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第二章 2.2.2 第二课时 直线与椭圆的位置关系


2.2.2 椭圆的简单几何性质
第二课时 直线与椭圆的位置关系

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[提出问题]
1.椭圆是如何定义的? 提示:平面内与两个定点F1,F2距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 2.试总结求椭圆离心率的几种方法?
提示:(1)直接代入法;(2)e= a,c 的齐次式.
?b

?2 1-?a? ;(3)转化为关于 ? ?

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直线与椭圆的位置关系
[例 1] x2 对不同的实数值 m, 讨论直线 y=x+m 与椭圆 4 +

y2=1 的位置关系.

[解]

x+m, ? ?y= 由?x2 2 +y =1, ? 4 ?

x2 消去 y,得 4 +(x+m)2=1,
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整理得 5x2+8mx+4m2-4=0. Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2). 当- 5<m< 5时,Δ>0,直线与椭圆相交; 当 m=- 5或 m= 5时,Δ=0,直线与椭圆相切; 当 m<- 5或 m> 5时,Δ<0,直线与椭圆相离.

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[类题通法] 判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方 程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一 个变量的一元二次方程,则 Δ>0?直线与椭圆相交; Δ=0?直线与椭圆相切; Δ<0?直线与椭圆相离.

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[活学活用] x2 y2 若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 5 +m=1 总有公共点, 求 m 的取值范围. kx+1, ? ?y= 解:由?x2 y2 消去 y,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0, + = 1, ? ?5 m
∴Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1). ∵直线与椭圆总有公共点,∴Δ≥0 对任意 k∈R 都成立. ∵m>0,∴5k2≥1-m 恒成立,∴1-m≤0,即 m≥1. 又椭圆的焦点在 x 轴上,∴0<m<5,∴1≤m<5.

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弦长问题
x 2 y2 [例 2] 已知斜率为 2 的直线经过椭圆 5 + 4 =1 的右焦点 F1,与 椭圆相交于 A,B 两点,求弦 AB 的长. x 2 y2 [解] 法一: ∵直线 l 过椭圆 5 + 4 =1 的右焦点 F1(1,0), 且直

线的斜率为 2,∴直线 l 的方程为 y=2(x-1), x-y-2=0, ? ?22 即 2x-y-2=0.由方程组?x y2 ? ? 5 + 4 =1, 得交点
?5 4? A(0,-2),B?3,3?. ? ?

|AB|= ?xA-xB?2+?yA-yB?2 =
? 5?2 ? 4? 2 ?0- ? +?-2- ? = 3? ? 3? ?

125 5 9 =3 5.

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法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2), -y-2=0, ? ?2x 则 A,B 的坐标为方程组?x2 y2 的解. + 4 =1 ? 5 ? 5 消去 y 得,3x -5x=0,则 x1+x2=3,x1· x2=0.
2

∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2?1+k2 AB?
2 = ?1+k2 ? [ ? x + x ? AB 1 2 -4x1x2]



?1+2

2

?5?2 5 5 ??3? -4×0= 3 . ? ?

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[类题通法] 当直线与椭圆相交时,两交点间的距离,称为弦长. (1)求弦长的方法: 将直线方程与椭圆方程联立, 得到关于 x 的一元二次方程,然后运用韦达定理,找到根与系数的关系, 再求弦长.不必具体求出方程的根,即不必求出直线与椭圆的 交点.这种方法是求弦长常采用的方法.

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(2)求弦长的公式:设直线 l 的斜率为 k,方程为 y=kx+b,设 端点 A(x1,y1),B(x2,y2). 则|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2+?kx1-kx2?2 = 1+k2 · ?x1-x2?2 = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2, 或 |AB| =
?1 1 ?2 ? y1- y2? +?y1-y2?2 k ? ?k



1 1+k2 · ?y1-y2?2 =

1 1+k2· ?y1+y2?2-4y1y2. 其中,x1+x2,x1x2 或 y1+y2,y1y2 的值,可通过由直线方程与 椭圆方程联立消去 y 或 x 后得到关于 x 或 y 的一元二次方程得到.
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[活学活用] x2 y2 3 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,且椭圆与直线 x+2y+ 8=0 相交于 P,Q,且|PQ|= 10,求椭圆方程. 3 1 2 2 解:∵e= 2 ,∴b =4a .
∴椭圆方程为 x2+4y2=a2. 与 x+2y+8=0 联立消去 y,得 2x2+16x+64-a2=0, 5 由 Δ>0 得 a >32,由弦长公式得 10=4×[64-2(64-a2)].
2

∴a2=36,b2=9. x2 y2 ∴椭圆方程为36+ 9 =1.

