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黄陂一中2014届高二年级下学期期中考试数学理科试题


黄陂一中2014届高二年级下学期期中考试 数 学 试 卷
时间:90分钟 总分:90分 编辑人:丁济亮

第Ⅰ卷
一、选择题(每小题5分,共50分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 1.设 a 是实数,且

a 1? i ? 是实数,则 a ? ( 1? i 2
B. 1

C.



A.

1 2

3 2

D. 2

2.如图是某花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一 个呈现出来的图形是( )

3.



数 学

归 纳

法 证
n


*

“ (n+1)(n+2) ??? (n+n)=2 ? 1 ? 3 ? 5 ??? (2n-1)(2n+1)(n ? N ) ”时,从 n =k 到 n =k +1 , 等式的左边需要增乘的代数式是 A. 2 k +1 B. ( C. )

2k +1 k +1

2k +3 k +1

D.

(2k +1)(2k +2) k +1
)种

4.若从 1, 2, 3,?10 这 10 个数中任意取 3 个数,则这三个数互不相邻的取法有(

A.20 B.56 C.60 D.120 5.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成功,则停 止发球,否则一直发到 3 次为止.设学生一次发球成功的概率为 p( p ? 0) ,发球次数为

X ,若 X 的数学期望 E ( X ) ?
A. (0,

7 ,则 p 的取值范围是( 4
C. (0, )
*

)

7 ) 12
n

B. (

7 ,1) 12

1 2

D. ( ,1)

1 2

6. (1 ? ax ? by) (a, b 为常数, , b ? N ) 的展开式中不含 x 的项的系数和为 243, n 的 则 a 值为( A.3 ) B.4 C.5 D.6

7.定积分

? ? cos
2 ? 2

?

2

xdx 等于

(

)

A.

? ?2
4

B.

? ?1 2

C.

? ?1 4


D.

? 2

8.下列不等式对任意的 x ? (0, ??) 恒成立的是( A. x ? ln(1 ? x ) B. x ? x ? 0
2

C. sin x ? ? x ? 1

D. e ? ex
x

9.定义在 (0, ??) 上的单调递减函数 f ( x ) ,若 f ( x ) 的导函数存在且满足 下列不等式成立的是 A. 3 f (2) ? 2 f (3) B. 3 f (4) ? 4 f (3)

f ( x) ? x ,则 f ' ( x)

( ) C. 2 f (3) ? 3 f (4) D. f (2) ? 2 f (1)

10.已知函数 f ( x ) ? [ x 2 ? (2a ? 2) x ? 2 ? 2a ? b]e x (a, b ? R) 在区间 [?1, 3] 上是减函 数,则 a ? b 的最小值是( A.4 B.2 ) C.

3 2

D.

2 3

第Ⅱ卷
二、填空题(每题5分,共25分。把答案填在题中横线上) 11. 已知函数 f(x) = ln(3x)+ 8x ,则 lim

? x ?0

f (1 ? 2? x ) ? f (1) ? ?x



12. 某学校新来了4名学生,学校准备把他们分配到甲、乙、丙3个班级,每个班级至少分 配1人,其中学生A不分配到甲班的分配方案种数是___________。 13. 已 知 离 散 型 随 机 变 量 ? 的 分 布 列 如 右 表 ,

?
P

-1

0

1

2
1 12

E? ? 0, D? ? 1 ,则 a ? b ? ____________。

a

b

c

14. 已 知 复 数 z1 ? m ? (4 ? m )i(m ? R), z2 ? 2cos? ? (? ? 3sin? )i(? ,? ? R) , 并 且
2

. z1 ? z2 ,则 ? 的取值范围 ??? ? ??? ? 15. 已知对任意平面向量 AB ? ( x, y ) ,把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转 ? 角得到向量: .....

??? ? AP ? ( x cos? ? y sin? , x sin? ? y cos? ) ,叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋转 ? 角得
到点 P .

(1)已知平面内点 A(1, 2) ,点 B(?1, 2 ? 2 3) ,把点 B 绕点 A 顺时针方向旋转 点 P 的坐标是 (2)设平面内曲线 C : y ? ? 轨迹方程是: .

?
3

后得到

1 ? 上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转 后得到的点的 2x 4
.

三、解答题(共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)已知 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? (1 ? x)3 ? ? ? (1 ? x)n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2

?? ? an xn (n ? N * )
(Ⅰ)若 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? 29 ? n ,求 n 的值 (Ⅱ)求 a3 (用 n 表示)

17. (本小题满分12分) 袋子中装有大小形状完全相同的 m 个红球和 n 个白球, 其中 m , n 满 足 m ? n ? 2 且 m ? n ? 10(m, n ? N ) ,若从中取出2个球,取出的2个球是同色的概
*

率等于取出的2个球是异色的概率. (Ⅰ)求 m , n 的值; (Ⅱ)从袋子中任取 3 个球,设取到红球的个数为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望.

