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浙江省杭州第二中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


2015-2016 学年浙江省杭州市第二中学高一下学期期中考试数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题和填空题)和第Ⅱ卷(答题卷)两部分,满分 10 0 分,考试时间 100 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. ?ABC 中, AB ? 3 , AC ? 1 , B ?


?
6

,则 ?ABC 的 面积等于(



A.

3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2
? ? ?

D.

3 3 或 2 4

2.已知 P 是边长为 2 的正 ?ABC 的边 BC 上的动点,则 AP ?( AB ? AC ) ( A.有最大值 8 B.是定值 6 C .有最小值 2 )

) D.是定值 2

3.数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? A. ? 2

1 (n ? N * ) ,则 a2016 =( 1 ? an
C. 2

B. ? 1

D.

1 2

4.在平面直角坐标系中, 角 ? 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边过点 P (sin 则 sin( 2? ?

?

?
12

, cos ) , 8 8

?

) 的值为(



A.

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2


5.若 0 ? ? ?

?
2
3 3

,?

?

3 ?? ?? ? 1 ?? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? ( ? ? ? 0, cos ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? 2 2? ?4 ? 3 ?4 2? 3 ?
B. ?

A.

3 3

C.

5 3 9

D. ?

6 9

6.在 ?ABC 中, a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形

D.以上都可能 处取得最小值, 则函数 y ? f (

b 为常数,x ? R ) 7.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x (a, 在x ?
的图像 关于( A. ( )中心对称. B. (

?
3

2? ? x) 3

5? ,0 ) 6

2? ,0) 3

C. (

?
2

,0)


D. (

?
3

,0)

8.若 A, B 是锐角三角形 ABC 的两个内角,则以下选项中正确的是( A. sin A ? sin B B. sin A ? cos B C. tan A tan B ? 1

D. tan A tan B ? 1

9.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且 数 n 的个数是( A.5 ) B.4 C.3

An 6n ? 54 a ? ,则使得 n 为整数的正整 Bn n?5 bn
D.2
-1-

10.扇形 OAB 中, ?AOB ? 90 , OA ? 2 ,其中 C 是 OA 的中点, P 是 AB 弧上的
?

动点 (含端点) , 若实数 ? , ? 满足 OP ? ? OC ? ? OB , 则 ? ? ? 的取值范围是 ( A. [1, 2 ] B. [1, 3 ] C. [1,2] D. [1, 5 ]

?

?

?



二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 =_________. 12.已知数列 {an } 是等差数列, a2 ? a7 ? 12 , a4 a5 ? 35 ,则 an =_______. 13.已知 ? , ? ? (0, ? ) ,且 cos ? ?

5 3 1 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? =_________. 14 7
? ? ? ?

14.在 ?ABC 中, O 为 ?ABC 的外心,满足 15 AO ? 8 BO ? 17 CO ? 0 ,则 ?C =___________. 15.已知 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a 、 b ,斜边和斜边上的高分别为 c 、 h ,则 _________. 16.若正实数 x , y , z 满足 x ? y ? 9 , x ? z ? xz ? 16 , y ? z ? 3 yz ? 25 ,则
2 2
2 2
2 2

c ? 2h 的取值范围是 a?b

2 xy ? 3 xz ? yz =__________.

-2-

杭州二中2015学年第二学期高一年级期中考试数学答题卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 题号 答案 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11._ ____ ______

12.___________

13.___________

14.___________

15.___________

16.___________

三、解答题:本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b , c ,且 (1)求角 A 的值; (2)若 ?B ?

2b ? 3c cos C . ? cos ? 3a

?
6

, BC 边上中线 AM ?

7 ,求 ?ABC 的面积.

-3-

18.(本小题满分 10 分)已知数列 {an } ,设其前 n 项和为 S n ,满足 S 5 ? 20 , S8 ? ?4 . (1)求 an 与 S n ; (2)设 cn ? an an ?1an ? 2 ,Tn 是数列 {cn } 的前 n 项和,若对任意 n ? N ,不等式 Tn ? 实数 m 的取值范围.
?

m ? 466 恒成立,求 3

-4-

19.(本小题满分 12 分)如图,某房产开发商计划在一正方形土地 ABCD 内建造一个三角形住宅区,在其 余土地种植绿化, 住宅区形状为三角形 APQ , 其中 P 位于边 CB 上, ?PAQ ? Q 位于边 CD 上. 已知, 设 ?PAB ? θ ,记绿化率 L ? 1 ?

?

4



?PAQ面积
正方形ABCD面积

,若 L 越大,则住宅区绿化越好.

(1)求 L(? ) 关于 ? 的函数解析式; (2)问当 ? 取何值时, L 有最大值?并求出 L 的最大值.

-5-

20.(本小题满分 14 分)已知 a ? (sin x, cos x), b ? (sin x, k ), c ? ( ?2 cos x,sin x ? k ) . (1)当 x ? [0,

?

?

?

?
4

? ? ] 时,求 b ? c 的取值范围;
? ? ?

(2)若 g ( x) ? (a ? b) ? c ,求当 k 为何值时, g ( x) 的最小值为 ?

3 . 2

杭州二中2015学年第二学期高一年级期中考试数学答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 3 0 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 A 5 C 6 D 7 A 8 C 9 B 10 D

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 11. 2sin1 14. 12.2n-3或15-2n 13.

? 15. (1, 2 ] 16.24 4
? ;(2) 3 . 6
2b ? 3c cos C , ? cos ? 3a

1 2

三、解答 题:本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(1)

解析: (1)?

?由正弦定理,得
(2)? ?? ?

