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四川省广安市2014年高三第三次诊断考试数学(文科类)试题


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2014 年高 2011 级第三次诊断考试

数学试题(文史类)
注意事项: 1.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.本试卷分为试题卷(1—4 页)和答题卡两部分。试题卷上不答题,请将第Ⅰ卷选择题和第 Ⅱ卷非选择题的答案答在答题卡上的相应位置。考试结束,只交答题卡。 3.可能用到的公式:球的表面积 S=

4π R ,体积 V=

4 3 π R ,其中 R 为球的半径. 柱体的体积 3 1 n 1 V=Sh,锥体的体积 V= Sh,其中 S 为底面积,h 为高.数据 x1,x2,?,xn 的平均数 x ? ? xi , n i ?1 3 n 1 2 2 方差 s ? ? ( xi ? x) . n i ?1
2

第Ⅰ卷
注意事项:

(选择题 共50分)

必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.设 i 为虚数单位,则 (A)1-i

? 2i 等于 1? i
(C)-1+i (D)-1-i

(B)1+i
2

2.设集合 M ? {x x ? 2x ? 3 ? 0} , N ? {x log2 x ? 1} ,则 M ? N 等于 (A) {x ?1 ? x ? 3} (B) {x ?1 ? x ? 2} (C) {x 0 ? x ? 1} (D) {x 0 ? x ? 2} 3.设 ? 为平面,a、b 为两条不同的直线,则下列叙述正确的是 (A)若 a∥ ? ,b∥ ? ,则 a∥b (C)若 a⊥ ? ,a⊥b,则 b∥ ? 4.抛物线 y=-x 的准线方程为 (A)x=
2

(B)若 a⊥ ? ,a∥b,则 b⊥ ? ; (D)若 a∥ ? ,a⊥b,则 b⊥ ? .

1 4
(B)1 (B)2

(B)x= ?

1 4

(C)y=

1 4

(D)y= ?

1 4

5.已知向量 a=(-1,1),b=(2,x),若 a⊥(a + b),则实数 x 的值为 (A)0 (A)1 (C)2 (C)3 (D)4 (D)4
x

6.在等比数列{an}中,若 a2?a4?a12=64,则 a6 等于 7.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=3 ,则 f(log32)的值为 (A)-2 (B) ?

1 2

(C)

1 2

(D)2

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8.关于函数 f(x)=sinx(sinx-cosx)的叙述正确的是 (A)f(x)的最小正周期为 2π ? 3? (B)f(x)在 [? , ] 内单调递增 8 8 (C)f(x)的图像关于 (? ? ,0) 对称 8 (D)f(x)的图像关于 x ?

? 对称
8

9.如图,一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰 直角三角形和一个边长为 1 的正方形,则其外接球的表面积为 (A)π (B)2π (C)3π (D)4π 第 9 小题图

? 3x ? y ? a ? 2 10.已知实数 x,y 满足 ? ,则不等式 2 1?a ?1 ? a(a ? 2) 成立的概率是 2 2 ?x ? y ? 9
(A)

1 4

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

3 4

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上) 11.已知

sin ? ? cos? ? 3 ,则 tan 2? 等于________. sin ? ? cos?
?x ? y ? 2 y ,则 的取值范围是________. x ? x ? y ?1

12.执行右图程序,当输入 42,27 时,输出的结果是________. 13.若实数 x,y 满足 ?

14. 从总体中随机抽出一个容量为 20 的样本,其数据的分组及各组的频数 如下表,试估计总体的中位数为________. 分 组 频 数 15.已知函数 f ( x) ? 叙述中: ① ? a>0,函数 g(x)至少有 4 个零点; ②当 a=0 时,函数 g(x)有 5 个不同零点; ③ ? a∈R,使得函数 g(x)有 6 个不同零点; ④函数 g(x)有 8 个不同零点的充要条件是 0<a< [12,16) 4 [16,20) 8 [20,24) 5 [24,28) 3

INPUT a,b DO C=a-b A=b B=c LOOP UNTIL b<0 PRINT a END

x ( x ? 6) x ?1

2 ( x ? ?1) ,下列关于函数 g ( x) ? ? f ( x)? ? f ( x) ? a (其中 a 为常数)的

1 .其中真命题有________.(把你认为的真命题 4

的序号都 填上) . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题 12 分)在四边形 ABCD 中,AD⊥CD,AD=5,AB=7,∠BDA=60?,∠CBD=15?,求 BC 长.

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17.(本小题 12 分)盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字 1,2,3,4,5.现从中任 意抽出三张. (1)求三张卡片所标数字之和能被 3 整除的概率; (2)求三张卡片所标数字之积为偶数的条件下,三张卡片数字之和为奇数的概率.

18.(本小题 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60?,又 PA⊥底面 ABCD,E 为

BC 的中点. (1)求证:AD⊥PE; (2)设 F 是 PD 的中点,求证:CF∥平面 PAE.

19.(本小题 12 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a6,S8=S5+21. (1)求 Sn 的表达式; (2)求证:

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2(n ? N *) . S1 S 2 S3 Sn

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20.(本小题 13 分)已知 A、B 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的两点,且 AF ? ? FB ,其中 F 为椭圆的右焦点. 2

(1)当 ? ? 2 时,求直线 AB 的方程; (2)设点 M ( ,0) ,求证:当实数 ? 变化时, MA ? MB 恒为定值.

5 4

21.(本小题 14 分)已知函数 f(x)=x(x+a)-lnx,其中 a 为常数. (1)当 a=-1 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)是区间 ( ,1) 内的单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)过坐标原点可以作几条直线与曲线 y=f(x)相切?请说明理由.

