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江西省南昌市2014届高三第一次模拟考试数学理试题(word版)


江西省南昌市 2014 届高三第一次模拟考试数学理试题 (word 版)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分. 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第

I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的
1.已知集合 A ? {x | x
2

A. (1, 2) 2.若

? x ? 2 ? 0} , B ? {x | y ? ln(1 ? x)} ,则 A ? B ? B. [?1,1) C. (?1,1) D. (1, 2]

?

?
2 0

(sin x ? a cos x) dx ? 2 ,则实数 a 等于
B.1 C. ? 2 D. 2

? ? ? ? ? ? ? ? 3.设 a, b 为向量,则“ | a ? b |?| a || b | ”是“ a // b ”的
2 4.下列命题:①若 f ( x ) ? 2 cos

A. ? 1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

x ? 1, 则 f ( x ? ? ) ? f ( x) 对 x ? R 恒成立;②要得到函 2 x ? x ? 数 y ? sin( ? ) 的图象, 只需将 y ? sin 的图象向右平移 个单位; ③若锐角 ? , ? 2 4 2 4
满足 cos ? ? sin ? ,则 ? ? ? ?

?

2

.其中是真命题的个数是 C. 2
2 2

A. 0

B. 1

D. 3

5.已知点 P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点,若 PF1 ? PF2 , 2 a b tan ?PF2 F1 ? 2 ,则椭圆的离心率 e ?

A.

5 3

B.

1 3

C.

2 3

D.

1 2

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 A. 1 B.

1 6

C.

1 3
2

D.

1 2
12

7.若 x ( x ? 3) ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) ? ? ? a12 ( x ? 2) ,
4 8

则 log2 (a1 ? a3 ? a5 ? ?? a11 ) 等于 A.27 B.28 C.7 D.8

?ABD 与 ?CBD 是全等的等腰直角三角形, O 为斜边 BD 8. 在三棱锥 C ? ABD 中 (如图) , 0 的中点, AB ? 4 , 二面角 A ? BD ? C 的大小为 60 ,并给出下面结论:①AC⊥BD ;
②AD⊥CO;③△AOC 为正三角形;④ cos ?ADC ?

⑤四面体 ABCD 的外接球面积为 32? .其中真命题是 A.②③④ B.①③④ C.①④⑤ D.①③⑤

3 ; 4
(?1) n ? 2014 , 且 an ? bn n
D. [?2,1]

9. 若数列 {an } ,{bn } 的通项公式分别是 an ? (?1)n?2013 ? a ,bn ? 2 ? 对任意 n ? N 恒成立,则常数 a 的取值范围是 A. (?2,1) B. [?2,1) C. (?2,1]
*

10. 已知定义在区间 [?3,3] 上的函数 y ? f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) ? 0 , 对于函数 y ? f ( x) 的图像上任意两点 ( x1 , f ( x1 )),( x2 , f ( x2 )) 都有 ( x1 ? x2 ) ?[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 . 若实数 a , b 满 足 f (a2 ? 2a) ? f (2b ? b2 ) ? 0 ,则点 ( a, b) 所在区域的面积为 A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 二、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅计分, 本题共 5 分. 11. (1) (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的参数方程是 ?

? x?t ,以原 (t 是参数) ? y ? t ?1 点为极点, x 轴的正半轴为极轴,圆 C 的极坐标方程为 ? ? ?6cos ? ,则圆心 C 到直线 l 的距离为 A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 3 2 (2)(不等式选做题)已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a .若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?,则实数 a 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

绝密★启用前

2014 届南昌市高三第三次模拟考试

理科数学
第Ⅱ卷
注意事项: 第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题上作答,答案无效. 三.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

2i 的模是 . 1? i 2 13.已知点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上的一个动点,则点 P 到直线 l : y ? x ? 2 的距离的最小
12.复数

值为_______. 14.在一次演讲比赛中,6 位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示,若去掉一个最高分和 一个最低分,得到一组数据 xi (1 ? i ? 4) ,在如图所示的程序框图中, x 是这 4 个数据中 的平均数,则输出的 v 的值为_______.

