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2013年广州市高三理科数学调研测试、一模、二模试题分类整理


2013 年广州市高三理科数学调研测试、一模、二模试题分类整理 1.集合与常用逻辑用语 GZ-T 2.已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? 2n, n ? A} ,则 A ? B ? A. {0} GZ-1 1.设全集 U ? 1, 2,3, 4,5,6 ,集合 A ? 1,3,5 , B ? A. U ? A ? B C. U ? A ?

? B U 2.函数、导数与定积分 GZ-T 3.已知函数 f B. {0,4} C. {2,4} D. {0,2,4}

?

?

?

?

?2,4? ,则
? ? ?

B. U ? ? A ?B U

?

?

?

D. U ? ? A ? ? B U U

?

?

? x?

?log 2 x, x ? 0 ? ? 1 ?? ? ? , 则 f ? f ? ? ? 的值是 x ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0
B.

A. 9 GZ-T

1 9

C. ?9

D. ?

1 9

11.若直线 y ? 2 x ? m 是曲线 y ? x ln x 的切线,则实数 m 的值为 GZ-T 21.(本小题满分 14 分)

.

若函数 f ( x) 对任意的实数 x1 , x2 ? D ,均有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ,则称函数

f ( x) 是区间 D 上的“平缓函数”.
(1) 判断 g ( x) ? sin x 和 h( x) ? x ? x 是不是实数集 R 上的“平缓函数” ,并说明理由;
2

(2) 若数列 ? xn ? 对所有的正整数 n 都有 xn ?1 ? xn ? 求证: yn ?1 ? y1 ? GZ-1

1 ,设 yn ? sin xn , (2n ? 1) 2

1 . 4

x 7.已知 e 是自然对数的底数,函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 的零点为 a ,函数 g ? x ? ? ln x ? x ? 2

的零点为 b ,则下列不等式中成立的是 A. f ? a ? ? f ?1? ? f ? b ? B. f ? a ? ? f ? b ? ? f ?1?

C. f ?1? ? f ? a ? ? f ? b ? GZ-1 10. ?0 cos x d x ?
1

D. f ? b ? ? f ?1? ? f ? a ?

.

GZ-1

?a x ? x ? 1? , ? 12.已知 a ? 0,a ? 1 ,函数 f ? x ? ? ? 若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上的最大值比最小值 ? ? ? x ? a ? x ? 1? , ? ?


5 ,则 a 的值为 2

.

GZ-1 21. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f

? x?

? x 2 ? ax ? m ? 1 ,关于 x 的不等式 f ? x ? ? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2

的解集为 m,m ? 1 ,其中 m 为非零常数.设 g x (1)求 a 的值;

?

?

? ?

?

f ? x? x ?1

.

(2) k(k ? R )如何取值时,函数 ? x ? g x ? k ln x ? 1 存在极值点,并求出极值点; (3)若 m ? 1 ,且 x ? 0 ,求证: ? g x ? 1 ? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2 n ?N ). ( ? ?
*

? ?

? ?

?

?

?

?

n

?

?

GZ-2 4.已知函数 y ? f ? x ? 的图象如图 1 所示,则其导函数 y ? f ? ? x ? 的图象可能是 y y y y y

O A. GZ-2

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

O 图1

x

8.记实数 x1 , x2 ,?, xn 中的最大数为 max ? x1 , x2 , …,xn ? ,最小数为 min ? x1 , x2 , …,xn ? ,则

max min ? x ? 1,x 2 ? x ? 1, ? x ? 6? ?
A. GZ-2
2 12. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x , 点集 M ?

?

?

3 4

B.1

C.3

D.

7 2

?? x,y ? f ? x ? ? f ? y ?≤2? ,N ? ?? x,y ? f ? x ? ? f ? y ?≥0? ,

则 M ? N 的面积为



GZ-2 19. (本小题满分14分) 已知实数 a ? 0 ,设命题 p :函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ? 0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点;命题
2

q : g ? x ? ? x ? a ? ax 在 ? 0, ?? ? 上有最小值.若 ? ?p ? ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

3.数列 GZ-T 9. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S 7 的值为 GZ-T 20.(本小题满分 14 分) 在数 1 和 2 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这 n ? 2 个数 的乘积记为 An ,令 an ? log 2 An , n ?N * . (1)求数列 An 的前 n 项和 S n ; (2)求 Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ? ? ? tan a2 n ? tan a2 n ? 2 . GZ-1 13. 已知经过同一点的 n n ? N ,n ? 3)个平面, 任意三个平面不经过同一条直线.若这 n 个平面将空间分 (
*

? ?

