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山东省济南市2013届高三第二次模拟考试数学理试题(WORD解析版)


济南市 2013 届高三第二次模拟考试数学理试题
参考答案与试题解析
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分) (2013?济南二模)已知集合 A={x||x﹣1|<2},B={x|log2x<2},则 A∩ B=( ) A.(﹣1,3) B.(0,4) C.(0

,3) D.(﹣1,4) 考点:交集及其运算. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先化简集合,即解绝对值不等式|x﹣1|<2,和对数不等式 log2x<2,再求交集. 解答:解:根据题意:集合 A={x||x﹣1|<2}={x|﹣1<x<3}, 集合 B={x|log2x<2}={x|0<x<4} ∴ A∩ B=(0,3) 故选 C. 点评:本题通过集合运算来考查不等式的解法.属于基础题.
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2. (5 分) (2013?济南二模) 若复数 A.﹣2 B.4

为虚数单位) 是纯虚数, 则实数 a 的值为 ( C.﹣6 D.6



考点:复数的基本概念. 专题:计算题. 分析:首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,把复数整理成最简形式,根 据复数是一个纯虚数,得到复数的实部等于 0,而虚部不为 0,得到结果. 解答: 解:若复数 为虚数单位)
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=

=



∵ 复数是一个纯虚数, ∴ a﹣6=0, ∴ a=6 经验证成立, 故选 D. 点评:本题考查复数的基本概念,考查复数的除法运算,考查复数是一个纯虚数,要求实部为零, 而虚部不为 0,本题是一个基础题. 3. (5 分) (2013?济南二模)函数 A.最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 的奇函数 是( )

B. 最小正周期为 π 的偶函数 D. 最小正周期为 的偶函数

考点:正弦函数的奇偶性;三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用诱导公式化简函数的解析式为 2cos2x,再根据余弦函数的周期性性和奇偶性得出结论. 解答: 解:∵ 函数 =2cos2x,∴ 此函数为偶函数,且最小正周期为 =π,
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故选 B. 点评:本题主要考查诱导公式的应用,余弦函数的周期性性和奇偶性,属于中档题. 4. (5 分) (2013?济南二模)等差数列 f(x)中,已知 a1=﹣12,S13=0,使得 an>0 的最小正整数 n 为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据已知条件求得 a13=12,再利用等差数列的性质可得 a7=0,再由等差数列为递增的等差数 列,可得使得 an>0 的最小正整数 n 为 8. 解答:
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解:∵ 等差数列 f(x)中,已知 a1=﹣12,S13=0,∴

=0,∴ a13=12.

由等差数列的性质可得 2a7=a1+a13=0,故 a7=0. 再由题意可得,此等差数列为递增的等差数列,故使得 an>0 的最小正整数 n 为 8, 故选 B. 点评:本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前 n 项和公式的应用,属于中档题. 5. (5 分) (2013?济南二模)为了解疾病 A 是否与性别有关,在一医院随机的对入院 50 人进行了问 卷调查得到了如下的列联表: 患疾病 A 不患疾病 A 合计 5 25 男 20 15 25 女 10 20 50 合计 30 请计算出统计量 Χ ,你有多大的把握认为疾病 A 与性别有关下面的临界值表供参考( 2 0.05 0.010 0.005 0.001 P(Χ ≥k) 3.841 6.635 7.879 10.828 A.95% B.99% C.99.5% D.99.9%
2



考点:独立性检验的应用. 专题:概率与统计. 分析:根据所给的列联表得到求观测值所用的数据,把数据代入观测值公式中,做出观测值,同所 给的临界值表进行比较,得到所求的值所处的位置,得到百分数. 解答:解:根据所给的列联表,
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得到 k = 临界值表: P(Χ ≥k)
2

2

=8.333>7.879,

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

∴ 至少有 99.5%的把握说明疾病 A 与性别有关. 故选 C. 点评:本题考查独立性检验的应用,考查根据列联表做出观测值,根据所给的临界值表进行比较, 本题是一个基础题. 6. (5 分) (2013?济南二模)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 asinA+csinC﹣ asinC=bsinB.则∠ B=( ) A. B. C. D.

