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2013年高中数学竞赛辅导219


2013 年赣州一中高中数学竞赛辅导

第五讲
1.在△ABC 中,若 a ? 2 , b ? 2 A. 30 或 150
?

三角函数、解三角形(2)20130219
3 , B ? 600 ,则角 A 的大小为(
?

) C D. 60
?

?

B. 60 或 120

?

C. 30

?

2.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, tan A ?

1 3 10 , cos B ? . 若△ABC 最长的边为 1, 2 10

则最短边的长为(

)A.

2 5 5

B.

3 5 5

C.

4 5 5

D.

5 5

解:由 cos B ?

1 3 10 知 B 为锐角.? tan B ? 3 10

故 tan C ? tan( ? ? A ? B) ? ? tan( A ? B) ? ?

tan A ? tan B ? ?1 1 ? tan A ? tan B 由(1)知 ?C ? 135 ? ,故 c 边最长,即 c=1,又 tan A ? tan B ,故 b 边最短

b c c sin B 5 5 ? 得b ? 即最短边的长为 . ? sin B sin C sin C 5 5 ? ? ? ? 1 1 2 2 , 2 ), 则 a ? b 的取值范围 3.已知 A 为 ?ABC 的最小内角,若向量 a ? (cos A,sin A), b ? ( cos 2 A ? 1 sin A ? 2 1 1 2 1 2 是( ) A. (??, ) B. ( ?1, ) C. [ ? , ) D. [? , ??) 2 2 5 2 5

? sin B ?

10 2 , sin C ? 10 2

?由正弦定理

【解析】 a ? b ?

? ?

cos 2 A sin 2 A cos 2 A ? sin 2 A 1 ? tan 2 A 3 ? 2 ? ? ? ?1 , 2 2 2 2 2 cos A ? 1 sin A ? 2 2cos A ? sin A 2 ? tan A tan A ? 2

? ? ? ? 2 1 ? ? ? A ? (0, ] ? ? tan A ? (0, 3]? a ? b ? [? , ) .【答案】C 3 ? 5 2 ?
4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么( )B A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形

C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 解

两个三角形的内角不能有直角; ?A1 B1C1 的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形;若 ?A2 B2 C2 是

锐 角 三 角 形 , 则 不 妨 设 cos A1 =sin A2 =cos ?

?? ? ? A1 ? , ?2 ?
? B2 , C1 ?

cos B1 =sin B2 =cos ?

?? ? ? A2 ? , ?2 ?

cos C1 =sin C 2 =cos ?

?? ? ? C1 ? .则 ?2 ?

A1 ?

?
2

? A2 , B1 ?

?
2

?
2

? C2 ,



A1 ? B1 ? C1 ?

3? ? ( A2 ? B2 ? C 2 ) ,矛盾. 选 B. 2
1

A

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5.如图 1,锐角三角形 ABC 中,BE、CF 分别是 AC、AB 边上的高,则 S△AEF︰S△ABC=( A、Sin A 6.设方程
2


F

B

B、Cos A

2

C、tan A

2

D、不能确定 )
B E C

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线是( sin(192007 ) ? cos(192007 ) ?

(A)双曲线

(B)焦点在 x 轴上的椭圆

(C)焦点在 y 轴上的椭圆 (D)以上答案都不正确

解: 192007 ? 19 ? (192 )1003 ? 19 ? (360 ? 1)1003 ? 19(360n ? 1)(n ? N ? ) 于是, sin(192007 )? ? sin(360? 19n ? 19)? ? sin 19? ,同理 cos( 2007 )? ? cos19? 。 19 因为 cos19 ? sin 19 ? 0 ,故应选(C)
? ?

7.设 ? 为锐角, ? x

2sin ? cos ? sin ? ? cos ? , x, y, z 的大小顺序为 则 ( ) , y ? sin ? ? cos ? , z ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?
B 、 x ? z ? y;

A 、 x ? y ? z;
答案: A ;解:

C 、 z ? x ? y;

D 、 z ? y ? x;

x sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? ? ? ? 1, y sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

z?

2sin ? cos ? 2sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? y ,故 x ? y ? z . sin ? ? cos ? 2 sin ? cos ?
sin A cot C ? cos A 的取值范围是( C ) sin B cot C ? cos B 5 ?1 5 ?1 5 ?1 C. ( D. ( , ) , ??) 2 2 2

8.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则 A. (0, ??) B. (0,

5 ?1 ) 2 [解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq2 ,而 sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C s i n ? C ) ?s i n ( A( ? B )B s b n i ? ? ? ? ? q .因此,只需求 q 的取值范围. s i n ? C ) ?s i n ( B( ? A )A s a n i 因 a, b, c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a, b, c 要构成三角形的三边,必需且只需 a ? b ? c 且 b ? c ? a .即有不等式组

?1 ? 5 5 ?1 ?q? , ? ?a ? aq ? aq , ?q ? q ? 1 ? 0, ? ? ? 2 2 即? 2 解得 ? ? 2 ?aq ? aq ? a ?q ? q ? 1 ? 0. ? ? ?q ? 5 ? 1 或q ? ? 5 ? 1 . ? ? 2 2 5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ?q? 从而 ,因此所求的取值范围是 ( , ). 2 2 2 2 a?b?c ? 9.在△ABC 中,若 A ? 60 , a ? 3 ,则 sin A ? sin B ? sin C 等于
2 2

2

10.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则
2 2

A?