成f

? n ? 个部分,则 f ? 3?

?

,f

?n?

?

.

GZ-1 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)若 p,q,r 是三个互不相等的正整数,且 p,q,r 成等差数列,试判断

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n (n ? N * ).

a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 是否成等比数列?并说明理由.
GZ-2 13.已知数列 {a n } 的各项是 1 或 2,首项为 1,且在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间有 2k ? 1 个 2,即 1,2, 1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,?,记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,则 S 20 ? GZ-2 21. (本小题满分14分) ; S2013 ? .

* 设 an 是函数 f ? x ? ? x ? n x ? 1 n ? N 的零点.

3

2

?

?

(1)证明: 0 ? an ? 1 ; (2)证明:

n 3 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? . 2 n ?1

4.不等式 GZ-T 8.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若对任意 x ? 2 ,不等式 x ? a ? x ? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是 A. ? ?1, 7 ? ? ? GZ-1 B. ??,3? ?

?

?

?

C. ??,7 ? ?

?

D. ??, ?1? ? ? 7, ?? ? ?

?

?

? x ? 2 y ? 1, ? 3.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ? A. ?3 B. 0 C.1 D. 3
GZ-1 9. 不等式 x ? 1 ? x 的解集是 .

GZ-2 7.某辆汽车购买时的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万元,年维修保养 费用第一年 3000 元,以后逐年递增 3000 元,则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费 用最少)是 A.8 B.10 C.12 D.15 5.向量与三角 GZ-T 5.函数 y ? f (x) 的图象向右平移 则 y ? f (x) 的解析式是 A. f C. f

? 单位后与函数 y ? sin 2 x 的图象重合, 6

? x? ? x?

? cos(2 x ? ? cos(2 x ?

? ?
3

) )

B. f D. f

? x? ? x?

? cos(2 x ? ? cos(2 x ?

?
6

) )

?
3

6

GZ-T 16.(本小题满分 12 分) 已知 VABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 a ? 1,b ? 2, B ? (1) 求 sin A 的值;

?
3

.

(2) 求 cos 2C 的值. GZ-1 6. 函数 y ? sin x ? cos x

?

? ?sin x ? cos x ? 是
B.奇函数且在 ?

A.奇函数且在 ?0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ?

C.偶函数且在 ?0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

D.偶函数且在 ?

?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ?

GZ-1 8.如图 2,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 600 m, 一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B . 已知 AB ? 1 km,水流速度为 2 km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为 6 分钟,则客船在静水中 的速度大小为 A. 8 km/h C. 2 34 km/h GZ-1 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 期为 8 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; B. 6 2 km/h D. 10 km/h

B ?
水流方向

? A

图2

?
4

) (其中 x ?R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小正周

(2)若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点,求△ POQ 的 面积. GZ-2 1.对于任意向量 a 、 b 、 c ,下列命题中正确的是

b A. a ? ? a b
GZ-2 5.若函数 y ? cos ? ? x ? A.1 GZ-2 10.已知

B. a ? b ? a ? b

b c C. ? a ? ? c ? a ? b? ?

a D. a ? ? a

2

? ?

??

?? ? * ? ?? ? N ? 的一个对称中心是 ? ,0 ? ,则 ? 的最小值为 6? ?6 ?
B.2 C.4 D.8

? 为锐角,且cos ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? 4? 5 ?

?

??

3



GZ-2 16. (本小题满分12分) 某单位有 A 、 B 、 C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 O ,使得发射点到三个工作点 的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为 AB ? 80 m ,BC ? 70 m ,CA ? 50 m .假定 A 、 B 、 C 、 O 四点均在同一平面内. (1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的距离.

6.立体几何 GZ-T 6.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所示, 则四棱锥 P ? ABCD 的四个侧面中面积最大的是 A. 3 B. 2 5 C. 6 D. 8

3

3

4 正视图 2 2

2 侧视图

2

GZ-T 18. (本小题满分 14 分)

俯视图 图1

如图 4,已知四棱锥 P - ABCD ,底面 ABCD 是正方形, PA ^ 面 ABCD , 点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点,连接 AM , AN , MN . (1) 求证: MN // 面 PAD ; (2)若 MN = 5 , AD ? 3 ,求二面角 N - AM - B 的余弦值.

P

N

A

B

D

GZ-1 5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A. 2 B. 1 C.

M 图4

C

2 3

D.

