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1.1.1集合的含义与表示 第2课时 课件(人教A版必修1)


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第 2 课时 集合的表示

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(教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 (1)掌握集合的表示方法——列举法和描述法; (2)能进行自然语言与集合语言间的相互转换.



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2.过程与方法 (1)教学时不仅要关注集合的基本知识的学习,同时还要关注 学生抽象概括能力的培养; (2)教学过程中应努力培养学生的思维能力,提高学生理解掌 握概念的能力,训练学生分析问题和处理问题的能力. 3.情感、态度与价值观 培养数学的特有文化——简洁精练,体会从感性到理性的思 维过程.

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●重点难点 重点:用集合语言(描述法)表达数学对象或数学内容. 难点:集合表示法的恰当选择. (1)重点的突破:以教材中的思考为切入点,让学生感知列举 法表示集合不足的同时,顺其自然的引出集合的另一种方法—— 描述法,然后通过具体实例说明描述法的特点及书写形式,必要 时可通过题组训练,让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的 各种疑点,教师给予适当点拨,从而化难为易;

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(2)难点的解决:本节课不仅要让学生学习两种表示法,同时 还要让学生体会如何恰当选择表示法表示集合.为此,可通过实 例多角度启发学生关注知识间的联系与区别,并借助两种方法表 示集合的优缺点总结出表示法选择的规律 ——在元素不太多的情 况下,宜采用列举法;在元素较多时,宜采用描述法表示.

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1.掌握集合的两种表示方法——列 举法、描述法.(重点) 课标 2.能够运用集合的两种表示方法 解读 表示一些简单集合.(重点、难点 )

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【问题导思】 设集合 M 是小于 5 的自然数构成的集合, 集合 M 中的元素能 一一列举出来吗?
【提示】 能.

0,1,2,3,4.列举法的定义:把集合的元素 一一列举 出来,并用

花括号“{}” 括起来表示集合的方法叫做列举法.

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【问题导思】 1. “绝对值小于 2 的实数”构成的集合, 能用列举法表示吗?
【提示】 不能.

2.设 x 为该集合的元素,x 有何特征? 【提示】 |x|<2.

3.如何表示该集合? 【提示】 {x∈R||x|<2}

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1.定义: 用集合所含元素的 共同特征 表示集合的方法叫描述 法. 2.具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符

号 及 取值(或变化)范围 ,再画一条竖线,在竖线后写出这个集
合中元素所具有的 共同特征 .

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用列举法表示下列集合: (1)方程 x2-1=0 的解构成的集合; (2)由单词“book”的字母构成的集合; (3)由所有正整数构成的集合; (4)直线 y=x 与 y=2x-1 的交点组成的集合.

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【思路探究】 先分别求出满足要求的所有元素,然后用列

举法表示集合. 【自主解答】 (1)方程 x2-1=0 的解为-1,1, 所求集合为{-

1,1}; (2)单词“book”有三个互不相同的字母,分别为“b”、“o”、“k”, 所求集合为{b,o,k}; (3)正整数有 1,2,3,?,所求集合为{1,2,3,?};
? ?y=x, (4)方程组? ? ?y=2x-1 ? ?x=1, 的解是? ? ?y=1,

所求集合为 ?1,1? .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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1.用列举法表示集合,要分清是数集还是点集,如本例 (1) 是数集,本例(4)是点集. 2.使用列举法表示集合时应注意以下几点: (1)在元素个数较少或有(无)限但有规律时用列举法表示集合, 如集合:{1,2,3},{1,2,3,?,100},{1,2,3,?}等. (2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,” 隔开,而不能用“、”;元素无顺序,满足无序性.

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用列举法表示下列集合. (1)我国现有直辖市的全体. (2)绝对值小于 3 的整数集合. ? ?y=x-1 (3)方程组? 2 4 的解集. y=-3x+3 ? ?

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【解】 (1){北京,上海,天津,重庆}; (2){-2,-1,0,1,2}; y=x-1, (3)方程组 y=-2x+4 3 3 7 x= , 5 的解是 2 y= , 5

? 7 2 ??. 所求集合为 ? ?? , ? ? ?? 5 5 ? ?

