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2015年高一数学精品优秀教案:1.2.1《函数的概念》(1)(新人教A版必修一)


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第一课时 函数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解函数的概念,能用集合与对应的语言刻画函数,了解构成函数的三 要素。 〖过程与方法〗1、通过丰富实例,建立函数概念的背景,体会函数是描述变量之间的 依赖关系的重要数学模型。 2、体会对应关系在刻画函数概念中的作用。 〖情感、态度、价值观〗通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养学生的抽象 思维能力。 教学重、难点 〖重点〗体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,正确理解函数的概念。 〖难点〗函数概念及符号的理解。 教学过程设计 一、知识回顾 1、初中学习的函数概念是什么? 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有惟一的值与它 对应,则称 x 是自变量,y 是 x 的函数;其中自变量 x 的取值的集合叫做函数的定义域,和 自变量 x 的值对应的 y 的值叫做函数的值域。 2、思考: (1)y = 1 是函数吗? (2)y = x 与 y ?

x2 是同一个函数吗? x

显然,仅用初中函数的概念很难回答这些问题。因此,需要从新的高度认识函数。 二、问题情境设疑 引例 1、 (炮弹发射) 一枚炮弹发射后, 经过 26s 落到地面击中目标。 炮弹的射高为 845m, 且炮弹距地面的高度 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是: h ? 130t ? 5t 2 (*) 。 炮弹飞行时间 t 的变化范围是数集 A = {t |0 ≤ t ≤ 26},炮弹距地面的高度 h 的变 化范围是数集 B = {h | 0 ≤ h ≤ 845}。
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从问题的实际意义可知,对于数集 A 中的任意一个时间 t,按照对应关系(*) ,在数集 B 中都有惟一的高度 h 和它对应。 引例 2、 (南极臭氧空洞)近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层 空洞问题,如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从 1979 ~ 2001 年的变化情况: 根据可图中的曲线可知,时间 t 的变化范围是数 集 A = {t | 1979 ≤ t ≤ 2001},臭氧层空洞面积 S 的变化范围是数集 B = {S |0 ≤ S ≤26}。并且,对 于数集 A 中的每一个时刻 t,按照图中的曲线,在数 集 B 中都有惟一确定的臭氧层空洞面积 S 和它对应。 引例 3、 (恩格尔系数变化表)国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高 低,恩格尔系数越低,生活质量越高,下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明, “八 五计划”以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

请仿照(1) 、 (2)描述恩格尔系数和时间(年)的关系。 问题:分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同点? 不同点: 实例(1)是用解析式刻画变量之间的对应关系,实例(2)是用图象刻画变量之间的对 应关系,实例(3)是用表格刻画变量之间的对应关系; 共同点: (1)都有两个非空数集; (2)两个数集之间都有一种确定的对应关系。 三、核心内容整合 1、函数的概念 归纳以上三个实例,我们看到,三个实例中变量之间的关系可以描述为: 对于数集 A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f,在数集 B 中都有惟一确定的 y 和它对 应,记作 f : A→B。 定义:设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合 A 中的任意

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一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作: y ? f ( x), x ? A 。 2、函数的三要素 (1)定义域 A:自变量 x 的取值范围。 (2)对应法则 f ——变化规律; (3)值域 { f ( x) | x ? A} :函数值 y 的集合。 如: (1)一次函数 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,定义域为 R,值域为 R; (2)正比例函数 f ( x) ? kx(k ? 0) ,定义域为 R,值域为 R; (3)反比例函数 f ( x) ?

k (k ? 0) ,定义域为 {x | x ? 0} ,值域为 { y | y ? 0} ; x
2

(4)二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 定义域为 R,

4ac ? b 2 4ac ? b 2 a > 0 时,值域为 { y | y ? } ;a < 0 时,值域为 { y | y ? }。 4a 4a
说明:① 定义域、值域、对应关系是决定函数的三要素,是一个整体; ② 值域由定义域、对应法则惟一确定; ③ 函数符号 y = f (x)表示“y 是 x 的函数”而不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积” 。 练习 1:判断正误 1、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应( 2、函数的定义域和值域一定是无限集合( ) ) ) )

3、定义域和对应关系确定后,函数值域也就确定(

4、若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素( 5、对于不同的 x,y 的值也不同( )

6、f (a)表示当 x = a 时,函数 f (x)的值,是一个常量( 归纳:如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系? ① 定义域和对应法则是否给出?



② 根据所给对应法则,自变量 x 在其定义域中的每一个值,是否都有惟一确定的一个 函数值 y 和它对应。 练习 2:判断下列对应能否表示 y 是 x 的函数:

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(1)y ?| x | ; (2)| y |? x ; (3)y ? x ; (4)y ? x(5)y ? x ? 1 ; (6)y ? x ? 1 。
2 2 2 2 2 2

练习 3:下列图象能表示函数图象的是( y y

) y y

0 (A)

x (B)

0

x

0

x

0

x

四、例题分析示例 例 1、已知函数 f ( x) ? (1)求函数的定义域; (2)求 f (?3), f ( ) 的值; (3)当 a > 0 时,求 f (a ), f (a ? 1) 的值。

(C)

(D)

x?3?

1 , x?2

2 3

注意:① 研究一个函数一定在其定义域内研究,所以求定义域是研究任何函数的前提 ② 函数的定义域常常由其实际背景决定, 若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义 的实数 x 的集合。 结论: (1)如果 y ? f ( x) 是整式,则定义域是实数集 R; (2)如果 y ? f ( x) 是分式, 则定义域是使分母不等于 0 的实数的集合; (3)如果 y ? f ( x) 是二次根式,则定义域是使 根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合; (4)如果 y ? f ( x) 是由几个部分的式子构成, 则定义域是使各部分都有意义的实数的集合(即各集合的交集) ; (5)如果是实际问题,则 定义域是使实际问题有意义的实数的集合。 练习 4:P19 练习 1、2。 四、三维体系构建 1、函数的概念: 2、函数的三要素:定义域、值域、对应法则。 3、会求简单函数的定义域和函数值。 五、课后作业: P24,习题 1.2,A 组,1,3,4。 教学反思:

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