.30°
2

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11.在 △ ABC中,角 A, B, C 的对边长 a, b, c 满足 a ? c ? 2b ,且 C ? 2A ,则 sin A ? 12. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

7 . 4

a2 ? b2 =3. c2



切割化弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C sin A sin B sin( A ? B) ? ? ? ,亦即 , sin C cos C cos A cos B cos A cos C cos B cos C

sin A sin B cos C ab cos C a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 . 所以, ? 1 ,故 ?3. 即 =1,即 sin 2 C c2 2c 2 c2
13.函数 y ? sin x ? cos x (x ? R ) 的单调减区间是
2 答案:与 f(x)=y =1+|sin2x|的单调减区间相同,

.

[

Z. k? ? k? ? ? , ? ], k ? 2 4 2 2 .

变式.函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ( x ? R) 的最小值是 令 t ?| cos x |? [0,1] ,则 y ? t ? | 2t 2 ?1| .



1 9 2 ? t ? 1 时, y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ,得 4 8 2

2 ? y ? 2; 2

当 0?t ?

1 2 9 2 2 时, y ? ?2t ? t ? 1 ? ?2(t ? ) ? ,得 4 8 2

2 9 ? y ? ,又 y 可取到 2 8


2 2

, 故填

2 2



14.在 ?ABC 中, 若 9 cos 2 A ? 4 cos 2 B ? 5 , 则 15.若 ?ABC 为锐角三角形,满足

BC 的值为 AC

2 3

sin A ? cos( A ? B) ,则 tan A 的最大值为______. sin B

2 4

16.在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ?

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 S?ABC ? 8 3 ? 6 2 . 3
AC ? sin C ?8. sin B

解:在 ?ABC 中,由 tan B ? 3 得 B ? 60? .由正弦定理得 AB ?

因为 arcsin

1 2 2 ? 60? ,所以角 C 可取锐角或钝角,从而 cos C ? ? . 3 3 AC ? AB 2 3 sin A ? 8 3 ? 6 2 . ? .故 S ?ABC ? 2 3 6 3 c. 5

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

17.设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (1)求 tan A cot B 的值; (2)求 tan( A ? B) 的最大值.
3

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解析: (Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 2 4
18.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b 2 的取值范围. 解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B ,得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立).即 2C ? A ? B , 得 C ? ? . 3 (2)由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , ………………………………………8 分

故 a 2 ? b 2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2 B 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? . …………………11 分 ? 2? 3 3 2 ? ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤ 1 ,故 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 .……………14 分 2 4 2 3 3 3 3

19.设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 b cos C = (2a - c) cos B . (1)求 B 的大小; (2)求 sin A + sin C 的取值范围. 解: (I)由条件及正弦定理得 sin B cos C = (2sin A - sin C ) cos B

= 2sin A cos B - sin C cos B.

则 sin B cos C + sin C cos B = 2sin A cos B .

∴ sin( B + C ) = 2sin A cos B, 又 sin( B + C ) = sin A ? 0 , ∴ cos B = (Ⅱ)由 A+ B + C = p 及 B =
p 2 , 得 C = p - A. 3 3

1 p , 又 0< B< p , ∴ B = . 2 3

ì ? ? 0< A< p , ? ? 2 ? p p 又△ ABC 为锐角三角形,∴ í ? 2 p ∴ 6 < A< 2 . ? 0< p - A< . ? ? 3 2 ? ?
4

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2 3 3 sin A + sin C = sin A + sin( p - A) = sin A + cos A = 3 2 2

3 sin( A +

p ). 6

又 A+

p 6

p p 2 ( , p ) ,∴ sin( A + ) 6 3 3

(

3 , 1] . 2

∴ sin A + sin C

3 ( , 2

3] .

20.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q=( 2 a ,1) ,p=( 2b ? c , cos C )且 p // q .求: (I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式 解: (I)∵ p // q ,∴ 2a cos C ? 2b ? c ,

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C
根据正弦定理,得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C ,

又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C ,

? 1 1 3 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? ,又? 0 ? A ? ? ? A ? ;sinA= 3 2 2 2
(II)原式 ?

? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos2 C ? 2 sin C cosC , sin C 1 ? tanC 1? cosC

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ?
∵0 ? C ?

?
4

),

2 ? ? 13 2 ? ? sin(2C ? ) ? 1 , ? ,∴ ? ? 2C ? ? ? ,∴ ? 2 4 4 4 12 3

∴ ? 1 ? 2 sin(2C ?

?
4

) ? 2 ,∴ f (C ) 的值域是 (?1, 2 ] .

………12 分

5


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