考点:正弦定理;余弦定理. 专题:计算题;解三角形. 分析: 由已知结合正弦定理可得,
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,然后利用余弦定理可得,

cosB=

,可求 B asinC=bsinB

解答:解:∵ asinA+csinC﹣ 由正弦定理可得,

由余弦定理可得,cosB= ∵ 0<B<π ∴

=

故选 B 点评:本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的 应用,属于基础试题 7. (5 分) (2013?济南二模)某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课,要 求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课,则这天课程表的不同排法种数为( ) A.600 B.288 C.480 D.504 考点:排列、组合及简单计数问题. 分析:该题这种学校安排课表是有条件限制排列问题,可看做是 6 个不同的元素填 6 个空的问题, 条件限制是体育不排第一节,数学不排第四节,所以解答时分体育在第四节和体育不在第四 节两类,体育在第四节既满足了体育不在第一节的条件,也满足了数学不在第四节的条件, 当体育不在第四节时,数学也不能在第四节,则先安排第四节课,然后安排第一节课,最后
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安排剩余的四节课,安排完后利用分布乘法计数原理求第二类的方法种数,最后两类的方法 种数作和即可. 解答:解:学校安排六节课程可看做是用 6 个不同的元素填 6 个空的问题,要求体育不排在第一节 课,数学不排在第四节课的排法可分两类.一类是体育课排在第四节,则满足了体育课不在 第一节,同时满足了数学课不在第四节,排法种数是 =120 种;一类是体育课不排第四节,

数学课也不排在第四节,则第四节课只能从语文、英语、物理、化学课中任取 1 节来安排, 有 4 种安排方法,然后安排第一节课,第一节课可从语文、英语、物理、化学课中剩下的 3 各科目及数学科目 4 个科目中任选 1 节,有 4 种安排方法,最后剩余的 4 各科目和 4 节课可 全排列有 =24 种排法,由分步计数原理,第二类安排方法共有 4×4×24=384 种.

所以这天课表的不同排法种数为 120+384=504 种. 故选 D. 点评:本题考查了排列、组合既简单的计数问题,解答的关键是正确分类,求解时做到不重不漏, 是基础题. 8. (5 分) (2013?浙江模拟)设 m,n 是空间两条直线,α,β 是空间两个平面,则下列选项中不正 确的是( ) A.当 n⊥ α 时,“n⊥ β”是“α∥ β”成立的充要条件 B. 当 m?α 时,“m⊥ β”是“α⊥ β”的充分不必要条件 C. 当 m?α 时,“n∥ α”是“m∥ n”必要不充分条件 D.当 m?α 时,“n⊥ α”是“m⊥ n”的充分不必要条件 考点:平面的基本性质及推论. 专题:计算题. 分析:当 n⊥ α 时,“n⊥ β”?“α∥ β”;当 m?α 时,“m⊥ β”?“α⊥ β”,但是“α⊥ β”推不出“m⊥ β”;当 m?α 时, “n∥ α”?“m∥ n 或 m 与 n 异面”,“m∥ n”?“n∥ α 或 n?α”;当 m?α 时,“n⊥ α”?“m⊥ n”,但“m⊥ n” 推不出“n⊥ α”. 解答:解:当 n⊥ α 时,“n⊥ β”?“α∥ β”,故 A 正确; 当 m?α 时,“m⊥ β”?“α⊥ β”,但是“α⊥ β”推不出“m⊥ β”,故 B 正确; 当 m?α 时,“n∥ α”?“m∥ n 或 m 与 n 异面”,“m∥ n”?“n∥ α 或 n?α”,故 C 不正确; 当 m?α 时,“n⊥ α”?“m⊥ n”,但“m⊥ n”推不出“n⊥ α”,故 D 正确. 故选 C 点评:本题考生查平面的基本性质和推论,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
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9. (5 分) (2013?济南二模)函数

的图象大致为(



A .

B .

C .

D .

