652 , , 2...
2015年浙江省高中数学竞赛通知[1]
2015年浙江省高中数学竞赛通知[1]_学科竞赛_高中教育_教育专区。浙江竞赛通知2015 年浙江省高中数学竞赛 通知 2015 年浙江省高中数学竞赛由浙江省数学会组织举办, ...
2016浙江省高等数学竞赛试题(数学类)
2016 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题 (数学类)一、计算题(每小题 14 分,满分 70 分) 1.求极限 lim ln cos( n2 ? 1 ? n) , 其中n为正整数 。 n...
更多相关标签:
2016浙江省数学竞赛 | 2016年浙江省数学竞赛 | 浙江省数学竞赛 | 2016浙江省生物竞赛 | 全国中学生物理竞赛 | 2016数学竞赛获奖名单 | 浙江省高中数学竞赛 | 2016全国高中数学竞赛 |