18. (本小题满分 12 分) (本小题满分 12 分)某工厂生产并销售某高科技产品,已知生产 该产品的固定成本是 1200 (单位:万元),生产成本 c (单位:万元)与生产的产品件数 万件)的立方成正比; 元)的平方与生产的产品件数 x (单 x (单位: ..... 该产品单价 p (单位: .. 位:万件)成反比 ,现已知生产该产品 100 万件时,其单价 p ? 50 元,生产成本 ..

c?

8 ? 104 万元.且工厂生产的产品都可以销售完。设工厂生产该产品的利润为 3

f ( x ) (万元)(注:利润=销售额-固定成本—生产成本)

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x ) 的表达式. (Ⅱ)当生产该产品的件数 x (万件)为多少时,工厂生产该产品的利润最大.

19. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? ax,g( x) ? xf ( x) (Ⅰ)若 a ?

1 ,求 g ( x ) 的单调区间; 2

(Ⅱ)若当 x ? 0 时 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分)首项为正数的数列{ an }满足 an ?1 ?

1 2 (a ? 3), n ? N * . 4 n

(Ⅰ)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2 , an 都是奇数; (Ⅱ)若对一切 n ? N* ,都有 an?1 ? an ,求 a1 的取值范围。

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? 2a ln x ? x ?

1 ,( a ? R, 且a ? 0 ); x

g( x) ? ? x2 ? x ? 2 2b(b ? R)
(Ⅰ)若 f ( x ) 是在定义域上有极值,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ?

2 时,若对 ?x1 ? ?1, e? ,总 ?x2 ? ?1, e? ,使得 f ( x1 ) ? g( x2 ) ,求实

数 b 的取值范围.( 其中 e 为自然对数的底数) (Ⅲ)对 ?n ? N , 且n ? 2 ,证明:

ln(n !)4 ? (n ? 1)(n ? 2)

理数参考答案 一、BADBC CDAAB 12. 24 13.

二、11. -18 15. ( ?3, 2) 三、 16.(Ⅰ) n ? 4
4

2 3

14. ?

9 ???7 16

(2分)

x 2 ? y 2 ? 1 (3分)

??6分

(Ⅱ) a3 ? C n ?1 ?

( n ? 1)n( n ? 1)( n ? 2) ??12分 24

2 2 1 1 Cm ? Cn CmCn 17.(Ⅰ)依题意有 ? 2 ,即 (m ? n)2 ? m ? n , 2 Cm ? n Cm ? n

则 m ? n 是完全平方数 又 m ? n ? 2 且 m ? n ? 10(m, n ? N * ) 则 m ? n ? 9, m ? n ? 3 (Ⅱ) ? 的取值为 0,1, 2, 3
3 C3 1 P (? ? 0) ? 3 ? C9 84 1 2 C3 C6 15 ? 3 C9 28 2 1 C 3 C6 3 P (? ? 1) ? ? 3 C9 14 3 C6 5 ? 3 C9 21

??2 分

? m ? 6, n ? 3

??5 分 ??6 分

P (? ? 2) ?

P (? ? 3) ?

??10 分

? 的分布列为
?
P 0 1 2 3

1 84

3 14

15 28

5 21

? E? ? 0 ?

1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 84 14 28 21
,代入 x ? 100, p ? 50, c ?

??12 分

18. (Ⅰ)依题意:设

c ? k1 x 3 , p 2 ?

k2 x

8 ? 104 得: 3

k1 ?
分)

2 , k2 ? 25 ? 104 , 75

??????????(3

2 3 500 ?c ? x ,p? 75 x
分) (Ⅱ)f ?( x ) ?

,故 f ( x ) ? 500 x ? 1200 ?

2 3 x 75

????????(6

250 x

?