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中点弦问题
[例 3] x2 y2 已知点 P(4,2)是直线 l 被椭圆36+ 9 =1 所截得的线段

的中点,求直线 l 的方程. [解] 法一:由题意可设直线 l 的方程为 y-2=k(x-4),

而椭圆的方程可以化为 x2+4y2-36=0. 将直线方程代入椭圆的方程有 (4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0. 8k?4k-2? 1 ∴ x 1 + x2 = =8,∴k=-2. 4k2+1 1 ∴直线 l 的方程为 y-2=-2(x-4), 即 x+2y-8=0.

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法二:设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 ? ?x1+4y1-36=0, ∴? 2 2 ? ?x2+4y2-36=0.

两式相减,有(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 1 又 x1+x2=8,y1+y2=4,∴ =-2, x1-x2 1 即 k=-2.∴直线 l 的方程为 x+2y-8=0.

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[类题通法] 解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程 组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中 点坐标公式解决; (2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标 分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系, x2 y2 具体如下:已知 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上 的两个不同的点,M(x0,y0)是线段 AB 的中点,

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2 2 ?x1 y1 ?a2+b2=1, 则? 2 2 y2 ?x2 + = 1, ?a2 b2

① ②

y 1- y 2 1 2 1 2 2 2 由①-②,得a2(x1-x2)+b2(y1-y2)=0,变形得 = x1-x2 b2 x1+x2 b2 x0 b2x0 -a2· =-a2· y0,即 kAB=-a2y0. y1+y2

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[活学活用] 已知中心在原点,一个焦点为 F(0, 50)的椭圆被直线 l: 1 y=3x-2 截得的弦的中点横坐标为2,求此椭圆的方程. y2 x2 解:设所求椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0).
弦两端点为(x1,y1),(x2,y2), y2 x2 由a2+b2=1 及 y=3x-2 得 (a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0,

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x1+x2 1 12b2 x1+x2= 2 =2, 2,由已知 2 a +9b 12b2 2 2 2 2 2 即 2 = 1 ,所以 a = 3 b . 又 c = a - b =50, a +9b2 所以得 a2=75,b2=25, y2 x2 所以椭圆的方程为75+25=1.

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3.求解直线和椭圆的综合问题
[典例] x2 y2 (北京高考)(12 分)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)

2 的一个顶点为 A(2,0),离心率为 2 .直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交 于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△AMN 的面积为 3 时,求 k 的值.

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[解题流程]

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?a=2, ?c 2 (1)由题意得? = , a 2 ? 2 2 2 ? a =b +c ,

[规范解答]

[名师批注]

x2 y2 所以椭圆C的方程为 4 + 2 =1.(2分)

联立椭圆与直线方程组 解得b= 2,(1分) 成方程组,消去一个未 知数,得到关于x?或y? 的一元二次方程.

k?x-1?, ? ?y= (2)由?x2 y2 得(1+2k2)x2-4k2x+ ? ? 4 + 2 =1, 2k2-4=0.(4分) 设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

4k2 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= , 1+2k2 2k2-4 x1x2= ,(5分) 1+2k2

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[规范解答]
所以|MN|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 2 ?1+k2??4+6k2? .(7分) 1 + 2k2

[名师批注]

把x1+x2, x1x2整体 代入表示出|MN|, 计算时要仔细.

又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离 d= |k| ,(9分) 1+ k 2

|k| 4+6k2 1 所以△AMN的面积为S=2|MN|· d= . 1+ 2k2 (10分) |k| 4+6k2 10 4 2 由 = ,化简得 7 k - 2 k -5=0,解得 k的方程,可求k的值. 2 3 1+ 2k k= ± 1.(12分)

由已知面积列关于

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x2 y2 如图,椭圆16+ 9 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,一条直线 l 经过 F1 与椭圆交于 A,B 两点,若直线 l 的倾斜角为 45° , 求△ABF2 的面积.

