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数学校本课程《趣味数学》






数学是一门基础科学,一切自然科学都离不开数学严密的计算 和推理,数学也是人文科学和逻辑思维的基础。 趣味数学是以传统的课堂教学为基础,以开放,创新的思维模 式,集中体现了素质教育思想,立足培养兴趣,旨在提高成绩,通 过讲,学,练这一科学有效的训练方法,培养学生的数学兴趣和教 学思维。立足基础知识,结合教学实际,博采众长,寓理于例

,重 在思维训练,并加以适合的延伸和拓展,以提高学生对数学的兴趣, 启发学生的创造力和思维能力,爱学,乐学,增强孩子的学习主动 性,提高学生思维的敏捷性,灵活性,准确性和深刻性是我们的宗 旨和目标。 “千里之行,始于足下”愿广大学生在汗水中积累知识,在灵感 中启迪智慧,在和谐中走向成功!

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第一部分:课程目标 第二部分:课程的组织形式与实施计划 第三部分:课程内容简介 第 1 讲 集合中的趣题—“集合”与“模糊数学?????? 第 2 讲 函数中的趣题— 一份购房合同?????????? 第3讲 第4讲 第5讲 第6讲 第7讲 函数中的趣题—孙悟空大战牛魔王???????? 三角函数的趣题—直角三角形?????????? 三角函数的趣题—月平均气温问题???????? 数列中的趣题—柯克曼女生问题????????? 数列中的趣题—数列的应用???????????

第 8 讲 不等式性质应用趣题―两边夹不等式的推广及趣例?? 第 9 讲 不等式性质应用趣题―均值不等式的应用?????? 第 10 讲 立体几何趣题—正多面体拼接构成新多面体面数问题? 第 11 讲 立体几何趣题—球在平面上的投影????????? 第 12 讲 解析几何中的趣题―神奇的莫比乌斯圈???????? 第 13 讲 解析几何中的趣题―最短途问题??????????? 第 14 讲 排列组合中的趣题―抽屉原理???????????? 第 15 讲 排列组合中的趣题―摸球游戏???????????? 第 16 讲 概率中的趣题?????????????????? 第 17 讲 简易逻辑中的趣题????????????????
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第 18 讲

解数学题的策略??????????????

第四部分:课程评价

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第一部分:课程目标
1.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问 题和创造地解决问题; 2. 能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题, 发展学生数学应 用能力. 3. 体会数学在实际问题中的应用价值. 4. 探索直角三角形在生活中应用, 进一步体会三角函数在解决问题 过程中的应用。 5.通过有关数列实际应用的介绍, 激发学生学习研究数列的积极性, 培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问 题及背景,让学生自主探究知识的发生发展过程 6.了解均值不等式在日常生活中的应用,训练学生空间想象能力, 动手动脑能力,提高学习数学兴趣,培养学生在观察的基础上进行 归纳猜想和发现的能力,进而引导学生去探求事物的内在的本质的 联系.

第二部分:课程的组织形式与实施计划
1、组织形式: 校本课程的开课以自选班为单位安排在“地方与我校课程”课时中 进行,具体教学时间是每周一节课,也可以进行集中安排(如考察、 社会实践等活动)。 2、课程实施: 1)校本课程由我校教师开发,只有讲义,学生不需要教材,减轻学
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生的经济负担,体现“以生为本”的教学理念。 2)授课教师结合我校的校本课程,依据学生层次特点、接受能力等 可以适当补充材料,逐步实施,并在实施中进一步完善教材内容, 发现问题,及时反思,总结经验。 3)任课教师精心备课,准备资料,设计好教学过程,按时上好校本 课程,并及时对学生的学习情况做出评价。 4)教学过程中所需材料、设备、设施由学校统一安排。学生需要外 出调查、参观时,由学校出面联系,学校领导和班主任、任课教师 一起带领学生外出,确保师生安全。

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第三部分:课程内容
第 1 讲 集合中的趣题—— “集合”与“模糊数学”
教学目标:启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造 地解决问题; 教学过程: 一、情境引入 1965 年,美国数学家扎德发表论文《模糊集合》 ,开辟了一门新的数学分支—— 模糊数 学。 二、实例尝试,探求新知 模糊数学是经典集合概念的推广。在经典集合论当中,每一个集合都必须由确定 的元素构成,元素对于集合的隶属关系是明确的,这一性质可以用特征函数:

? A ?x ? ?