考点:函数的图象. 专题:计算题. 分析:通过特值法逐步排除选项即可得到结果. 解答: 解:当 x=1 时,函数 =1,所以选项 B 不正确;
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x=﹣1 时,函数 x= 时,函数 =

=1,所以选项 A 不正确, ﹣e<0,所以选项 D 不正确;

故选 A. 点评:本题考查函数的图象的判断,一般利用函数的奇偶性与函数的单调性,函数经过的特殊点以 及函数的对称性判断解答,例如本题采用特值排除法也是常用方法. 10. (5 分) (2013?济南二模)定义某种运算?,a?b 的运算原理如图所示.设 f(x)=1?x.f(x) 在区间[﹣2,2]上的最大值为. ( )

A.﹣2 考点:程序框图.

B.﹣1

C.1

D.2

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专题:图表型. 分析:通过程序框图判断出 S=a?b 的解析式,再求出 f(x)的解析式,从而求出 f(x)的解析式, 即可得到函数的最大值. 解答: 解:由书籍中的流程图可得 a?b=

∴ f(x)=1?x=

,画出它的图象,如图.

又∵ x∈[﹣2,2], 当﹣2≤x≤1 时,函数值 y∈[0,2]; 当 1<x≤2 时,函数值 y=1, ∴ 分段函数的值域为[0,2]. ∴ f(x)的最大值为 2. 故选 D.

点评:本题考查选择结构,主要考查了判断程序框图的功能即判断出新运算法则,利用运算法则求 值.解决新定义题关键是理解题中给的新定义.

11. (5 分) (2013?济南二模)△ ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 的值为( A. ) B. C. D.

,则

考点:平面向量数量积的运算. 专题:向量法. 分析: 将已知等式中的 移到等式的一边,将等式平方求出
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;将

利用向量的运算

法则用

,利用运算法则展开,求出值.

解答: 解:∵ ∴ ∴ ∵ A,B,C 在圆上 ∴ OA=OB=OC=1 ∴ ∴ = = 故选 A. 点评:本题考查向量的运算法则;向量模的平方等于向量的平方;将未知向量用已知向量表示. =

12. (5 分) (2013?济南二模)若椭圆 C1: >b2>0)的焦点相同且 a1>a2.给出如下四个结论: ① 椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点; ②
2 2

(a1>b1>0)和椭圆 C2:

(a2

4;
2 2

③ a1 ﹣a2 =b1 ﹣b2 ; ④ a1﹣a2<b1﹣b2. 其中,所有正确结论的序号是( ③ ④ ③ ④ A.② B.①

) ② ④ C.① ② ③ D.①

考点:椭圆的简单性质. 专题:探究型. 分析:利用两椭圆有相同焦点,可知 a12﹣a22=b12﹣b22,由此可判断① ③ 正确;利用 a1>b1>0,a2> b2>0 可判断④ 正确 解答:解:由题意,a12﹣b12=a22﹣b22,∵ a1>a2,∴ b1>b2,∴ ① ③ 正确; 2 2 2 2 又 a1 ﹣a2 =b1 ﹣b2 ,a1>b1>0,a2>b2>0,∴ ④ 正确, 故选 B. 点评:本题主要考查椭圆的几何性质,等价转化是关键.
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二、填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分)

13. (4 分) (2013?济南二模)不等式组

表示平面区域为 Ω,在区域 Ω 内任取一点 P(x,

y) ,则 P 点的坐标满足不等式 x +y ≤2 的概率为

2

2



考点:简单线性规划;几何概型. 专题:概率与统计. 分析: 由

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我们易画出图象求出其对应的面积,即所有基本事件总数对应的几何量,再求

出区域内和圆重合部分的面积,代入几何概型计算公式,即可得到答案. 解答: 解:满足约束条件
2 2

区域为△ ABC 内部(含边界) ,

与圆 x +y =2 的公共部分如图中阴影部分所示, 2 2 则点 P 落在圆 x +y =2 内的概率概率为

P=

=

=



故答案为:



点评:本题考查的知识点是几何概型,二元一次不等式(组)与平面区域,求出满足条件 A 的基本 事件对应的“几何度量”N (A) , 再求出总的基本事件对应的“几何度量”N, 最后根据 P= 求解.