1 3

2 1 正视图 1 侧视图

2

2 俯视图 图1

GZ-1 18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,△ ABC 是边长为 2 的等边三角形,
A1 B1 D C1

AA1 ? 平面 ABC , D , E 分别是 CC1 , AB 的中点.
(1)求证: CE ∥平面 A1 BD ;
A

15 (2)若 H 为 A1 B 上的动点,当 CH 与平面 A1 AB 所成最大角的正切值为 时, 2
求平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值. GZ-2 6.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 2 所示,一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 1﹕7 的上、下两 部分,则截面圆的半径为

C E 图4 B

4

1 2 3 C. 2
A. GZ-2 18. (本小题满分 14 分)

B.1 D.2 6 图2

等边三角形 ABC 的边长为 3,点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点,且满足

AD CE 1 ? ? (如图 DB EA 2

3) .将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 成直二面角,连结 A1 B 、 A1C (如图 4) . (1)求证: A1 D ? 平面 BCED ; (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 D E B 图3 C B 图4 D E C A

A1

PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ?
若存在,求出 PB 的长,若不存在, 请说明理由.

7.平面解析几何 GZ-T
2 2 12.圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 15 ? 0 上到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 5 的点的个数是

_

GZ-T 19.(本小题满分 14 分) 如图 5, 已知抛物线 P : y
2

? x ,直线 AB 与抛物线 P 交于 A, B 两点,
y

uur uur uuu u r OA ^ OB , OA + OB = OC , OC 与 AB 交于点 M .
(1) 求点 M 的轨迹方程; (2) 求四边形 AOBC 的面积的最小值.

A

M O

C x

B

GZ-1 4. 直线 x ?

3 y ? 0 截圆 ? x ? 2? ? y 2 ? 4 所得劣弧所对的圆心角是
2

A.

? 6 ? 2

B.

? 3
2? 3

C.

D.

GZ-1 20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2, 0) , F2 2,0 ,点 A(2, 3) 在椭圆 C1 上,过点

?

?

A 的直线 L 与抛物线 C2 : x 2 ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1 ,l2 ,且 l1 与 l 2
交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P ? 若存在, 指出这样的点 P 有几个 (不必求出点 P 的 坐标); 若不存在,说明理由. GZ-2 2.直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 y ? 0 的位置关系是
2 2

A.相交 GZ-2 20. (本小题满分14分)

B.相切

C.相离

D.取决于 k 的值

经过点 F ? 0,1? 且与直线 y ? ?1 相切的动圆的圆心轨迹为 M , A 、D 在轨迹 M 上, 点 且关于轨迹 M 的对称轴对称,直线 l 与轨迹 M 上过点 D 的切线平行,设直线 l 与轨迹 M 交于点 B 、 C . (1)求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? ?CAD ; (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于 8.算法、统计与概率 GZ-T 7.在区间 ?1,5 ? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a,b , ? ? ? ?

2 AD ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 2

3 x2 y2 则方程 2 ? 2 ? 1表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 2 a b
A.

开始

i ? 1,S ? 0
i? ?1 2

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

GZ-T 13.图 2 是一个算法的流程图,则输出 S 的值是

ai ? i cos

S ? S ? ai

i ? i ?1
i ? 2012



GZ-T 17.(本小题满分 12 分)

输出 S

某市 A, B, C, D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示:结束 中学 人数

A 30

B 40

C 20

D 10

图2

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A, B, C, D 四所中学各抽取多少名学生? (2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 的概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学 生,用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列. GZ-1

11.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资料:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1.23x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用年限为 10 年时维修费用约
万元(结果保留两位小数) . GZ-1 17. (本小题满分 12 分) 甲, 丙三位学生独立地解同一道题, 乙, 甲做对的概率为

1 , 丙做对的概率分别为 m ,n ( m > n ), 乙, 2

且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 4

a

b

1 24

(1) 求至少有一位学生做对该题的概率; (2) 求 m , n 的值; (3) 求 ? 的数学期望. GZ-2 9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为 2﹕3﹕4.现 用分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本,其中甲型钢笔有 12 支,则此样本容量 n ? . GZ-2 17. (本小题满分12分) 已知正方形 ABCD 的边长为 2, E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,求满足 | PH | ?