?

1,( x?A) 0,( x?A)

来 描 述 。 扎 德 将 特 征 函 数 ? A ( x) 改 成 所 谓 的 “ 隶 属 函 数 ”

, ? A ?x ? 称为 x 对 A 的“隶属度” 。 ? A ( x) : 0 ? ? A ( x) ? 1, ,这里 A 称为“模糊函数” 经典集合论要求隶属度只能取 0, 1 二值, 模糊集合论则突破了这一限制, ? A ?x ? =1 时表示百分之百隶属于 A; ? A ?x ? =0 时表示不属于 A 还可以有百分之二十隶属于 A, 百分之八十不隶属于 A??等等,这些模糊集合为对由于外延模糊而导致的事物是非 判断上的上的不确性提供了数学描述。 由于集合论是现代数学的重基石,因此,模糊数 学的概念对数学产生了广泛的影晌,人们将模糊集合引进数学的各个分支,从而出现 了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等,它们一起形成通常所称的 模糊数学, 模糊数学是 20 世纪数学发展中的新新事物,它在理论上还不够成熟,方 法上也未臻统一,它将随着计算机科学的发展而进一步发展。 例 1、学校先举办了一次田径运动会,某班有 8 名同学参加,又举办了一次球类 运动会,这个班有 12 名同学参加,那么这两次运动会这个班共有多少名同学参赛? ⑴如果有 5 名同学两次运动会都参加了, 问这两次运动会这个班共有多少名同学 参赛?

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⑵如果每一位同学都只参加一次运动会, 问这两次运动会这个班共有多少名同 学参赛? 解析:可能有的同学两次运动会都参加了,因此,不能简单地用加法解决这个问 题。 (1) 因 为 这 5 名 同 学 在 统 计 人 数 时 , 计 算 了 两 次 , 所 以 要 减 去.8 (2) 8 + + 12 12 = – 5 = 15.

20.这两次运动会这个班共有 20 名同学参赛.

三、本课小结 通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习 态度和勇于创新的精神而进步的。 四、作业 下列各组对象能否形成集合?(1)高一年级全体男生; (2)高一年级全体高个 子男生; (3)所有数学难题; (4)不等式 x ? 2 ? 0 的解;

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第 2 讲 函数中的趣题——

一份购房合同

教学目标:能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题,发展学生数学应用能力. 教学过程: 一、情境引入 最早把"函数" (function) 这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716,德国数学家) ,但其含义和现在不同,他把函数看成 是"像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的 量". 1718 年,瑞士数学家约翰。贝努利(John Bernoulli,1667-1748,欧拉的数 学老师)将函数概念公式化,给出了函数的一个定义,同时第一次使用了"变量"这个 词。他写到:"变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。"他的学生,瑞士数 学家欧拉(Leonard Euler,1707-1783,被称为历史上最"多产"的数学家)将约翰。 贝努利的思想进一步解析化,他在《无限小分析引论》中将函数定义为:"变量的函 数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式",欧拉的函数定义在 18 世纪后期占据了统治地位。 二、实例尝试,探求新知 例 1、陈老师急匆匆的找我看一份合同,是一份下午要签字的购房合同。内容 是陈老师购买安居工程集资房 72m ,单价为每平方米 1000 元,一次性国家财政补贴 28800 元,学校补贴 14400 元,余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期付 款,每期为一年,等额付款,分付 10 次,10 年后付清,年利率为 7.5%, 房地产开发 公司要求陈老师每年付款 4200 元,但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们你们 能帮陈老师算一算么? 解析:陈老师说自己到银行咨询,对方说算法是假设每一年付款为 a 元,那么 10 年后第一年付款的本利和为 1.0759a 元,同样的方法算得第二年付款的本利和为 1.0758a 元、第三年为 1.0757a 元,?,第十年为 a 元,然后把这 10 个本利和加起来 等于余额部分按年利率为 7.5%计算 10 年的本利,即 1.0759a+1.0758a+1.0757a+?+a =(72×1000-28800-14400)×1.07510,解得的 a 的值即为每年应付的款额。 他不能理解 的是自己若按时付款,为何每期的付款还要计算利息?我说银行的算法是正确的。但
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不妨用这种方法来解释:假设你没有履行合同,即没有按年付每期的款额,且 10 年 中一次都不付款,那么第一年应付的款额 a 元到第 10 年付款时,你不仅要付本金 a 元,还要付 a 元所产生的利息,共为 1.0759a 元,同样,第二年应付的款额 a 元到第 10 年付款时应付金额为 1.0758a 元,第三年为 1.0757a 元,?,第十年为 a 元,而这 十年中你一次都没付款, 与你应付余款 72×1000-28800-14400 在 10 年后一次付清时 的本息是相等的。仍得到 1.0759a+1.0758a+1.0757a+?+a =(72×1000-28800-14400) ×1.07510.用这种方法计算的 a 值即为你每年应付的款额。 例 2、经调查得知,若我们把每日租金定价为 160 元,则可客满;而租金每涨 20 元, 就会失去 3 位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计 40 元。我 们该如何定价才能赚最多的钱? 解析:日租金 360 元。虽然比客满价高出 200 元,因此失去 30 位客人,但余下 的 50 位客人还是能给我们带来 360*50=18000 元的收入;扣除 50 间房的支出 40*50=2000 元,每日净赚 16000 元。而客满时净利润只有 160*80-40*80=9600 元 三、本课小结 通过本课学习我们认识到, 生活是多面的, 我们在研究一个问题时, 可以多角度、 多层次的思考,如若正面不行,亦可利用反面思考 四、作业 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层. 臭氧含量 Q 呈指数函数 型变化,满足关系式 Q ? Q0 e ?0.0025t ,其中 Q0 是臭氧的初始量, t 是所经过的时间. 1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少? 2)多少年后将会有一半的臭氧消失?