14. (4 分) (2013?河西区一模) 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为



考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:由三视图可知,几何体是底部是一底面对角线长为 2 的正方形,高为 4 的长方体,上部为 一球,球的直径等于正方形的边长.求出正方形的边长,分别计算两部分的体积,即可. 解答:解:由三视图可知,几何体是底部是一底面对角线长为 2 的正方形,高为 4 的长方体,上 部为一球,
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球的直径等于正方形的边长.设正方形的边长为 a,则 2a =(2 所以,长方体的体积为 V1=2×2×4=16, 球的体积为 V2= ×π×1 = 故几何体的体积为 V=V1+V2= 故答案为: .
3

2

)2,即 a=2,

点评:本题考查三视图求几何体的表面积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几何体是解 题的关键.

15. (4 分) (2013?济南二模)设 24 .

=a,则二项式

的展开式中的常数项为

考点:二项式系数的性质;定积分. 专题:计算题. 分析:求定积分求得 a 的值,求得二项式的展开式的通项公式,再在展开式的通项公式中,令 x 的 幂指数等于 0,求得 r 的值,即可求得展开式中的常数项. 解答: 2 解:∵ a= =(x ﹣x) =2,则二项式 = ,
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故它的展开式的通项公式为 Tr+1=

?x

4﹣r

?2 ?x =

r

﹣r

?x =24,

4﹣2r



令 4﹣2r=0,可得 r=2,故展开式的常数项为

故答案为 24. 点评:本题主要考查求定积分,二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于中档题.

16. (4 分) (2013?济南二模)已知 F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的左、右焦点,

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,则双曲线的 离心率为 . 考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据双曲线的定义可求得 a=1,∠ ABF2=90°,再利用勾股定理可求得 2c=|F1F2|,从而可求得双 曲线的离心率. 解答:解:∵ |AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,不妨令|AB|=3,|BF2|=4,|AF2|=5, 2 ∵ |AB| +|BF2|2=|AF2|2,∴ ∠ ABF2=90°, 又由双曲线的定义得:|BF1|﹣|BF2|=2a,|AF2|﹣|AF1|=2a, ∴ |AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|,∴ |AF1|=3. ∴ |BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a, ∴ a=1.
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在 Rt△ BF1F2 中,|F1F2| =|BF1| +|BF2| =6 +4 =52, 2 2 2 ∵ |F1F2| =4c ,∴ 4c =52,∴ c= . ∴ 双曲线的离心率 e= = .

2

2

2

2

2

故答案为: . 点评:本题考查双曲线的简单性质,考查转化思想与运算能力,求得 a 与 c 的值是关键,属于中档 题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (12 分) (2013?济南二模)已知函数 小正周期为 π. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. 的最

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用两角和差的正弦公式化简函数 f(x)的解析式为

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,再根据最小

正周期为 π 求得 ω 的值,即可进一步确定函数的解析式. (2)根据 ,利用正弦函数的定义域和值域求得 f(x)在区间 上

的最大值和最小值,及取得最值时 x 的值. 解答: 解: (1)∵ 分) = = ∵ ∴ (2)∵ (9 分) 当 当 ,即 ,即 时,f(x)min=﹣1, 时,f(x)max=2.﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) ,∴ = .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ,∴ ω=1,﹣﹣﹣﹣(5 分) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1

﹣﹣﹣(3 分)

,即﹣1≤f(x)≤2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

点评:本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,两角和差的正弦公式,正弦函数 的定义域和值域,属于中档题. 18. (12 分) (2013?济南二模)已知数列{an}满足 a1=3, ,数列{bn}

满足



(1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点:数列递推式;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 ,可得 ,然后检验 bn+1﹣bn 是否为常数即可证明,进而可求其通
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项 (2)由题意可先求 an,结合数列的通项的特点,考虑利用错位相减求和即可求解 解答: 解(1)证明:由 ,得 ,



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)

所以数列{bn}是等差数列,首项 b1=1,公差为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∴ (2) ﹣(7 分) ∴ Sn=a1+a2+…+an=3×1+4×3+…+(n+2)×3 ∴ 分) ① ﹣② 得 =2+1+3+3 +…+3
2 n﹣1 n﹣1