15. 从装有 n ? 1 个球 (其中 n 个白球, 1 个黑球) 的口袋中取出 m 个球 ? 0 ? m ? n, m, n ? N ? ,
m m 共有 Cn 在这 Cn 可以分成两类: 一类是取出的 m 个球全部为白球, ?1 种取法。 ?1 种取法中,
m 1 m?1 有 C10 ? Cn 种取法,另一类是取出一个黑球, m ? 1 个白球,有 C1 种取法,所以有 ? Cn m 1 m?1 m m m?1 m C10 ? Cn ? C1 ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ,即有等式: Cn ? Cn ?1 成立.试根据上述思想化简下

m 1 m?1 m?2 m? k 0 列式子: Ck ? Ck ? Cn ? Ck2 ? Cn ? ?? Ckk ? Cn ? ? Cn

. (1 ? k ? m ? n, k , m, n ? N )

四、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) ? ?1 1 ? ? 3 已知向量 a ? ? , sin x ? 与 b ? (1, y) 共线,设函数 y ? f ( x) . cos x ? ?2 2 ? 2 ? ? (1)求函数 f ( x) 的周期及最大值; (2)已知△ABC 中的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,若锐角 A 满足

? 13 3 f ( A ? ) ? 3 ,且 a ? 7 , sin B ? sin C ? ,求△ABC 的面积. 3 14
17. (本小题满分 12 分) 为了了解某校今年高三男生的身体状况, 随机抽查了部分男生, 将测得的他们的体重 (单位: 千克)数据整理后,画出了频率分布直方图(如图) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频 率之比为 1∶2∶3,其中第 2 小组的频数为 12. (1)求该校随机抽查的部分男生的总人数; (2)以这所学校的样本数据估计全市的总体数据, 若从全 市高三男生中任选三人,设 X 表示体重超过 55 千克的 学生人数,求 X 的数学期望. 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,且

an (an ? 1) (n ? N * ) . 2 (1)求数列 {an } 的通项公式; 2Sn (2)设 bn ? , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 Tn . (?2) n (n ? 1) Sn ?
19. (本小题满分 12 分) 在五边形 ABCDE 中(图一) , BD 是 AC 的垂直平分线, O 为垂 足. ED // AC , AE // BD , AB ? BC , P 为 AB 的中点.沿对角 线 AC 将四边形 ACDE 折起,使平面 ACDE ? 平面 ABC (图二) . (1)求证: PE ∥平面 DBC ; (2)当 AB ? 的正弦值;

2AE 时,求直线 DA 与平面 DBC 所成角

20. (本小题满分 13 分)

3 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,过椭圆 C 的右焦点 F2 (1,0) 的直线 l 2 a 2 b2 与椭圆 C 交于 M , N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; | AB |2 (2)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,且 MN // AB , W ? .试判断 W 是否为定 | MN | 值?若 W 为定值,请求出这个定值;若 W 不是定值,请说明理由. (1, ? ) 已知点 P 在椭圆 C :
21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ln x ,其图像经过点 (11) , ,且在点 (e , f (e)) 处的切线斜率为

3 ( e 为自然对数的底数) . (1)求实数 a 、 b 的值; f ( x) (2)若 k ? Z ,且 k ? 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1 (3)证明: 2ln 2 ? 3ln 3 ? ? ? n ln n ? (n ?1)2 (n ? N * , n ? 1) .

2014 届南昌市高三一模考试理科数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 1 2 3 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 9 B 10 A B A C 答案 二、选做题:本题共 5 分. 11. (1) B; 11. (2) A

三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 12. 2 ; 13. 2 ; 14. 5 ;
m 15. Cn ?k

四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解: (1)∵ a 与 b 共线,∴ 则 y ? f ( x) ? 2sin( x ? 当 x ? 2 k? ?

?

?

?
3

1 1 3 y ? ( sin x ? cos x) ? 0 ????????2 分 2 2 2

) ,∴ f ( x) 的周期 T ? 2? ,????????????4 分

?
6

, k ? Z 时, fmax ( x) ? 2 ??????????????????6 分

(2)∵ f ( A ? ∵0 ? A ?

?
3

) ? 3 ,∴ 2sin( A ?

?