2 的概率;

(2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的 距离为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? . 9.复数 GZ-T
1.已知i为虚数单位,则复数i(2 ? 3 i )对应的点位于

A.第一象限

B. 第二象限

C.第三象限

D.第四象限

GZ-1 2. 已知

a ? 1 ? bi ,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则 a ? b i ? 1?i
B. 2 ? i C. 2 ? i
2

A. 1 ? 2 i GZ-2

D. 1 ? 2 i

3.已知 1 ? i ( i 是虚数单位)是关于 x 的方程 x ? 2 px ? q ? 0 ( p、q ?R )的一个解,则 p ? q ? A. ?3 B. ?1 10.计数原理、二项式定理 GZ-T 10.若 (ax 2 GZ-2 11.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成 (结果用数值表示) 11.推理与证明 GZ-T 4.设向量 a ? 2, x ? 1 , b ? x ? 1, 4 ,则“ x ? 3 ”是“ a // b ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 12.坐标系与参数方程 GZ-T 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 个没有重复数字且能被 5 整除的五位数. C. 1 D. 3

1 9 ) 的展开式的常数项为 84,则 a 的值为 x

?

?

?

?

已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ,

(? 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 ? y ? sin ? ? 2,
.

系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , 则直线 l 截圆 C 所得的弦长是 GZ-1 14. (坐标系与参数方程选做题)

在极坐标系中,定点 A ? 2, ? ? ,点 B 在直线 ? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的 2 极坐标为 GZ-2 .

? ?

3 ? ?

15.(坐标系与参数方程选做题)

在极坐标系中,已知定点 A ? 1,

? ?? 2 ? ,动点 P 是曲线 ? sin ? ? 4cos ? 上任意一点,设点 P 到直线 2? ?


? cos ? ? 1 ? 0 的距离为 d ,则 PA ? d 的最小值为
13.几何证明选讲 GZ-T 14.(几何证明选讲选做题) 如图 3,已知 AB 是⊙ O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点, PC ? OP , PC 交⊙ O 于 C ,若 AP ? 4 , PB ? 2 , 则 PC 的长是 资料来源: 苏元高考吧 www.gaokao8.net GZ-1 15. (几何证明选讲选做题)

B C A P O

图3

如图 3, AB 是 ? O 的直径, BC 是 ? O 的切线, AC 与 ? O 交于点 D , 若 BC ? 3 , AD ?

16 ,则 AB 的长为 5


O

B D

C

GZ-2 14. (几何证明选讲选做题) 在△ ABC 中,D 是边 AC 的中点, E 在线段 BD 上, 点 且满足 BE ? 则

1 延长 AE 交 BC 于点 F , BD , A 3
图3

BF 的比值为 FC



14.不等式选讲

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应 的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.

题号 答案

1 D

2 B

3 C

4 D

5 A

6 C

7 A

8 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

10. sin 1

11. 12.38

12.

1 7 或 2 2

13.8, n ? n ? 2
2

14. ? 1,

? 11? ? ? 6 ? ?

15. 4

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是: ?1,

? 11? ? ? 2k ? ? (k ? Z ). 6 ? ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识,考 查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x) 的最大值为2,且 A ? 0 , ∵ f ( x) 的最小正周期为 8 , ∴ f ( x) ? 2sin( ∴T ? ∴ A? 2. ?????1分

2?

?

x? ). 4 4

?

?

? 8 ,得 ? ?

?
4

.

?????2 分 ?????3 分

(2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????4 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ?

?????5 分

6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .

?????8 分
2 2 2

∴ cos ?POQ ?

OP ? OQ ? PQ
2 2

2

2 OP OQ

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ? ?
2 6 ?3 2
6 . 3

?

3 . ???10 分 3
?????11 分

∴ sin ?POQ ?

1 ? cos2 ?POQ ?

∴△ POQ 的面积为 S ?

1 1 OP OQ sin ?POQ ? ? 2 2

6 ?3 2 ?

6 ? 3 2. 3

?????12 分 解法 2:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????4 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) .

?????5 分

??? ?

????

?????8 分 ?????10 分

??? ???? ? ??? ???? ? OP ? OQ 6 3 ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? ???? ? . ? ? 3 6 ?3 2 OP OQ
∴ sin ?POQ ?

1 ? cos2 ?POQ ?

6 . 3

?????11 分

∴△ POQ 的面积为 S ?

1 1 OP OQ sin ?POQ ? ? 2 2

6 ?3 2 ?

6 ? 3 2. 3

?????12 分 解法 3:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????4 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴直线 OP 的方程为 y ?

?????5 分

2 x ,即 x ? 2
4? 2 3

2y ? 0.

?????7 分

∴点 Q 到直线 OP 的距离为 d ? ∵ OP ?