6 2 250 6 2 则 x , f ?( x ) ? 0 ? ? x ? 0 ? x ? 25 75 x 75

(10 分)

所 以 函 数 f ( x ) 在 (0, 25)上递增,在 2 5 , + ?)上递减 , 所 以 函 数 f ( x ) 在 (

x ? 25 处有极大值;因为 f ( x ) 在 (0, ??) 上只有唯一极值,所以函数 f ( x ) 在

x ? 25 处 有 最 大 值 ; 故 当 生 产 该 产 品 25 万 件 时 , 可 以 获 得 最 大 利
润 19. (Ⅰ) a ? ????(12 分)

1 2 1 x 时, g( x ) ? x(e ? 1) ? x , g?( x ) ? (e x ? 1)( x ? 1) 2 2

当 x ? ( ??, ?1) ? (0, ?? ) 时, g?( x ) ? 0 ;当 x ? ( ?1,0) 时, g?( x ) ? 0 ; 故 g ( x ) 在 ( ??, ?1),(0, ?? ) 上单调递增,在 x ? ( ?1,0) 上单调递减. (Ⅱ) f ?( x) ? e ? a ,
x

??6 分

若 a ? 1 ,则当 x ? (0, ?? ) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 为增函数,而 f (0) ? 0 ,从而当 x≥ 0 时 f ( x) ? 0 ; 若 a ? 1 ,则当 x ? (0,ln a ) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 为减函数,而 f (0) ? 0 ,从而当

x ? (0,ln a ) 时 f ( x ) ? 0 .
综上得 a 的取值范围为 ( ?? ,1] .??12 分 20. (Ⅰ)已知 a1 是奇数,假设 ak ? 2m ? 1 是奇数,其中 m 为正整数, 则由递推关系得 ak ?1 ?

ak 2 ? 3 ? m( m ? 1) ? 1 是奇数。 4

w.w.w .k.s. 5.u.c .o.m

根据数学归纳法,对任何 n ? N ? , an 都是奇数。??6 分 (Ⅱ) (方法一)由 an ?1 ? an ?

1 (a ? 1)(an ? 3) 知, an?1 ? an 当且仅当 an ? 1 或 an ? 3 。 4 n

另一方面,若 0 ? ak ? 1, 则 0 ? ak ?1 ?

1? 3 32 ? 3 ? 1 ;若 ak ? 3 ,则 ak ?1 ? ? 3. 4 4

根据数学归纳法, 0 ? a1 ? 1, ? 0 ? an ? 1, ?n ? N ? ; a1 ? 3 ? an ? 3, ?n ? N ? . 综合所述,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。??13 分 (方法二)由 a2 ?

a12 ? 3 ? a1 , 得 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0, 于是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。 4

an 2 ? 3 an?12 ? 3 (an ? an?1 )(an ? an?1 ) an ? 1 ? an ? ? ? , 4 4 4
因为 a1 ? 0, an?1 ?

w .w.w. k.s.5 .u.c. o.m

an 2 ? 3 , 所以所有的 an 均大于 0,因此 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号。 4

根据数学归纳法, ?n ? N ? , an?1 ? an 与 a2 ? a1 同号。 因此,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1 或 a1 ? 3 。??13 分 21.(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 ? 0,?? ? ,要 f ( x ) 在定义域内有极值,则

f ?( x ) ?

? x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两不等正根, 2 x
???????(4 分)

a?0 ? ?? 2 ?a?1 2 ? ?a ? 2a ? 1 ? 0
(Ⅱ) f ( x ) ? 2 2 ln x ? x ?

1 , 要对 ?x1 ? ?1, e? , ?x2 ? ?1, e? , 总 使得 f ( x1 ) ? g( x2 ) x
? x2 ? 2 2 x ? 1 ? 0 ? 2 ?1 ? x ? 2 ?1 得 x2

则只需 fmax ( x) ? gmax ( x) ,由 f ?( x ) ?

函数 f ( x ) 在 (1, 2 ? 1)上递增,在 2 ? 1, e)上递减,所以函数 f ( x ) 在 x ? 25 处 ( 有最大值; ????????????????(6 分)

fmax ( x) ? f ( 2 ? 1) ? 2 2 ln( 2 ? 1) ? 2 ;又 g ( x ) 在 (1, e )上递减,
故 gmax ( x) ? g(1) ? 2 2b ? 2 故有 2 2b ? 2 ? 2 2 ln( 2 ? 1) ? 2 ? b ? ln( 2 ? 1) (Ⅲ) a ? 1 时, f ( x ) ? 2 ln x ? x ? 当 ??(9 分)

1 ? x2 ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立, f ( x ) 在 , f ?( x ) ? 故 x x2

定义域 ? 0,?? ? 上单调递减,故当 x ? 1 时, f ( x ) ? 2ln x ? x ?

1 ? f (1) ? 0 x

即 2 ln x ? x ?

1 x

????????????????(12 分)

所以对 ?n ? N , 且n ? 2 ,总有 2 ln n ? n ?

1 ? n ,故有 n ( n ? 2)( n ? 1) ? ln( n !)4 ? ( n ? 1)( n ? 2) 2
? ? ? ? ? ? (14

2(ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n) ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 ln( n !) ?

分)


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