? 3 ? ) ? 3 ,∴ sin A ? ?????7 分 3 3 2
a b c ? ? 得, sin A sin B sin C

?
2

,∴ A ?

?
3

.由正弦定理,得

sin B ? sin C ?

b?c 13 3 b ? c 3 sin A ,即 ,∴ b ? c ? 13 ??????9 分 ? ? a 14 7 2

由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 a2 ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc cos A ,
2 2 2

即 49 ? 169 ? 3bc ,∴ bc ? 40 ∴ S?ABC ?

?????????????????????11 分

1 1 3 bc sin A ? ? 40 ? ? 10 3 ????????????????12 分 2 2 2

17.解:(1)设抽查的人数为 n ,前三小组的频率分别 为 p1 、 p 2 、 p3 ,则

? p 2 ? 2 p1 ? ? p3 ? 3 p1 ? p ? p ? p ? (0.0375? 0.0125 )?5 ?1 2 3 ? 1 ? p1 ? 0.125 ? 解得 ? p 2 ? 0.25 ????????????????????????????4 分 ? p ? 0.375 ? 3
因为 p 2 ? 0.25 ?

12 ,所以 n ? 48 ????????????????????6 分 n 5 ,???????????????????8 分 8

(2)由(1)可得,一个男生体重超过 55 公斤的概率为

p ? p3 ? (0.0375 ? 0.0125 ) ? 5 ?
所以 X ~ (3 ,

5 ) 8 5 8 3 8

k k 3? k 所以 p ( X ? k ) ? C 3 ( ) ( ) , k ? 0 ,1,2,3 ?????????????10 分

随机变量 X 的分布列为(可不

写) :

X

0

1

2

3

p

27 512

135 512

225 512

125 512

27 135 225 125 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? 512 512 512 512 8 5 15 (或: EX ? 3 ? ? ) ????????????????????????12 分 8 8 a (a ? 1) a (a ? 1) , n ? N ? ,当 n ? 1 时, S1 ? 1 1 ,? a1 ? 1 ??1 分 18.解: (1) S n ? n n 2 2 2 ? ?2Sn ? an ? an 2 2 ? 2an ? 2( Sn ? Sn ?1 ) ? an ? an ? ?1 ? an ? an ?1 ???????3 分 2 2 S ? a ? a ? n ?1 n ?1 ? n ?1 所以 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0,? an ? an?1 ? 0 ??????????????5 分
则 EX ? 0 ?

? an ? an?1 ? 1, n ? 2 ,所以数列 {an } 是等差数列 ∴ an ? n …???????????????????????????????6 分

2Sn n(n ? 1) n ,∴ bn ? ??????????7 分 ? n 2 (?2) (n ? 1) (?2)n 1 2 n ?1 n ??????????????????8 分 ?Tn ? ? ??? ? 2 n ?1 ?2 (?2) (?2) (?2) n 2 n ?1 n ??????????????????9 分 ?2Tn ? 1 ? ??? ? n?2 ?2 (?2) (?2) n ?1 1 1 1 ? (? ) n 2 ? (? ) n ?1 1 1 n n 2 ? n ? 2 ∴ ?3Tn ? 1 ? ??? ? ? ? n ?1 n n 1 ?2 (?2) (?2) 3 (?2)n 1 ? (? ) (?2) 2 1 n ?1 2 ? (? ) n 3n ? 2 2 2 T ? ? ? ? ????????????????12 分 ∴ n n 3( ?2) 9 9( ?2) n 9 1 19. 解: (1)设 M 为 BC 中点,连 PM,DM 依题意, ED // AC 2 1 ∵P、M 分别为 AB、BC 的中点,∴ PM // AC 2
(2)由(1) S n ? ∴ ED//PM ,??????????3 分 ∴四边形 PMDE 为平行四边形,∴ EP // DM 又 DM ? 平面 DBC, PE ? 平面 DBC,∴ PE // 平面 DBC??????????5 分 (2)以点 O 为原点,直线 OA、OB、OD 所在直线分别为 x、y、z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设 | AE |? 2 ,则 A(2, 0, 0) 、 B(0, 2, 0)

C (?2, 0, 0) 、 D(0,0, 2) 、 E(2,0, 2) 、 P(1,1, 0) ???????????????6 分
所以 DA ? (2,0, ?2) 、 BC ? (?2, ?2,0) 、 DB ? (0, 2, ?2) ??????????7 分 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

??? ?