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第3讲

函数中的趣题——孙悟空大战牛魔王

教学目标:体会数学在实际问题中的应用价值. 教学过程: 一、故事引入 孙悟空大战牛魔王。牛魔王不是孙悟空的对手,力倦神疲,败阵而逃。可是,牛 魔王不简单,他会变。他见悟空紧紧追赶,便随身变成一只白鹤,腾空飞去。悟空一 见,立刻变成一只丹凤,紧追上去。牛魔王一想:凤是百鸟之王,我这只白鹤那里斗 得过这个丹凤?!他无可奈何,只好飞下山崖,变作一只香獐,装着悠闲的样子,在 崖前吃草。悟空心里想:好牛精,你休想混过我老孙的火眼金睛!他马上变作一只饿 虎,猛扑过去。牛魔王心慌,赶快变了个狮子,来擒拿饿虎。悟空看得分明,就地一 滚,变成一只巨象,撒开长鼻,去卷那头狮子。牛魔王拿出绝招,现出原形,原来是 一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔,身高八千余丈,力大无穷。他对悟空说: “你还 能把我怎样?”只见悟空弯腰躬身,大喝一声“长” !立即身高万丈,手持大铁棒朝 牛魔王打去。牛魔王见势不妙,只好复了本象相,急忙逃去。孙悟空与牛魔王杀得惊 天动地,惊动了天上的众神,前来帮助围困牛魔王。牛魔王困兽犹斗,又变成一头大 白牛, 用铁角猛顶托塔天王, 被哪吒用火轮烧得大声吼叫, 最后被天王用照妖镜照定, 动弹不得,只得连声求饶,献出芭蕉扇,扇灭火焰山烈火,唐僧四人翻越山岭,继续 往西天取经 二、实例尝试,探求新知 这段故事很吸引人,而且它和初中代数中所学的函数概念有关。 首先,就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广大,都能变。他们能变 飞禽、走兽;大喝一声,身躯能“顶天立地” ,也可变成一个小虫儿。当然,这些都 是神话,不是真情实事。不过,世界上一切事物的确无有不在变化着的。既然物质在 变化,表示它们量的大小的数,自然也要随着而变化了。这就告诉我们,要从变化的 观点来研究数和量以及它们之间的关系。 其次,我们再来看一看,是不是所有的量在任何情况下,都始终变化着的呢?不 是的。 研究问题的某个特定过程中, 在一定的范围内, 有的数量是保持不变的。 或者,
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虽然它也在变,但变化微小,我们把它看成是不变的。还是用唐僧师徒来做例子。孙 悟空的本事最大, 能七十二变; 唐僧最没用, 一点也不会变, 所以妖怪一看就认得他。 都想吃他的肉。在代数中,把研究某一问题过程中不断变化着的量叫做变量,孙悟空 就好象是一个 “变量” ; 把一定范围内保持不变的量叫做常量, 唐僧就好象是一个 “常 量” 。 例 1、1202 年,意大利比萨的数学家斐波那契(约 1170 年~约 1250 年)在他所著 的《算盘书》里提出了这样一个有趣的问题:假定 1 对一雌一雄的大兔,每月能生一 雌一雄的 1 对小兔,每对小兔过两个月就能长成大兔。那么,若年初时有 1 对小兔, 按上面的规律繁殖,并且不发生死亡等意外情况,1 年后将有多少对兔子? 解析:第一个月时,有小兔 1 对;第二个月时,小兔还没有长大,因此兔子数仍 是 1 对;第三个月时,小兔已长成大兔,并且生下 1 对小兔,这时兔子数是 2 对;第 四个月时,原来的兔子又生了 1 对小兔,但上个月刚生的小兔尚未成熟,这时兔子数 是 3 对;第五个月时,原来的兔子又生了 1 对小兔,第三个月出生的小兔这时也已长 大并且也生了 1 对小兔, 因此共有兔子 5 对; 一直这样推算下去, 可以得到下面的表: 如果仔细观察,就不难发现其中的规律:从第三个月份起,每个月的兔子对数都是前 两个月的兔子对数之和。表中兔子对数构成的一列数 1,1,2,3,5,8?就称为斐 波那契数列。斐波那契数列有很有趣的性质和重要的应用。 