? 2 3.

?????9 分

6,

?????11 分

∴△ POQ 的面积为 S ?

1 1 OP ? d ? ? 2 2

6 ? 2 3 ? 3 2.

?????12 分

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识,考查数据处理、推理论证、 运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) 解:设“甲做对”为事件 A , “乙做对”为事件 B , “丙做对”为事件 C ,由题意知,

P ? A? ?

1 , P ? B ? ? m, P ? C ? ? n . 2

?????1 分

(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的, 所以至少有一位学生做对该题的概率是 1 ? P ? ? 0 ? 1 ?

?

?

1 3 ? . 4 4


????3 分

( 2 ) 由 题 意 知 P ? ? 0 ? P ABC

?

?

?

? ? 1 ?1 ? m? ?1 ? n ? ? 1 2 4

?????4 分

P ?? ? 3? ? P ? ABC ? ?

1 1 , mn ? 2 24

?????5 分

整理得

mn ?

1 7 ,m ? n ? . 12 12
1 1 ,n ? . 3 4
?????7 分

由 m ? n ,解得 m ? (3)由题意知 a ? P

??

? 1? ? P ABC ? P ABC ? P ABC

?

?

?

?

?

?

?

1 1 1 11 ?1 ? m? ?1 ? n ? ? 2 m ?1 ? n ? ? 2 ?1 ? m ? n ? 24 , ???9 分 2
1 , 4
?????10 分

b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) =

∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2P(? ? 2) ? 3P(? ? 3) =

13 . 12

????12分 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论 证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一: (1)证明:延长 A1 D 交 AC 的延长线于点 F ,连接 BF .

1 AA1 , ∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ? 2
∴ C 为 AF 的中点. ∵ E 为 AB 的中点, ∴ CE ∥ BF . ?????2 分 ?????3 分

A1 B1

C1

D

H A E B C F

∵ BF ? 平面 A1 BD , CE ? 平面 A1 BD , ∴ CE ∥平面 A1 BD . (2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ? ?????5 分 ?????4 分

3 AB ? 2

3.

∵ AB ? 平面 A1 AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A , ∴ CE ? 平面 A1 AB . ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A1 AB 所成的角. ∵ CE ? ?????6 分 ?????7 分

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 ? , EH EH
?????8 分

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. ∴当 EH ? A1 B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 ? ? EH EH

15 . 2

∴ EH ?

2 5 . 5

?????9 分

∵ CE ∥ BF , CE ? 平面 A1 AB , ∴ BF ? 平面 A1 AB . ∵ AB ? 平面 A1 AB , A1 B ? 平面 A1 AB , ∴ BF ? AB , BF ? A1B . ∴ ?ABA1 为平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角). 在 Rt△ EHB 中, BH ? ?????11 分 ?????12 分 ?????10 分

EB 2 ? EH 2 ?

BH 5 ? , cos ?ABA1 ? 5 EB

5 .?13 分 5

∴平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 解法二: (1)证明:取 A1 B 的中点 F ,连接 DF 、 EF . ∵ E 为 AB 的中点, ∴ EF ∥ AA1 ,且 EF ?

5 . 5

?????14 分

z A1 C1 B1 D

1 AA1 . 2 1 AA1 , 2

?????1 分

∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ?

F
?????2 分 ?????3 分

∴ EF ∥ CD , EF ? CD . ∴四边形 EFDC 是平行四边形. ∴ CE ∥ DF .

H A E x
?????4 分

C B

y

∵ DF ? 平面 A1 BD , CE ? 平面 A1 BD , ∴ CE ∥平面 A1 BD . (2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ?

?????5 分

3 AB ? 2

3.

∵ AB ? 平面 A1 AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A , ∴ CE ? 平面 A1 AB . ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A1 AB 所成的角. ∵ CE ? ?????6 分 ?????7 分

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 ? , EH EH
?????8 分

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. ∴当 EH ? A1 B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 ? ? EH EH

15 . 2

∴ EH ?

2 5 . 5 EB 2 ? EH 2 ? 5 . 5

?????9 分

在 Rt△ EHB 中, BH ?

∵Rt△ EHB ~Rt△ A1 AB ,

2 5 EH BH ? ? ∴ ,即 5 AA1 AA1 AB
∴ AA1 ? 4 .

5 5 . 2
?????10 分

以 A 为原点,与 AC 垂直的直线为 x 轴, AC 所在的直线为 y 轴, AA1 所在的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 A (0, 0, 0) , A1 (0, 0, 4) , B ∴ AA1 ? (0, 0, 4) , A1 B ?