??? ? ?

??? ?

? ??? ? ? ?x ? y ? 0 ?n ? BC ? 0 则由 ? ? ??? ,得 ? ,????9 分 ? ?y ? z ? 0 ? ?n ? DB ? 0
? 令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?1 ,∴ n ? (1, ?1, ?1)

??? ? ? ??? ? ? DA ? n 6 ? ? ? , cos? DA, n? ? ??? ? DA ? ? ? n ? 3
∴直线 DA 与平面 DBC 所成角的正弦值为
6 .??????????????12 分 3

20. 解: (1)椭圆 C 的右焦点为 (1, 0) ,∴ c ? 1 ,椭圆 C 的左焦点为 (?1, 0)

可得 2a ? (1 ? 1) ? (? ) ? (1 ? 1) ? (? ) ?
2 2 2 2

3 2

3 2

5 3 ? ? 4 ,解得 a ? 2 , 2 2
x2 y2 ? ? 1 ????????4 分 4 3
2

∴ b ? a ? c ? 4 ? 1 ? 3 ∴椭圆 C 的标准方程为
2 2 2

2b 2 (2)①当直线斜率不存在时, | AB | ? (2b) ? 4b , | MN |? , a
2 2

所以 W ?

| AB |2 4b 2 ? ? 2a ? 4 .???????????????????? 6 分 | MN | 2b 2 a

②当直线斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , , ???????????????????8 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) .?10 分 ) ? 4( )] ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

| MN | = 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ] = (1 ? k 2 )[(

? x2 y 2 ?1 12 ? ? 由? 4 消去 y,并整理得: x2 ? ,??????????????11 分 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ? 设 A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ) ,则

48(1 ? k 2 ) 2 | AB | 3(1 ? k ) | AB | = 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 4 ,所以 W ? ? 3 ? 4k 2 ? 4 2 3 ? 4k | MN | 12(1 ? k ) 3 ? 4k 2 综上所述, W 为定值 4 . ???????????????????????? 13 分 21. 解:(1)∵ f (1) ? 1 ,∴ a ? 1 ,
2

2

此时 f ( x) ? x ? bx ln x , f ?( x) ? 1 ? b(1 ? ln x) 依题意 f ?(e) ? 1 ? b(1 ? ln e) ? 3 ,所以 b ? ?1 (2)由(1)知: f ( x) ? x+x ln x 当 x ? 1 时,设 g ( x) ? ????????????????3 分

f ( x) x ? x ln x x ? 2 ? ln x ? ,则 g ?( x) ? x ?1 x ?1 ( x ? 1)2

设 h( x) ? x ? 2 ? ln x ,则 h?( x ) ? 1 ?

1 ? 0 , h( x) 在 (1, ??) 上是增函数 x

因为 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0 , h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以,存在 x0 ? (3, 4) ,使 h( x0 ) ? 0 ??????????????????7 分,

x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (1, x0 ) 上为减函数;
同理 g ( x) 在 ( x0 , ??) 上为增函数 ,从而 g ( x) 的最小值为 g ( x0 ) ?

x0 ? x0 ln x0 ? x0 x0 ? 1

所以 k ? x0 ? (3 , 4) , k 的最大值为 3 ??????????????????10 分. (3)由(2)知,当 x ? 1 时,

f ( x) ? 3, x ?1

所以 f ( x) ? 3x ? 3 ,即 x ? x ln x ? 3 x ? 3 , x ln x ? 2 x ? 3 所以 2ln 2 ? 3ln 3 ? ? ? n ln n ? (2 ? 2 ? 3) ? (2 ? 3 ? 3) ? ? ? (2n ? 3)

? 2(2 ? 3 ? ? ? n) ? 3(n ?1) ? 2 ?

(n ? 1) (2 ? n) ? 3n ? 3 ? n2 ? 2n ? 1 2

? (n ? 1)2 ????????????????????????????????14 分


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