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浙江高考历年真题之概率大题(理科)


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浙江高考历年真题之概率大题
(教师版)
1、 (2005 年)袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是 一个红球的概率为 p. (Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止.(i)求恰好摸 5 次停止的概率;(ii) 记 5 次之内(含 5 次)

摸到红球的次数为 ? ,求随机变量 ? 的分布率及数学期望 E ? . (Ⅱ) 若 A、 两个袋子中的球数之比为 12, A、 中的球装在一起后, B 将 B 从中摸出一个红球的概率是 求 p 的值.
1 8 ?1? ?2? 解析:(Ⅰ)(i) C 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 81 ?3? ?3?
2 2 2

1 3

,从 B 中摸出

2 5



(ii)随机变量 ? 的取值为 0,1,2,3, ; 由 n 次独立重复试验概率公式 Pn ? k ? ? C n p ? 1 ? p ?
k k n?k

,得

1? 32 ? 0 P ?? ? 0 ? ? C 5 ? ?1 ? ? ? ; 3? 243 ? 1? 80 ? P ?? ? 1? ? C 5 ? ? ? 1 ? ? ? 3 ? 3? 243
1

5

1

4

1? 80 ?1? ? P ?? ? 2 ? ? C 5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? 3? 243 ?3? ?
2

2

3

1? 17 32 ? 80 ? 2 17 ?1? ? 3 P ?? ? 3 ? ? C 5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? (或 P ? ? ? 3 ? ? 1 ? ) 3? 243 243 243 ?3? ?

3

2

随机变量 ? 的分布列是
?

0
32 243

1
80 243

2
80 243

3
17 243

P
? 的数学期望是
E? ? 32 243 ?0? 80 243 ?1? 80 243 ?2? 17 243

?3 ?

131
王新敞
奎屯 新疆

81

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(Ⅱ)设袋子 A 中有 m 个球,则袋子 B 中有 2m 个球
1 m ? 2mp ? 3m 2 5
13 30

王新敞
奎屯

新疆



3

,得 p ?

2、 (2006 年)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙袋装有 2 个红球, n 个白球。现从甲,乙两袋中各任取 2 个球。 (Ⅰ)若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率; (Ⅱ)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为
3 4

,求 n.

解析: (Ⅰ)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A。
P ( A) ? C2 C4
2 2

?

C2 C5

2 2

?

1

?

1

?

1 60

.

6 10

(Ⅱ)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B, “取到的 4 个球只有 1 个红球”为事件 B1 , “取 到的 4 个球全是白球”为事件 B 2 。 由题意,得 P ( B ) ? 1 ?
3 4 ? 1 4
22 1 11

P ( B1 ) = ?

C 22C 2 C C2
C2 C 44
2

11

1 1

C C 2 CCC C n 2n 2 ? 2 ?? 22 ? ? 22 a ? ; 2 2 2 C an??22 C 4 4 C C? n ? 2 3( n ? 2 )( n ? 1) C a 2 Cn C
2

C C nn

22

1

2

P(B2 ) =

C2 C

2

2 4

?

2 n?2

?

n ( n ? 1) 6 ( n ? 2 )( n ? 1)

;

所以 P ( B ) ? P ( B1 ) ? P ( B 2 ) ?
2

2n

2

3( n ? 2 )( n ? 1)

?

n ( n ? 1) 6 ( n ? 2 )( n ? 1)
3 7

;?

1 4

化简,得 7 n ? 1 1 n ? 6 ? 0, 解得 n ? 2 ,或 n ? ?

(舍去) 故 n ? 2 。 ,

3、 (2008 年)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑球的 概率是
2 5

;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是

7 9



(Ⅰ)若袋中共有 10 个球, (i)求白球的个数; (ii)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ? ,求随机变量 ? 的数学期望 E ? 。
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(Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 个数最少。

7 10

。并指出袋中哪种颜色的球

解析: (Ⅰ)解: (i)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 A,
设袋中白球的个数为 x ,则 P ( A ) ? 1 ?
C 10 ? x C 10
2 2

?

7 9

,得到 x ? 5 .故白球有 5 个.

(ii)随机变量 ? 的取值为 0,1,2,3,分布列是
?

0
1

1
5 12 ?1? 5 12 ?2? 1 12 ?3?

