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导数在研究函数中的应用


导数在研究函数中的应用 [摘要] 本文针对近年来《导数在研究函数中的应用》逐渐成为 知识考查重点这一情况,在简要介绍该知识点的重要性后,具体从 函数图像切线问题、函数单调性研究以及函数零点等方面着重探讨 了导数在研究函数中的应用方向,并针对导数在函数单调性中的解 题误区作了初步探讨。 [关键词] 导数 函数 单调性 导函数即导数,作为研究函数的重要工具,函数思想在其定义阐述 与应用过程中贯穿始终。随着课程改革的全面深化,导数知识进入 新教材后为函数解题思路开辟了新的途径,《导数在研究函数中的 应用》也逐步成为数学知识考查的重点。随着导数知识考查要求的 增强,如何利用其有效地联系函数知识点及相关数学思想来进一步 提升学生的探究、穿行能力,成为当前高中数学教学的重点课题。 一、导数在研究函数中的应用类型 《导数在研究函数中的应用》一节的学习目标主要包括以下三点: 一是从几何角度直观认识导数与函数单调性间的联系,可利用导数 分析其单调性并求取单调区间;二是掌握函数在某点 x0 取极值的充 分、必要条件,并以此为工具求取函数极大值与极小值;三是能求取 三次以下多项式函数的闭区间最值。本文即结合课程教学目标及相 关试题对此问题进行分析。 二、利用导数研究函数问题的类型 1.利用导数解决函数图像切线问题 在解析几何问题中引入导数几何意义,有助于拓宽解题思路。导数 f′(x)的几何意义在函数图像上表示为曲线 y=f(x)上某点 p(x0,f(x0))处的切线斜率 f′(x0)。究其具体应用而言,如已知曲 线 y=f(x)、 p(x0,y0),就可获取 y′=f′(x0)即切线斜率,进而得 点 出切线方程 y-y0=f′(x0)(x-x0)。 此外,在“已知一点、求与已知曲线相切的方程”之类例题的分析 讲解中,教师应注意帮助学生在解题思路上区分两种情况,一是“曲 线在点 p 处的切线”,即以 p 为切点的唯一切线;二是“曲线过点 p 处的切线”,此处点 p 不一定为切点且切线为 2 条。譬如,求与曲线 y=x+9x+5 相切且经过原点 o 的方程。 该题我们可以初步判断应存在 两切点,在求取导数方程后,可获取切线斜率 y0=3 或 y0=3/5,进而求 出切点,联系题中经过原点的条件,就可求得切线方程为 y=-x,y=-x/25。 2.导数在函数单调性研究中的应用 单调性判断是函数研究的重点内容,其步骤在引入导数概念后能 得到一定程度的简化,可分为如下步骤:确定函数 y=f(x)的定义域; 求取导函数 y=f′(x);并求出方程 f′(x)=0 在定义区间内的一切实 根;将函数 y=f(x)的间断点与各实根有序排列,并按函数定义域划 分为若干区间;最后按 f′(x)在各开区间内的正负符号分别判断函 数 f(x)的单调性特征。 此外,在该点的教学中,学生不能对解题思路生搬硬套,应了解其 缘由。一是 f′(x)在开区间(a,b)内大于或小于 0 是函数 y=f(x)在 区间内单调递增或单调递减的充分不必要条件。二是(a,b)内恒有 f′(x)=0 才可以判定函数 y=f(x)在区间内为常函数,不能因个别导 数为 0 就武断地跑那段函数单调性。 3.利用导数取函数最值或极值 利用导数判断函数单调性、求取函数单调区间以及最值、极值,往 往与不等式、参数范围等问题相综合,单调性问题需要转化为一元 二次或高次不等式进行求解,且多数需要进行参数讨论,因此,这一 部分内容应注意培养学生分类整合、化归转化的解题思路及数学思 想。 此外应注意的是,函数极值与最值的求取存在一

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