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高一数学竞赛寒假作业二


高一数学竞赛寒假作业二
班级 姓名 学号 1 . 一、填空题 1.已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? b}, a, b ? N,且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b ? 2.函数 f ( x) ?

6 x ?1 ]. 的值域为 [0, x ? 4x ? 7 6
2

3

.已知 3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1 , 3(sin ? ? cos? ) 2 ? 2(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ,则 cos 2(? ? ? ) ? ?

1 . 3

4.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边长 a, b, c 满足 a ? c ? 2b ,且 C ? 2 A ,则 sin A ?

7 . 4
p q

5.在△ ABC 中, AB ? BC ? 2 , AC ? 3 .设 O 是△ ABC 的内心,若 AO ? p AB ? q AC ,则

的值为

3 . 2
-5 .

5 5 ? x3 6.设 x1 , x 2 , x 3 是方程 x3 ? x ? 1 ? 0 的三个根,则 x15 ? x2 的值为

二、解答题 7.已知正实数 a, b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ,且 a 3 ? b 3 ? 1 ? m(a ? b ? 1) 3 ,求 m 的最小值. 解 令 a ? cos ? , b ? sin ? , 0 ? ? ?
m?

?
2

,则

cos3 ? ? sin 3 ? ? 1 (cos? ? sin ? )(cos2 ? ? cos? sin ? ? sin 2 ? ) ? 1 . ------------------------------? (cos? ? sin ? ? 1) 3 (cos? ? sin ? ? 1) 3

---------5 分 令
x ? cos? ? sin ?





x ? 2 sin(? ?

?
4

) ? (1, 2 ]





x 2 ?1 c ? so ? ? i s n .------------------------------10 分 2

于是
x(1 ? m? x 2 ?1 ) ?1 2 ? 3x ? x 3 2 ? x ? x 2 2? x 3 1 2 ? ? ? ? ? . 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 ( x ? 1) 3 2( x ? 1) 3 2( x ? 1) 2
3 1 ? 在 (1, 2 ] 上单调递减,所以 f ( 2 ) ? m ? f (1) . 2( x ? 1) 2

-----------------------

-------15 分 因为函数 f ( x) ? 因
f ( 2) ?


3 2 ?4 . 2



m











------------------------------------------20 分

8.设 f ( x) ? log a ( x ? 2a) ? log a ( x ? 3a) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 .若在区间 [a ? 3, a ? 4] 上 f ( x) ? 1 恒 成立,求 a 的取值范围. 解

f ( x )? l oa gx 2(? ax5 ? a 26? )

a

5a a2 . lx o? g [ ( 2? ) 2 4

]

由?

5a ? x ? 2a ? 0, 3 得 x ? 3a , 由题意知 a ? 3 ? 3a , 故a ? , 从而 (a ? 3) ? x ? 3 a ? 0 , 2 2 ?


3 ? (a ? 2) ? 0 , 2
调 递 增 .





5a g(x ? ) x?( 2

2

a2 ? ) 在 区 间 [a ? 3, a ? 4] 4





------------------------------------------5 分 (1) 若 0 ? a ?1, 则 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递减, 所以 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上 的最大值为 f (a ? 3) ? loga (2a 2 ? 9a ? 9) . 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x) ? 1 恒成立,等价于不等式 loga (2a 2 ? 9a ? 9) ? 1 成立, 从而 2a 2 ? 9a ? 9 ? a ,解得 a ? 结 0 ? a ?1. (2)若 1 ? a ?
5? 7 5? 7 或a ? . 2 2



0 ? a ?1



------------------------------------------10 分
3 ,则 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递增,所以 f ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 2

上的最大值为 f (a ? 4) ? log a (2a 2 ? 12a ? 16) . 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x) ? 1 恒成立,等价于不等式 log a (2a 2 ? 12a ? 16) ? 1 成立, 从而 2a 2 ? 12a ? 16 ? a ,即 2a 2 ? 13a ? 16 ? 0 ,解得 易 合. 综 知
13 ? 41 3 ? 4 2 13 ? 41 13 ? 41 . ?a? 4 4











(

上 0 .





,

1

)

------------------------------------------15 分 : 的 取 值 a ------------------------------------------20
2







9、设是 a, b, c, d 正整数,a , b 是方程 x 是整数且面积为 ab 的直角三角形.

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边长


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