2
5 12 3 2 2 5 n,

3
1 12

P

12 1 12 ?0? 5 12

? 的数学期望: E ? ?



(Ⅱ)证明:设袋中有 n 个球,其中 y 个黑球,由题意得 y ? 所以 2 y ? n , 2 y ≤ n ? 1 ,故
y n ?1 ≤ 1 2



记“从袋中任意摸出两个球,至少有 1 个黑球”为事件 B,则
P(B) ? 2 5 ? 3 5 ? y n ?1 ≤ 2 5 ? 3 5 ? 1 2 ? 7 10 2 5 n ,红球的个数少于 n 5

. .故袋中红球个数最少.

所以白球的个数比黑球多,白球个数多于

4、 (2009 年)在 1, 2 , 3, ? , 9 这 9 个自然数中,任取 3 个数. (I)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率; (II)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1, 2, 3 ,则有两组相邻的数 1, 2 和 2 , 3 ,此时
? 的值是 2 ) .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E ? .
C 4C 5 C9
3 1 2

解析: (Ⅰ)记“这 3 个数中恰有一个是偶数”为事件 A ,则 P ( A ) ?
(Ⅱ)随机变量 ? 的取值为 0,1,2, ? 的分布列是
?
P

?

10 21



0
5 12 5 12 ? 1? 1 2 ? 2? 1 12 ? 2 3

1
1 2

2
1 12

所以 ? 的数学期望 E ? ? 0 ?



5、 (2010 年)如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上面下落到 A 或 B 或 C,已知小球从每个叉口落

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入左右两个管道的可能性是相等的。 C,则分别设为 1,2,3 等奖.

某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到 A,B,

(I)已知获得 1,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%,记随机变量 ? 为获得 k ( k ? 1, 2 , 3 ) 等奖的折 扣率,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E ? . (II)若有 3 人次(投入 1 球为 1 人次)参加促销活动,记随机变量? 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求 P(? ? 2 ).

解析: (Ⅰ)由题意得 ? 的分布列为
?

50%
3 16

70%
3 8

90%
7 16

P 则 E? ?
3 16 ? 50% ? 3 8

? 70% ?

7 16

? 90% ?

3 4

.
3 16 ? 3 8 ? 9 16 .

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 由题意得? ? B (3,
9 16 ) ,则 P (? ? 2 ) ? C 1 (
2

9 16

) (1 ?
2

9 16

) ?

1701 4096

.

6、 (2012 年)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分。 现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和。 (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E ( X ) 。

解析:

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浙江高考历年真题之概率大题

1、 (2005 年)袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是 一个红球的概率为 p.

1 3

,从 B 中摸出

(Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止.(i)求恰好摸 5 次停止的概率;(ii) 记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ? ,求随机变量 ? 的分布率及数学期望 E ? . (Ⅱ) 若 A、 两个袋子中的球数之比为 12, A、 中的球装在一起后, B 将 B 从中摸出一个红球的概率是 求 p 的值.
2 5



2、 (2006 年)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙袋装有 2 个红球, n 个白球。现从甲,乙两袋中各任取 2 个球。 (Ⅰ)若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率; (Ⅱ)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为
3 4

,求 n.

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3、 (2008 年)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑球的 概率是
2 5

;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是

7 9



(Ⅰ)若袋中共有 10 个球, (i)求白球的个数; (ii)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ? ,求随机变量 ? 的数学期望 E ? 。 (Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 个数最少。
7 10

。并指出袋中哪种颜色的球

4、 (2009 年)在 1, 2 , 3, ? , 9 这 9 个自然数中,任取 3 个数. (I)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率; (II)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1, 2, 3 ,则有两组相邻的数
1, 2 和 2 , 3 ,此时 ? 的值是 2 ) .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E ? .

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5、 (2010 年)如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上面下落到 A 或 B 或 C,已知小球从每个叉口落 入左右两个管道的可能性是相等的。 C,则分别设为 1,2,3 等奖. (I)已知获得 1,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%,记随机变量 ? 为获得 k ( k ? 1, 2 , 3 ) 等奖的折 扣率,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E ? . (II)若有 3 人次(投入 1 球为 1 人次)参加促销活动,记随机变量? 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求 P(? ? 2 ). 某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到 A,B,

6、 (2012 年)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分。 现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和。 (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E ( X ) 。

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