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣①

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣② (9

﹣(n+2)×3 =

n

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评:本题主要考查了利用数列的递推公式证明等差数列,及等差数列的通项公式的应用,数列的 错位相减求和方法的应用. 19. (12 分) (2013?济南二模)某企业计划投资 A,B 两个项目,根据市场分析,A,B 两个项目的 利润率分别为随机变量 X1 和 X2,X1 和 X2 的分布列分别为: 5% 10% X1 P 0.8 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3

(1)若在 A,B 两个项目上各投资 1000 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润, 求利润的期望 E(Y1) ,E(Y2)和方差 D(Y1) ,D(Y2) ; (2)由于资金限制,企业只能将 x(0≤x≤1000)万元投资 A 项目,1000﹣x 万元投资 B 项目,f(x) 表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小值,并指出 x 为何值时,f(x)取到最小值. 考 概率的应用;离散型随机变量的期望与方差. 点: 专 概率与统计. 题: 分 (1)Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,根据两个投资项目的利润率分别为随 析:机变量 X1 和 X2 的分布列,可以得到 Y1 和 Y2 的分布列,得到分布列,余下的问题只是运算问 题,分别求出变量的期望和方差.
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(2)由题意知 f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和,写 出用 x 表示的方差的解析式,结合二次函数的最值问题,得到结果. 解 解: (1)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列为 答:X1 5% 10% P 0.8 0.2 20 80 120 Y2 P 0.2 0.5 0.3 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) E(Y1)=50×0.8+100×0.2=60,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) 2 2 D(Y1)=(50﹣60) ×0.8+(100﹣60) ×0.2=400,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) E(Y2)=20×0.2+80×0.5+120×0.3=80,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) D(Y2)=(20﹣80) ×0.2+(80﹣80) ×0.5+(120﹣80) ×0.3=1200.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)
2 2 2

=

[x +3(1000﹣x) ]=

2

2

(4x ﹣6000x+3×10 ) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

2

6

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 当 时,f(x)=300 为最小值.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点 本题考查离散型随机变量的分布列和期望,这种类型是近几年高考题中经常出现的,考查离散 评:型随机变量的分布列和期望,大型考试中理科考试必出的一道问题. 20. (12 分) (2013?济南二模)已知四边形 ABCD 是菱形,∠ BAD=60°,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥ 平面 ABCD,G、H 分别是 CE、CF 的中点. (1)求证:平面 AEF∥ 平面 BDGH (2)若平面 BDGH 与平面 ABCD 所成的角为 60°,求直线 CF 与平面 BDGH 所成的角的正弦值.

考点:平面与平面平行的判定;直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法. 专题:计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析:(1) 平面 AEF 内两条相交直线 EF 与 OG 分别平行平面 BDGH 内的两条相交直线 GH 与 OG, 利用平面与平面平行的判定定理证明即可. (2)取 EF 的中点 N,建立空间直角坐标系,设 AB=2,BF=t,求出 B、C、F、H 坐标,求 出平面 BDGH 的一个法向量, 平面 ABCD 的法向量, 利用向量的数量积, 结合二面角的大小, 求出 t,然后求出直线 CF 与平面 BDGH 所成的角的正弦值. 解答:解: (1)G、H 分别是 CE、CF 的中点 所以 EF∥ GH﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣① ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) 连接 AC 与 BD 交与 O,因为四边形 ABCD 是菱形,所以 O 是 AC 的中点 连 OG,OG 是三角形 ACE 的中位线 OG∥ AE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣② ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3 分 由① ② 知,平面 AEF∥ 平面 BDGH﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2)BF⊥ BD,平面 BDEF⊥ 平面 ABCD,所以 BF⊥ 平面 ABCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 取 EF 的中点 N,ON∥ BF∴ ON⊥ 平面 ABCD,
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建系 设 AB=2,BF=t, 则 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) , ﹣﹣﹣﹣﹣﹣

设平面 BDGH 的法向量为



所以 平面 ABCD 的法向量 ﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) , 所以 t =9, t=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (10 分)
2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

所以



设直线 CF 与平面 BDGH 所成的角为 θ, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (12 分)

点评:本题考查空间向量求解二面角以及直线与平面所成角的求法,平面与平面平行的判定定理的 应用,考查空间想象能力,逻辑推理能力以及计算能力的应用. 21. (12 分) (2013?济南二模)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)是抛物线 y =2px(p>0)上相异两点, Q、P 到 y 轴的距离的积为 4 且 .
2

(1)求该抛物线的标准方程. (2)过 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R,与 x 轴交点为 T,且 Q 为线段 RT 的中点,试求弦 PR 长度的最小值.