[活学活用]

x2 y2 解:由椭圆的方程16+ 9 =1 知,a=4,b=3, ∴c= a2-b2= 7. 由 c= 7知 F1(- 7,0),F2( 7,0),又直线 l 的斜率 k=tan 45° =1,∴直线 l 的方程为 x-y+ 7=0.

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y+ 7=0, ? ?x- 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由? x2 y2 消去 x, + =1, ? ?16 9 整理得 25y2-18 7y-81=0. 18 7 81 ∴y1+y2= 25 ,y1y2=-25. ∴|y1-y2|= ?y1+y2? -4y1y2=
2

?18 7? 81 72 2 ? ?2 ? 25 ? +4×25= 25 , ? ?

1 1 72 2 72 14 ∴S△ABF2=2|F1F2|· |y1-y2|=2×2 7× 25 = 25 .

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[随堂即时演练]
x2 y2 1.已知点(2,3)在椭圆m2+n2=1 上,则下列说法正确的是( A.点(-2,3)在椭圆外 C.点(-2,-3)在椭圆内 B.点(3,2)在椭圆上 D.点(2,-3)在椭圆上 )

解析:由椭圆的对称性知点(2,-3)也在椭圆上.
答案:D

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x2 y2 2.直线 y=x+1 被椭圆 4 + 2 =1 所截得的弦的中点坐标是(
?2 5? A.?3,3? ? ? ? 2 1? C.?-3,3? ? ? ?4 7? B.?3,3? ? ? ? 13 17? D.?- 2 , 2 ? ? ?

)

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的交点,中点 x+1, ? ?y= M(x0,y0),由?x2 y2 得 3x2+4x-2=0. ? ? 4 + 2 =1, x1+x2 1 ? 4? 2 ?- ?=- , x0= 2 =2· 3 ? 3? 1 y0=x0+1=3,
? 2 1? ∴中点坐标为?-3,3?. ? ?

答案:C

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x2 y2 3.设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上 25 16 一点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点的 距离为________.
1 解析:由题意知|OM|=2|PF2|=3, ∴|PF2|=6,∴|PF1|=2×5-6=4.
答案:4

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x2 y2 4.直线 y=x+2 与椭圆m+ =1 有两个公共点,则 m 的取 3 值范围是________. x2 y2 ? ? + =1, 解析:由?m 3 得(m+3)x2+4mx+m=0. ? ?y=x+2,

又∵直线与椭圆有两个公共点, ∴Δ=(4m)2-4m(m+3)=16m2-4m2-12m =12m2-12m>0,解得 m>1 或 m<0. 又∵m>0 且 m≠3,∴m>1 且 m≠3.

答案:(1,3)∪(3,+∞)

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x2 y2 5.过点 P(-1,1)的直线与椭圆 + =1 交于 A,B 两点,若线段 4 2 AB 的中点恰为点 P,求 AB 所在的直线方程及弦长|AB|.
解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 A,B 两点在椭圆上得
2 2 ? ?x1+2y1=4, ? 2 2 ? ?x2+2y2=4,

两式相减得 ①

(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0. 显然 x1≠x2,故由①得 y1-y2 x1+x2 kAB= =- . x1-x2 2?y1+y2? 因为点 P 是 AB 的中点,所以有

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x1+x2=-2,y1+y2=2.



1 把②代入①得 kAB= ,故 AB 的直线方程是 2 1 y-1= (x+1),即 x-2y+3=0. 2 x-2y+3=0, ? ? 2 2 由? x y 消去 y 得 3x2+6x+1=0. + =1, ? 4 2 ? 1 ∴x1+x2=-2,x1x2= , 3 |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?x1-x2?2+[k?x1-x2?]2= 1+k2· ?x1-x2?2 = 1+k · ?x1+x2? -4x1x2=
2 2

1 24 30 1+ · = . 4 3 3

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[课时达标检测]

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