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用描述法表示下列集合: (1)不等式 3x-2≥0 的解构成的集合; (2)偶数集; (3)平面直角坐标系中,第一象限内的点的集合.
【思路探究】

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【自主解答】

(1)A={x|3x-2≥0}或

? 2? A=?x|x≥3?; ? ?

(2)B={x|x=2k,k∈Z}; (3){(x,y)|x>0,y>0,且 x,y∈R}.

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1.用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、 点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而 点集则用一个有序实数对来代表其元素. 2.若描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母说明 其含义或指出其取值范围,如本例(2).

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把本例(2)换成“{2,4,6,8,10}”如何求解? 【解】 该集合用描述法表示为 B={x|x=2k,1≤k≤5 且 k∈ Z}.

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用适当的方法表示下列集合:
? ?2x-3y=14, (1)方程组? ? ?3x+2y=8

的解集;

(2)1000 以内被 3 除余 2 的正整数所组成的集合; (3)所有的正方形; (4)抛物线 y=x2 上的所有点组成的集合.

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【思路探究】 示集合. 依据集合中元素的个数,选择适当的方法表
? ?2x-3y=14, (1)解方程组? ? ?3x+2y=8, ? ?x=4, 得? ? ?y=-2,

【自主解答】 解集为{(4,-2)};



(2)集合的代表元素是数 x,集合用描述法表示为{x|x=3k+2, k∈N 且 x<1000}; (3)集合用描述法表示为{x|x 是正方形},简写为{正方形}; (4)集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2}.
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1.本例(1)在集合的表示时,常因不明白方程组解的含义,导 致出现以下两种错误表示:{4,-2}和{x=4,y=-2}. 2.当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时,常用列 举法表示集合;当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时,常 用描述法表示.对一些元素有规律的无限集,也可以用列举法表 示,如正偶数集也可写成{2,4,6,8,10,?}.

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有下面六种表示方法:
? ? ?x=-1 ? ?; ①{x=-1,y=2};②??x,y?|? ? ?y=2 ? ?

③{-1,2}; ④(-1,2); ⑤{(-1,2)};⑥{x,y|x=-1 或 y=2}.
? ?2x+y=0, 其中能正确表示方程组 ? ? ?x-y+3=0

的解集的是________ ,

(把所有正确的序号都填在横线上)
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【解析】

? ?2x+y=0, ∵方程组? ? ?x-y+3=0

? ?x=-1, 的解为? ? ?y=2,

∴该方程组的解集应为点集,其正确形式是②⑤.
【答案】 ②⑤

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分类讨论思想在集合表示法中的应用 (12 分)集合 A={x|kx2-8x+16=0},若集合 A 只有 一个元素,试求实数 k 的值,并用列举法表示集合 A.
【思路点拨】

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【规范解答】

(1)当 k=0 时,

原方程变为-8x+16=0, x=2. 此时集合 A={2}. 2分 4分

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(2)当 k≠0 时,要使一元二次方程 kx2-8x+16=0 有两个相等 实根. 只需 Δ=64-64k=0, 即 k=1. 此时方程的解为 x1=x2=4, 集合 A={4}, 满足题意. 时,A={4}. 10 分 12 分 综上所述,实数 k 的值为 0 或 1.当 k=0 时,A={2};当 k=1 8分 6分

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1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共 同特征是解题的切入点. 2.本题因 kx2-8x+16=0 是否为一元二次方程而分 k=0 和 k≠0 而展开讨论,从而做到不重不漏. 3.集合与方程的综合问题,一般要求对方程中最高次项的系 数的取值进行分类讨论, 确定方程的根的情况, 进而求得结果. 需 特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.

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1. 表示一个集合可以用列举法, 也可以用描述法, 一般地,若集合元素为有限个,常用列举法,集合元素 为无限个多用描述法. 2.处理描述法给出的集合问题时,首先要明确集 合的代表元素, 特别要分清数集和点集; 其次要确定元 素满足的条件是什么.

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1.使不等式 x>2 成立的实数 x 的集合可表示为( A.{x>2} C.{3,4,5,?}
【解析】 2}.
【答案】 D

)

B.{x>2|x∈R} D.{x∈R|x>2}

使不等式 x>2 成立的实数 x 的集合表示为{x|x>

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2.直线 y=2x+1 与 y 轴的交点所组成的集合为( A. 0,1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

)

B.{(0,1)}
?? 1 ?? D.??-2,0?? ?? ??
? ?y=2x+1 解方程组? ? ?x=0 ? ?x=0 得? ? ?y=1

? 1 ? C.?-2,0? ? ?