(

3, 1, 0 , D (0, 2, 2) .

)

????

????

(
?

???? ? 3, 1, - 4 , A1D ? (0, 2, - 2) .

)

设平面 A1 BD 的法向量为 n = x, y, z ,

?

????
由 n ?A1 B 得? í

???? ? 0 , n ?A1D

0,

ì 3x + y - 4 z = 0 ? ? 2 y - 2 z = 0. ? ?

令 y = 1 ,则 z = 1, x =

3.

∴平面 A1 BD 的一个法向量为 n =

(

3, 1, 1 .

)

?????12 分

∵ AA1 ? 平面 ABC , ∴ AA1 = (0, 0, 4) 是平面 ABC 的一个法向量.

????

???? ? ???? ? n ? AA1 5 ∴ cos n, AA1 ? . ???? ? ? 5 n AA1
5 . 5

?????13 分

∴平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为

?????14 分

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、特殊

与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1) Sn ? 2n , ∴ 当 n ? 1时,有 a1 ? (1 ? 1) S1 ? 2, 解得 a1 ? 2 . 由 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1) Sn ? 2n , ① ?????2 分 ?????3 分 ?????1 分

得 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? 2(n ? 1) , ② ② - ①得: (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? (n ? 1) Sn ? 2 . 以下提供两种方法: 法 1:由③式得: (n ? 1)( Sn ?1 ? Sn ) ? nSn ?1 ? (n ? 1) Sn ? 2 , 即 S n ?1 ? 2 S n ? 2 ; ③

?????4 分 ?????5 分

? Sn?1 ? 2 ? 2( Sn ? 2) ,
∵ S1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 , ∴数列 {S n ? 2} 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ Sn ? 2 ? 4 ? 2
n ?1

,即 Sn ? 4 ? 2

n?1

? 2 ? 2n?1 ? 2 . ? 2) ? (2n ? 2) ? 2n ,

?????6 分 ?????7 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (2 又 a1 ? 2 也满足上式, ∴ an ? 2 .
n

n ?1

?????8 分

法 2:由③式得: (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? (n ? 1) Sn ? 2 ? n ? Sn ?1 ? Sn ? ? Sn ? 2 , 得 an ?1 ? Sn ? 2 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ?1 ? 2 , ⑤-④得: an ?1 ? 2an . 由 a1 ? 2a2 ? S 2 ? 4 ,得 a2 ? 4 , ∴ a2 ? 2a1 . ∴数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ an ? 2 .
n

④ ⑤

?????4 分 ?????5 分 ?????6 分

?????7 分 ?????8 分

(2)解:∵ p,q,r 成等差数列, ∴ p ? r ? 2q . 假设 a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 成等比数列, 则 ap ? 1 ?????9 分

?

? ?a

r r

? 1? ? aq ? 1 ,
2

?

?

?????10 分

即 2p ? 1

?

? ?2

? 1 ? 2q ? 1 ,
(*) ?????11 分

? ?

?

2

化简得: 2 p ? 2r ? 2 ? 2q . ∵ p ? r, ∴2
p

? 2r ? 2 2 p ? 2r ? 2 ? 2q ,这与(*)式矛盾,故假设不成立.??13 分
?????14 分

∴ a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 不是等比数列.

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数 学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)

x2 y 2 (1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? , a b
? 22 32 ? 1, ? ? 依题意: ? a 2 b 2 ?a 2 ? b 2 ? 4. ?
∴ 椭圆 C1 的方程为

? a 2 ? 16, ? 解得: ? 2 ?b ? 12. ?

?????2 分

x2 y2 ? ? 1. 16 12

?????3 分

x2 y 2 解法 2:设椭圆 C1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? , a b
根据椭圆的定义得 2a ? AF1 ? AF2 ? 8 ,即 a ? 4 , ∵ c ? 2 , ∴ b ? a ? c ? 12 .
2 2 2

?????1 分 ?????2 分

∴ 椭圆 C1 的方程为 (2)解法 1:设点 B( x1 ,

x2 y2 ? ? 1. 16 12

?????3 分

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x2 ? x1 , ( x2 ? x12 )) , 4 4 4 1 2 BA ? (2 ? x1 ,3 ? x1 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线,

∴ BC // BA . ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

??? ?

??? ?

?????4 分

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x ? x12 4 ? 4 2

?

