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2.1空间点,直线,平面之间的位置关系2[1]1


b

b′

b O
?

a
?

O

a′

a′ a

D′

C′ B′

A′
D A

C B

1、直线AA′

与哪些棱所在的直线是互相垂直的呢? 2、直线AA′与哪些棱所在的直线是互相垂直的异面 直线? 3、如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,

那么,另一条直线是否也与这条直线垂直呢?
4、垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

D′ A′ D

B′

C′

C

A B 1、直线AA′与哪些棱所在的直线是互相垂直的异面直线? 解答1:直线AA′分别与C′D′,CD,B′C′,BC是互 相垂直的异面直线。

2、直线AA′与哪些棱所在的直线是互相垂直的呢? 解答2:直线AA′分别与C′D′,CD,A′B′,AB,B′C′, BC,AD,A′D′互相垂直。 3、如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那 么,另一条直线是否也与这条直线垂直呢?(垂直)
4、垂直于同一条直线的两条直线是否平行? (平行、异面、相交)

D′ A′ B′

C′

D 例1、如图,在长方体ABCD- C A′B′C′D′中,AA′=AB, A B 直线AA′与直线CD′垂直吗?若不垂直,它们的夹 角是多少?

解答:由DD′??AA′可知,∠DD′C是异面直线AA′与CD′ 的夹角,在RtΔDD′C中, ∠D’DC=90°, DD′=DC, 所以∠DD′C=45°。即直线AA′与CD′的夹角是45°。

例2.在一块长方体形状木块的面AC上有一点P,过 点P画一条直线和棱C 1D1平行,说明应该怎么画. 解: 如图(1),过点P作直线 MN∥CD,分别交AD,BC于M、N, 则由公理4得,MN∥C 1D1. D
M

C P D1 B B1
N

A
A1

C1

图(1)

? 例3、已知: BAC 和? B ?A ? C ? 的边 AB // A ? B ?, AC // A ? C ?

并且方向相同(即向量AB 与 A ? B ?, AC 与 A ? C ? 的方向相同).
求证: BAC ? ? B ?A ? C ? ?

例4、以知E、F、G、H分别是空间四边形(四个顶点 不共面的四边形叫做空间四边形)四条边AB、BC、CD、 DA的中点,求证四边形EFGH是平行四边形。
A E H

B
F G

D

C

例5、如图,以知F 、 E是正方体的棱AD、A1 D 1 的 中点,求证: BEC ? ? B1 FC 1 . ?

A 课堂练习 E

D B 1、如图,在三棱锥A-BCD中, G F C E、F分别是AB、CD的中点, 且EF=5,AC=6,BD=8,则异面直线AC与BD的 夹角为多少?

解答:取BC中点G,连结EG、GF,则GE= 2 AC且 1 GE??AC,GF= 2 BD且GF?? BD,所以∠EGF是 异面直线AC与BD的夹角,且GE=3,GF=4,所以 ED2+GF2=EF2,所以EGF=90o,所以异面直线AC 与BD的夹角是90o。

1

D′ 课堂练习 A′ B′

C′

D

C

A B 2、如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,直线BC′与 CD′的夹角是多少? 解答:连结A′B,A′C,易知BA′ ??CD ′,所以 ∠A′BC′是异面直线BC′与CD′所成的角,在ΔA′BC ′中, 易知A′B=BC′=C′A′,所以∠A′BC′=60o,所以直线 BC′与CD′的夹角是60o。 3、直线BC′与AC、B′D′、A′D的夹角分别是多少? (60o,60o,90o)

课堂练习
4.空间两直线平行是指它们( ) A.无交点 B.共面且无交点 C.和同一条直线垂直 D.以上都不对

5.在空间,如果一个角的两边与另一个角的两边分别 平行,则这两个角( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.既不相等也不互补


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