考点:直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 (1)由 ? =0,结合点 P,Q 在抛物线上,代入坐标后得到 y1y2=﹣4p ,把纵坐标转化为
3930094

横坐标后利用|x1x2|=4 可求得 p 的值,则抛物线方程可求; (2)连接 PQ,PR 分别叫 x 轴与点 E,M,设出 E 和 M 的坐标,同时设出 PQ,PR 所在的 直线方程, 和抛物线方程联立后化为关于 y 的一元二次方程, 利用根与系数的关系求出 P, Q, R 三点纵坐标的关系,再根据 Q 是 T 和 R 的中点找到 E 和 M 的坐标的关系,最终求出 P 和 R 纵坐标的乘积, 用含有纵坐标的弦长公式写出弦 PR 长度, 代入纵坐标的乘积后利用单调性 求最小值. 解答: 解: (1)∵ ? =0,则 x1x2+y1y2=0, 又 P、Q 在抛物线上,故 y1 =2px1,y2 =2px2,
2 2

故得

+y1y2=0,∴ y1y2=﹣4p ,

2


2



又|x1x2|=4,故得 4p =4,p=1. 2 所以抛物线的方程为 y =2x; (2)如图,设直线 PQ 过点 E(a,0)且方程为 x=my+a 联立方程组 ,消去 x 得 y ﹣2my﹣2a=0
2





设直线 PR 与 x 轴交于点 M(b,0) ,则可设直线 PR 方程为 x=ny+b,并设 R(x3,y3) , 联立方程组 ,消去 x 得 y ﹣2ny﹣2b=0
2





由① 、② 可得 由题意,Q 为线段 RT 的中点,∴ y3=2y2,∴ b=2a. 又由(Ⅰ )知,y1y2=﹣4,代入① ,可得 ﹣2a=﹣4,∴ a=2.故 b=4. ∴ y1y3=﹣8 ∴ = . .

当 n=0,即直线 PQ 垂直于 x 轴时|PR|取最小值

点评:本题考查了抛物线的方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,直线与圆锥曲线联系在一起的综 合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、 对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思 想方法.属难题.

22. (14 分) (2013?济南二模)设

,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切

线与直线 2x+y+1=0 垂直. (1)求 a 的值; (2)若?x∈[1,+∞) ,f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求 m 的范围. (3)求证: .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:压轴题;导数的综合应用. 分析:(1)求得函数 f(x)的导函数,利用曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 2x+y+1=0 垂直,即可求 a 的值;
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(2)先将原来的恒成立问题转化为

,设

,即

?x∈(1,+∞) ,g(x)≤0.利用导数研究 g(x)在(0,+∞)上单调性,求出函数的最大值, 即可求得实数 m 的取值范围. (3)由(2)知,当 x>1 时, 时, 成立.不妨令 ,

得出 到 n 个不等式,最后累加可得. 解答: 解: (1) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 由题设 ∴ ,

,再分别令 k=1,2,…,n.得

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴ 1+a=1,∴ a=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2) 设 ,?x∈(1,+∞) ,f(x)≤m(x﹣1) ,即 ,即?x∈(1,+∞) ,g(x)≤0.

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ① 若 m≤0,g'(x)>0,g(x)≥g(1)=0,这与题设 g(x)≤0 矛盾.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) ② 若 m>0 方程﹣mx +x﹣m=0 的判别式△ =1﹣4m 当△ ≤0,即 时,g'(x)≤0.
2 2

∴ g(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴ g(x)≤g(1)=0,即不等式成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) 当 时,方程﹣mx +x﹣m=0,其根
2





当 x∈(1,x2) ,g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)>g(1)=0,与题设矛盾. 综上所述, . ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (10 分) (3)由(2)知,当 x>1 时, 不妨令 时, 成立.

所以



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 累加可得 即

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣(14 分) 点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用,考查 学生的计算能力,属于中档题.


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