1 2

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2014 年高 2011 级第三次诊断考试

数学试题(文史类)参考答案及评分意见
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 D 9 C
1?a

10 C

10. 提示: 根据直线与圆的位置关系

a?2 2

? 3 ,解得 a∈[-4,8].由不等式 2

? (1 ? a)2 得 2≤|1-a|

≤4 解得 a∈[-3,-1]∪[3,5],由几何概型及对立事件可得 P ? 1 ? 11.

4 2 ? . 12 3

4 3

12.9

13. ( ,3)

1 3

14.19

15.②④.

15.提示:数形结合可得:当 a>

1 1 1 时无零点;当 a= 时有 4 个零点;当 0<a< 时有 8 个零点;当 a=0 4 4 4

时有 5 个零点;当 a<0 时有 2 个零点. 2 2 2 16.解:在Δ ABCD 中,由余弦定理得 AB =AD +BD -2AD?BDcos60?, 2 即 BD -5BD-24=0,解得 BD=8.(6 分) 在Δ BCD 中,由正弦定理得: BC ?

BD sin ?BCD 8 sin 30? ? ? 4 2 .(12 分) sin ?BDC sin 135?

17.解:(1)事件总体中有 10 个基本事件:(123)(124)(125)(134)(135)(145)(234)(235) (245)(345),满足条件的有 4 个:(123)(135)(234)(345),故所求概率为 P ?

4 2 ? .(6 分) 10 5

(2)设“三张卡片所标数字之积为偶数”为事件 M,含 9 个基本事件(除(135)外),“三张卡片 数字之和为奇数”为事件 N,则 M?N 含 3 个基本事件((124)(234)(245)),故所求条件概率为

P( N M ) ?

n( M ? N ) 3 1 ? ? .(12 分) n( M ) 9 3

18.(1)证明:因为底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60?,且 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC.又 BC∥AD,所以 AE⊥AD.又 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥AD.于是 AD⊥平面 PAE,进而可得 AD⊥PE.(6 分) (2)证明提示:取 AD 的中点 G,连结 FG、CG,易得 FG∥PA,CG∥AE,所以平面 CFG∥平面 PAE,进 而可得 CF∥平面 PAE.(12 分.其它证法同理给分) 19.解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由已知得

?a ? d n( n ? 1) ? 3a1 ? 3d ? a1 ? 5d ,即 ? 1 ,解得 a1=d=1.故 S n ? .(6 分) ? 2 ?a1 ? 6d ? 7 ?8a1 ? 28d ? (5a1 ? 10d ) ? 21
(2)因为

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) ,所以 S n n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 ) ? 2 .(12 分) Tn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2(1 ? n ?1 2 2 3 n n ?1 20 .解:( 1 )由已知条件知 , 直线 AB 过椭圆右焦点 F (1,0) . 又直线 AB 不与 x 轴重合时 , 可设

AB : x ? m y ? 1 ,代入椭圆方程,并整理得 (2 ? m2 ) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 .

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? 2m ?1 , y1 y2 ? . 2 2?m 2 ? m2 2m ? 4m 又由 AF ? 2 FB 得 ? y1 ? 2 y2 ,所以 y1 ? , y2 ? . 2 2 ? m2 2?m
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由根与系数的关系得 y1 ? y2 ?

14 ? 8m 2 ?1 14 ,解之得 m ? ? .故直线 AB 的方程为 x ? ? y ? 1 ? 0 .(7 分) 2 2 2 7 7 (2 ? m ) 2?m 5 5 1 1 (2) MA ? MB ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ? (my1 ? )( my 2 ? ) ? y1 y2 4 4 4 4 m 1 1 ? m2 m2 1 ? (1 ? m 2 ) y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? ?? ? ? 2 2 4 16 2 ? m 2(2 ? m ) 16
于是

? 16(1 ? m2 ) ? 8m2 ? (2 ? m2 ) ? 14 ? 7m 2 7 ? ? ? 为定值. 2 2 16(2 ? m ) 16 16(2 ? m ) (经检验,当 AB 与 x 轴重合时也成立) (13 分) ?
2 21.解:(1)当 a=-1 时, f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 1 ? 2 x ? x ? 1 ? (2 x ? 1)(x ? 1) ( x ? 0) ,所以 f(x)在区间 (0,1) x x x 内单调递减,在 (1,??) 内单调递增.于是 f(x)有极小值 f (1) ? 0 ,无极大值.(4 分)

(2)易知 f ?( x ) ? 2 x ? a ?

1 1 在区间 ( ,1) 内单调递增,所以 x 2
1 1 1 ? 0 在 ( ,1) 内无解,即 f ?( ) ? 0 或 f ?(1) ? 0 ,解得 2 x 2
1 t

由题意可得 f ?( x ) ? 2 x ? a ?

实数 a 的取值范围是 (??,?1]? [1,??) .(8 分) (3)设切点 (t , t ? at ? ln t ) ,则切线方程为 y ? (2t ? a ? )( x ? t ) ? t 2 ? at ? ln t .
2

因为过原点,所以 0 ? (2t ? a ? )( ?t ) ? t 2 ? at ? ln t ,化简得 t ? 1 ? ln t ? 0 (※).
2

1 t

设 h(t ) ? t 2 ?1 ? ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t ? ? 0 ,所以 h (t ) 在区间 (0,??) 内单调递增. 又 h(1) ? 0 ,故方程(※)有唯一实根 t ? 1,从而满足条件的切线只有一条.(14 分)

1 t

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