? 2sin ? ? 3 sin C cos C 3 ,化简得 cos ? ? ,? ? ? . ? 6 2 cos ? 3 sin ?
2? , 3

?
6

,? C ? ? ? ? ? ? ?

可知 ??? C 为等腰三角形. 在 ???C 中,由余弦定理,
2 2 2 ? 得 ?? ? ?C ? ?C ? 2?C ??Ccos120 ,

即 7 ? b2 ? ? ? ? 2 ? b ? ? cos120? ,解得 b ? 2 .

?b? ?2?

2

b 2

? ??? C 的面积 S ? b2 sin C ? ? 22 ?
解析: (1) an ? 13 ? 3n . S n ?

1 2

1 2

3 ? 3. 2

? 3n 2 ? 23n . 2

(2)? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 0 ? a5 ? a6 ? ? ? ? ,

?c1 ? a1a2a3 ? 0, c2 ? a2a3a4 ? 0, c3 ? a3a4a5 ? 0, c4 ? a4a5a6 ? 0, c5 ? a5a6a7 ? 0 ,
-6-

且当 n ? 5 时,都有 cn ? 0 ,所以当 n ? 4 时, Tn 的值最大,此时 Tn ? 310, 由 310 ?

m ? 466 ,得 m ? 2016 5

18.解析: (1)? ?BAP ? ? , ?PAQ ?

?

100 , ,AQ ? ? cos? cos( ? ?) 4 1 100 100 ? ? 2 cos? cos(? ? ? ) 1 1 4 ? L(? ) ? 1 ? 1? ? 2 100 2 cos? cos(? ? ? ) 4 ? AP ?
1 ? 1- ? 2 1 cos? ( 2 2 cos? ? sin ? ) 2 2 ? 1? 2 1 ? 2 2 cos ? ? cos? sin ?

4 100

, ? ?DAQ ?

?

? ? , ? ? [0, ] 4 4

?

? 1?

2 1 1 1 ? ? 1? 2 ? ? 1? ? ? 2 cos 2? ? 1 ? sin 2? 2 sin(2? ? ) ? 1 sin(2? ? ) ? 1 2 2 4 4

(2)?? ? [0,

?
4

], ? 2? ?
1

?

? 3? ? 2 ? [ , ],? sin(2? ? ) ? [ ,1], 4 4 4 4 2
? 11 2 ? 1? ? 1 ? (2 ? 2 ) ? 2 ? 1 2 2? 2 ?1 2

? L(? ) ? 1 ?

sin(2? ? ) ? 1 4

?

? 当 ? ? 0或

?
4

时, L 有最大值 2 -1 .

20.1. (1) [1, 2] ; (2) 0 . 解析: (1) b ? c ? (sin x ? 2cos x,sin x),

? ?

? ? | b ? c |2 ? (sin x ? 2cos x,sin x)2 ? 2sin 2 x ? 4sin x cos x ? 4cos2 x

=2cos2 x ? 4sin x cos x ? 2 ? cos 2x ? 2sin 2x ? 3 ? 5 cos(2x ? ?) ? 2 ,其中, tan? ? 2 ,
又? x ? [0,

?
4

] ,? 2 x ? ? ? [? ,

?
4

? ? ] ,? 5 cos(2x ? ? ) 在 [? ,

?
4

? ? ] 上单调递减,
-7-

?| b ? c |2? [1,4] ,?| b ? c |? [1,2]
(2) a ? b ? (2sin x,cos x ? k ), g ( x) ? (a ? b) ? c ? ?4sin x cos x ? (cos x ? k )(sin x ? k )

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?3sin x cos x ? k (sin x ? cos x) ? k 2
令 t ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ? ) , 4

?

则 t ? ? ? 2, 2 ? ,且 t 2 ? sin 2 x ? cos2 x ? 2sin x cos x ? 1 ? 2sin x cos x ,

?

?

1? t2 所以 sin x cos x ? . 2
所以 g ( x) 可化为 h(t ) ? (?3) ? 对称轴 t ? ?

1? t2 3 3 ? ? kt ? t 2 ? t 2 ? kt ? k 2 ? , t ? ? ?? 2, 2 ? , 2 2 2

k ?? . 3 3 2? 2

k

①当 ?

k ? ? 2 ,即 k ? 3 2 时, 3 3 3 3 g ( x) min ? h(? 2) ? ? (? 2) 2 ? k (? 2) ? k 2 ? ? ? k 2 ? 2k ? , 2 2 2

2 由 ? k ? 2k ?

3 3 ? 2 ? 14 ? ? ,得 k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ,所以 k ? .因为 k ? 3 2 ,所以此时无解. 2 2 2

k ? 2 ,即 ?3 2 ? k ? 3 2 时 3 k 3 k k 3 7 3 g ( x) min ? h(? ) ? (? ) 2 ? k (? ) ? k 2 ? ? ? k 2 ? . 3 2 3 3 2 6 2 7 2 3 3 由 ? k ? ? ? ,得 k ? 0 ? ? ?3 2,3 2 ? . ? ? 6 2 2 k ③当 ? ? 2 ,即 k ? ?3 2 时, 3 3 3 3 g ( x) min ? h( 2) ? )( 2) 2 ? 2k ? k 2 ? ? ?k 2 ? 2k ? . 2 2 2 3 3 2 2 由 ? k ? 2k ? ? ? ,得 k ? 2k ? 3 ? 0 , 2 2
②当 ? 2 ? ? 所以 k ?

2 ? 14 . 2

因为 k ? ?3 2 ,所以此时无解. 综上所述,当 k ? 0 时, g ( x) 的最小值为 ?

3 . 2

-8-


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