? ?2 ? x ? ,
1

( 化简得: 2 x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 .
由x
2



?????5 分

? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y ? ? x . 4 2

?????6 分

∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

x 1 2 x1 1 x1 ? ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? x12 . ② 4 2 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
③ ?????8 分

同理,抛物线 C 2 在点 C 处的切线 l 2 的方程为 y ?

设点 P( x, y ) ,由②③得: 而 x1 ? x2 ,则 x ? 代入②得 y ?

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x 2 , 2 4 2 4
?????9 分 ?????10 分

1 ( x1 ? x2 ) . 2

1 x1 x2 , 4

则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . ?????11 分 若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, ?????12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P 有两个. 解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) , P( x0 , y 0 ) , 由x
2

?????13 分 ?????14 分

? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y ? ? x . 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

?????4 分

∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

?????5 分

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 2 4
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y 0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



?????6 分

同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

?????7 分

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . ?????8 分 2

x x0 ? y , 2
∴ y 0 ? x0 ? 3 .

?????9 分 ?????10 分 ?????11 分

∵点 A(2,3) 在直线 L 上, ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .

若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,??12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P 有两个. 解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 , ?????13 分 ?????14分

?

?

由?

? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y, ?
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

?????4分

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 8k ? 12 . 由x
2

?

?

?

?

?????5分

? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y ? ? x . 4 2

?????6 分

∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

x1 x 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? y1 ? x12 .?7 分 2 2 2

∵ y1 ?

x 1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
?????8 分

同理,得抛物线 C 2 在点 C 处的切线 l 2 的方程为 y ?

? ? x1 x1 ? x2 1 ? 2k , x ? x12 , ?x ? ?y ? ? ? 2 2 4 由? 解得 ? ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. ? y ? x2 x ? 1 x 2 , 2 ? ? ? 4 ? 2 4
∴ P 2k , 2k ? 3 . ∵ PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 , ∴点 P 在椭圆 C1 :

?

?

?????10 分

x2 y2 ? ? 1 上. 16 12
2

?????11 分

? 2k ? ∴
16

2

?
2

? 2k

? 3? 12

? 1.
?????12 分 ?????13 分

化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*) 由 Δ ? 12 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 ,
2

? ?

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ?????14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查 数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、 运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于 x 的不等式 f
2

? x ? ? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m ?
2

2

的解集为 m,m ? 1 ,

?

?

即不等式 x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? 0 的解集为 m,m ? 1 , ∴ x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? x ? m
2 2 2

?

?

?

? ?

? ?

?

? ? x ? m ? 1? . ? ? ?

∴ x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? x ? 2m ? 1 x ? m m ? 1 .
2 2

?

∴ a ? 1 ? 2m ? ? 2m ? 1 . ∴ a ? ?2 . ?????2 分

?

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? ? x ? 1? ? (2)解法 1:由(1)得 g ? x ? ? . x ?1 x ?1 x ?1

f ? x?

∴? x

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

m ? k ln ? x ? 1? 的定义域为 ?1,?? ? . x ?1
?????3 分

∴ ? ?( x) ? 1 ?

m

? x ? 1?
?
2

2

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k . ? 2 x ?1 ? x ? 1?

方程 x ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式
2

?

Δ ? ? 2 ? k ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m .
①当 m ? 0 时, Δ ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?

?????4 分

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

?????5 分

则 x ? 1, x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 . ②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ?2 ?m 或 k ? 2 ?m , 若 k ? ?2 ?m ,则 x1 ?

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?????6 分

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

故 x ? 1,?? 时, ? ?( x) ? 0 , ∴函数 ? x 在 1,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 没有极值点.

?

?

? ? ? ? ?

?

?????7 分

若 k ? 2 ?m 时, x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

则 x ? 1, x1 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x1 , x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1 , x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ;

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?????8 分

? ?

当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .???9 分 (其中 x1 ?

? ?

2 ? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

解法 2:由(1)得 g x

? ?

?

f ? x? x ?1

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m . ? ? x ? 1? ? x ?1 x ?1

∴? x

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

m ? k ln ? x ? 1? 的定义域为 ?1,?? ? . x ?1
?????3 分

∴ ? ?( x) ? 1 ? 若函数 ? x

m

? x ? 1?
?

2

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k ? . ? 2 x ?1 ? x ? 1?

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? 存在极值点等价于函数 ? ?( x) 有两个不等的零点,且

至少有一个零点在 1,?? 上. 令 ? ?( x) ?

?

?????4 分

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?
?

2

? 0,

得 x ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 , (*)
2

?

则Δ ? 2 ? k

?