【解析】

故集合为{(0,1)}
【答案】 B

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3.下面四种说法正确的有________个. ①10 以内的合数构成的集合是{0,2,4,6,8,9}; ②由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}; ③方程 x2-2x+1=0 的解集是{1}; ④0 与{0}表示同一个集合.

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【解析】

①不正确,∵0 和 2 不是合数;

②正确,用列举法表示集合,其元素无顺序可言; ③正确,因为方程 x2-2x+1=0 有且只有一个解 x=1; ④不正确,{0}表示一个集合,其元素只有一个 0,故{0}与 0 不同.
【答案】 2

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4.分别用描述法和列举法表示下列集合: (1)方程 x2-x-2=0 的解组成的集合; (2)大于 1 且小于 5 的所有整数构成的集合.

【解】 (1)描述法表示集合为{x|x2-x-2=0}; 由于方程 x2-x-2=0 的两解分别是-1,2,故方程的解组成 的集合可用列举法表示为{-1,2}; (2)描述法表示集合为{x|x 是大于 1 且小于 5 的整数};列举法 表示为{2,3,4}.
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(教师用书独具)

用适当的方法表示下列集合: (1)由大于 5,且小于 9 的所有正整数组成的集合; (2)方程 x2+y2-4x+6y+13=0 的解集; (3)不等式 2x+3≥0 的解组成的集合; (4)抛物线 y=-x2 上的所有点组成的集合.

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【思路探究】

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【规范解答】 (1){6,7,8};

(2)方程 x2+y2-4x+6y+13=0 可化为
? ?x=2, 2 2 (x-2) +(y+3) =0,∴? ? ?y=-3.

∴方程的解集可表示为{(2,-3)}; (3){x|2x+3≥0}; (4){(x,y)|y=-x2}.

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集合表示法的选择 (1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集,可采用列举 法. (2)对于无明显规律的无限集,不能将它们一一列举出来,可 以通过将集合中元素的只有这个集合才有的共同特征描述出来, 即采用描述法.

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用适当的方法表示下列集合:
? 1 1 1 1? (1)A=?1,3,5,7,9?; ? ? ? ? ? 6 ? (2)B=?1+x∈Z|x∈Z?. ? ? ? ?

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? ? 1 ? ? * ? ?; x | x = , n ∈ N , n ≤ 5 (1) 2n-1 ? ? ? ?

【解】

6 (2)∵ ∈Z,且 x∈N, 1+x ∴1+x=1,2,3,6. 6 ∴x=0,1,2,5,即 =6,3,2,1. 1+x ∴B={6,3,2,1}.

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【资料卡片】 康托尔· 罗素· 数学第三次危机 1874 年,德国数学家康托尔(1845-1918)创立了集合论,他 是集合理论的创始人.集合理论很快渗透到大部分数学分支,成 为它们的基础.到 19 世纪末,全部数学几乎都建立在集合论的基 础之上了.就在这时,集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果, 特别是 1903 年罗素提出的理发师故事反映的悖论,它极为简单、 明确、通俗.
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1903 年,英国逻辑学家、数学家、诺贝尔和平奖获得者罗素 对集合论提出了以他的名字命名的“罗素悖论”.后来,他用一 个“理发师悖论”来形象地说明自己的悖论:一天,萨维尔村理 发师挂出一块招牌:“村里所有不自己理发的男人都由我给他们 理发,我也只给这些人理发.”于是有人问他:“您的头发由谁 理呢?”理发师顿时哑口无言.很显然,在逻辑上,他无论怎样 做,都会违背自己的原则.

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“罗素悖论”在 20 世纪数学理论中引起了轩然大波.“数学 大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”,那么人类耗费数千年 心血建立起来的“数学殿堂”,会不会倒塌呢?一时间,数学界 众说纷纭,悲观者甚至因此把当代数学比作 “建立在沙滩上的庞 然大物”.这就是数学史上著名的“第三次数学危机”.“罗素 悖论”构成的危机震撼了国际数学界,进而也进一步推动了数学 的向前发展.

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