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2013年中国数学奥林匹克竞赛(2013CMO)


2013 年中国数学奥林匹克竞赛(2013CMO)
第一天
考试时间 2013.01.12 8:00~12:30
一、如图,两个半径不相等的圆 K1 与 K 2 交于 A、B
K1 D K2 A

且线段 CD 两点, C、 D 两点分别在 K1 、 K 2 上, 以 A 为中点;延长 DB 交 K1 于点 E,延长
C

B

CB 交 K 2 于点 F。设线段 CD、EF 的中垂线分 别为 l1 , l2 ,证明: (1) l1 与 l2 相交

F E M

P

(2)若 l1 与 l2 的交点为 P,则三条线段 CA、AP、PE 能构成一个直角三角形

二、确定所有由整数构成的非空集合 S, 满足: 若 m, n ∈ S(m, n 可以相同) , 则 3m ? 2n ∈ S 三、求一切正实数 t ,具有下述性质:存在一个由实数组成的无限集合 X, 使得对任意 ,亦即任意实数 a 与正实数 d,均有 x, y, z ∈ X (这里 x,y,z 可以相同)

max{| x ? (a ? d ) |,| y ? a |,| z ? (a + d ) |} > td

第二天
考试时间 2013.01.13 8:00~12:30
四、给定整数 n ≥ 2 ,设 n 个非空有限集 A1 , A2 ,? , An 满足:对任意 i, j ∈ {1, 2,? , n} ,由

| Ai ?Aj |= | i ? j | ,求 | A1 | + | A2 | + ? | An | 的最小值
(这里, |X| 表示有限集合 X 的元素个数:对于集合 X,Y 规定

X ?Y = {a | a ∈ X , a ? Y } ∪ {a | a ∈ Y , a ? X } )
i 五、对正整数 n 及整数 i (0 ≤ i ≤ n) ,设 Cn ≡ c(n, i ) (mod 2) ,其中 c(n, i ) ∈ {0,1} ,并记

f (n, q ) = ∑ c(n, i )q i
i =0

n

设 m,n,q 为正整数,且 q+1 不是 2 的方幂,证明:若 f (m, q ) | f (n, q ) ,则对任意 正整数 r,由 f (m, r ) | f (n, r ) 六、给定正整数 m,n,求具有下述性质的最小整数 N (≥ m) :若一个 N 元整数集含有模 m 的完全剩余系,则它有一个非空子集,其元素和被 n 整除


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