?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m ? 0 ,(**)
2 ? k ? 2 k 2 ? 4m
, x2 ?

?????5 分

方程(*)的两个实根为 x1 ? 设h x

2? k ? 2

k 2 ? 4m

.

? ?

? x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ,

①若 x1 ? 1, x2 ? 1 ,则 h 1 ? ? m ? 0 ,得 m ? 0 ,此时, k 取任意实数, (**)成立. 则 x ? 1, x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 .

??

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?????6 分

? h ?1? ? ? m ? 0, ? m ? 0, ? ②若 x1 ? 1, x2 ? 1 ,则 ? 2 ? k 得? ? k ? 0. ? 1. ? ? 2
又由(**)解得 k ? 2 ?m 或 k ? ?2 ?m ,

故 k ? 2 ?m .

?????7 分

则 x ? 1, x1 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x1 , x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1 , x2 上单调递减,在 x2 ,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 . 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任何实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .???9 分 (其中 x1 ?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?????8 分

? ?

? ?

2 ? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

(2)证法 1:∵ m ? 1 , ∴ g x

? ? ? ? x ? 1? ?

1 . x ?1
n

n ? ? n 1? 1 ? n ∴ ? g ? x ? 1? ? ? g x ? 1 ? ? x ? ? ? ? x ? n ? ? ? x? x ? ? ?

?

?

1 ? x n ? Cn x n ? 1 ?

? 1 1 1 1 ? 2 n n 1 ? Cn x n ? 2 ? 2 ? ? ? C n ? 1 x ? n ? 1 ? C n n ? ? x n ? n ? x x x x x ? ?
?????10 分

1 2 n ? Cn x n ? 2 ? Cn x n ? 4 ? ? ? Cn ?1 x 2 ? n .

令 T ? Cn x

1 n?2

2 n ? Cn x n ? 4 ? ? ? Cn ?1 x 2 ? n , n 1 ? Cn ? 2 x 4 ? n ? ? ? Cn x n ? 2

则 T ? Cn x

n ?1 2 ? n

1 2 n ? Cn x 2 ? n ? Cn x 4 ? n ? ? ? Cn ?1 x n ? 2 .

∵ x ? 0, ∴ 2T ? Cn x
1

?

n?2

2 n ? x 2 ? n ? Cn x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cn ? 1 x 2 ? n ? x n ? 2

?

?

?

?

?

??11 分

1 ? Cn ? 2 x n ? 2 ? x 2 ? n ? Cn2 ? 2 x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cnn ? 1 ? 2 x 2 ? n ? x n ? 2 ?12 分

1 2 n ? 2 C n ? C n ? ? ? C n ?1

?

? ?
?????13 分

0 1 2 n n 0 n ? 2 C n ? C n ? C n ? ? ? C n ?1 ? C n ? C n ? C n

?

? 2 2n ? 2 .

?

?

∴ T ? 2n ? 2 ,即 ? g x ? 1 ? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2 . ? ?

?

?

n

?

?

?????14 分

? ? n 1? 1 ? 证法 2:下面用数学归纳法证明不等式 ? x ? ? ? ? x ? n ? ? 2n ? 2 . x? x ? ? ?
① 当 n ? 1时,左边 ? ? x ?

n

? ?

1? ? 1? 1 ? ? ? x ? ? ? 0 ,右边 ? 2 ? 2 ? 0 ,不等式成立; x? ? x?
?????10 分
k

? ? k 1? 1 ? ② 假设当 n ? k (k ? N )时,不等式成立,即 ? x ? ? ? ? x ? k ? ? 2k ? 2 , x? x ? ? ?
*

? 1? 则 ?x ? ? x? ?

k ?1

? 1 ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?

k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ?? ? 1? ? 1 ? ? 1 ? ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? x k ? k ? ? ? ? x ? ? ? x k ? k ? ? ? x k ?1 ? k ? 1 ? x ? ?? x? x? ? x ?? ? x ? ? x ? ? ? ? ? k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k x ? ?? x? x ? ? ?

? ? ? k ?1 1 ? ? ? ? ? x ? k ?1 ? x ? ?? ? ?

?????11 分

? 2 x?

1 1 ? 2 k ? 2 ? 2 x k ?1 ? k ? 1 x x

?

?

?????12 分

? 2k ? 1 ? 2 .
也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立.

?????13 分

由①②可得,对 ? n ?N , ? g x ? 1 ? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2 都成立. ???14 分 ? ?
*

?

?

n

?

?


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