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上教版高二数学教案——共轭复数运算


共轭复数及其四则运算
教学目标:1.掌握共轭复数概念及其性质; 2.通过对共轭复数加法,乘法运算的证明进一步体会复数问题转化为实数问题 的思想方法。 3.会运用四则运算及性质证明复数为实数。 教学重点:共轭复数的四则运算及性质 教学难点:合理利用共轭复数性质解决问题 教学过程: 一、复习引入 复习共轭复数的概念:实部相等,虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数。即

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z ? a ? bi.z ? a ? bi(a, b ? R)
二、新课讲授 引例: z1 ? 3 ? 2i, z2 ? 4 ? 3i ,计算 z1 ? z2 和 z1 ? z2 (学生计算) (提问学生)发现: z1 ? z2 ? z1 ? z2 (教师提出问题)对任意的两个复数,是否具有上述性质?更一般的,对任意两个复数,上 述性质对减法,乘法,除法是否也成立?(引出课题) 共轭复数的四则运算: (1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 (2) z1 ? z2 ? z1 ? z2 (3) ?

? z1 ? z1 ? ? ( z2 ? 0) ? z2 ? z2

(先验证(1) ,得出加法运算法则,类比让学生写出剑法,乘法,除法运算法则,再证明乘 法法则) 验证(1)设 z1 ? a1 ? b1i , z2 ? a2 ? b2i (a1 ,b1 , a2 ,b2 ? R ) ,

z1 ? z2 ? a1 ? bi 1 ? a2 ? b2i ? (a1 ? a2 ) ? (b 1 ? b2 )i ? (a1 ? a2 ) ? (b 1 ? b2 )i z1 ? z2 ? a1 ? bi 1 ? a2 ? b2i ? a1 ? bi 1 ? a2 ? b2i ? (a1 ? a2 ) ? (b 1 ? b2 )i
即 z1 ? z2 ? z1 ? z2 同样可得到其他性质的证明。 注:1.可把求复数的共轭复数作为一种运算,那么复数的四则运算法则实际上实现了四则运 算与求共轭复数运算的交换。 2.共轭复数加法,乘法运算可推广到 n 个,如:

z1 ? z2 ?

? zn ? z1 ? z2 ?

? zn

z1 ? z 2?

? zn ? z 1 ? z ?2 ?zn

3.特别:① z n ? ( z)n , n ? N ? , 三、例题 例 1:判断正误

② k ? z ? k ? z(k ? R)

(1) z ? z 是实数。 (性质: z ? z ? 2a ? R ) (2)如果 z1 ? z2 是实数,那么 z1 , z2 互为共轭复数; (3) z 为实数,则 z ? z (即实数的共轭复数是它本身) (4) z 为纯虚数,则 z ? ? z ; (5) z ? z 为纯虚数; 解: (1)正确。设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,则 z ? z ? a ? bi ? a ? bi ? 2a ? R (2)错误。因为只要 z1 , z2 的虚部互为相反数即可。反例 z1 ? 2 ? i, z2 ? 3 ? i (3)正确。设 z ? a ,则 z ? a (4)正确。设 z ? bi,(b ? 0) ,则 z ? ?bi ? ? z (5) 错误。 设 z ? a ? bi,(a, b ? R) , 当 b ? 0 时为纯虚数, 当 b ? 0 时, z ? z ? 2bi , z?z ?0 共轭复数的一些重要性质: (1) z ? z ? R (2) z ? z 为纯虚数或零

由例 1 中(3) (4)分别可得 z 为实数和纯虚数时 z , z 的关系,那么反过来 z , z 满足上述条 件,能否得到 z 为实数和纯虚数。推导出两个重要性质: (3) z ? R ? z ? z ? 0 (4) z 为纯虚数 ? z ? 0且z ? z ? 0

例 2:已知复数 z 满足 z ? 1,求证: z ? 解: 法一:求出 z ?

1 是实数。 z

1 的虚部,利用复数是实数充要条件是虚部为零解决。 z

设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,

1 1 a ? bi 2 2 ? (a ? bi ) ? ? (a ? bi ) ? 2 ,∵ z ? 1 ? a ? b ? 1 2 z a ? bi a ?b 1 所以 z ? ? 2a 为实数。 z z?
法二:提示学生 z ? z ? z ,让学生思考如何利用? 设 z ? a ? bi,(a, b ? R) , z z ? z ? 1
2 2

所以 z ?

1 z z ? z? ? z ? 2 ? z ? z ? 2a 为实数。 z z?z z

法三:利用复数为实数的另一个充要条件 z ? z 只要证 z ?

1 1 ? z? z z

1 1 1 1 z?z z? ?z? ? z?z? ? ? z?z? ? z?z?z?z ?0 z z z z z?z
所以 z ?

1 是实数。 z
2

比较:法一是复数问题的常规解法,把复数问题转化成实数运算来解决。 法二法三均灵活运用了 z ? z ? z 这一重要性质, 法三同时还运用了复数为实数的充要条件, 较注重技巧,起到简化运算的效果。 变化:题目改为已知虚数 z 满足 z ? 法一:设 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,

1 是实数,求证 z ? 1,可以怎么解决? z

1 1 a ? bi a b ? (a ? bi ) ? ? (a ? bi ) ? 2 ? (a ? 2 ) ? (b ? 2 )i 2 2 z a ? bi a ?b a ?b a ? b2 b 1 ? 0 ,∵ z 为虚数, b ? 0 ,∴ 1 ? 2 ? 0即 为实数,∴ b ? 2 2 a ?b a ? b2 z?

a 2 ? b2 ? 1 ,即 z ? 1
法二: z ?

1 1 1 为实数,则 z ? ? z ? ? 0 z z z

1 1 z?z 1 1 ? z?z? ? ? z?z? ? ( z ? z )(1 ? ) ? ( z ? z )(1 ? 2 ) ? 0 z z z?z z?z z

z 为虚数,∴ z ? z ? 0 ,即 1 ?

1 z
2

? 0 ? z ?1
z ?1 为纯虚数。 z ?1

课后练习:若 z 为虚数,且 z ? 1,求证:

四、小结: 本节课学习了共轭复数四则运算以及有关共轭复数的一些性质, 要知道判断一个复数是实数 还是纯虚数我们可以有的一些手段, 同时能利用性质和运算法则解决一些证明复数为实数的 问题。 五、反思:


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