例 2、某果园有 100 棵橙子树,每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子 树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙子. 解析:假设果园增种 x 棵橙子树,果园橙子的总产量为 y(个),依题意,果园共 有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子. y=(100+x)(600-5x) =-5x?+100x+60000. =-5(x-10)^2+60500 即种:100+10=110 棵时,产量最高是:60500 三、本课小结 通过本课学习我们知道了,不仅《西游记》和我们的数学还很有关系其实,只要 我们留意,到处都充满着数学的原理。 四、作业 某市 20 名下岗职工在近郊承包 50 亩土地办农场这些地可种蔬菜、烟叶或小麦, 种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表:
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作物品种 每亩地所需职工数 每亩地预计产值 蔬菜 1/2 1100 元 烟叶 1/3 750 元 小麦 1/4 600 元 请你设计一个种植方案,使每亩地都种上农作物,20 名职工都有工作,且使农 作物预计总产值最多。 (设工人数)

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第4讲

三角函数的趣题—— 直角三角形

教学目标:探索直角三角形在生活中应用,进一步体会三角函数在解决问题过程中的 应用。 教学过程: 一、情境引入 直角三角形就像一个万花筒,为我们展现出了一个色彩斑澜的世界 .我们在欣赏 了它神秘的“勾股” 、知道了它的边的关系后,接着又为我们展现了在它的世界中的 边角关系,它使我们现实生活中不可能实现的问题,都可迎刃而解.它在航海、工程 等测量问题中有着广泛应用,例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 二、例题分析 例 1、海中有一个小岛 A,该岛四周 10 海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行, 开始在 A 岛南偏西 55°的 B 处,往东行驶 20 海里后,到达该岛的南偏西 25°的 C 处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?

解析:过 A 作 BC 的垂线,交 BC 于点 D.得到 Rt△ABD 和 Rt△ACD,从而 BD=AD tan55°,CD=ADtan25°,由 BD-CD=BC,又 BC=20 海里.得 ADtan55°-ADtan25°=20. AD(tan55°-tan25°)=20, AD=
20 ≈20.79(海里). tan 55? ? tan 25?

这样 AD≈20.79 海里>10 海里,所以货轮没有触礁的危险 例 2、如图,某货船以 20 海里/时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处,经 16 小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知,一台风

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中心正以 40 海里/时的速度由 A 向北偏西 60°方向移动,距台风中心 200 海里的圆 形区域(包括边界)均受到影响. (1)问:B 处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物?

解析:(1)过点 B 作 BD⊥AC.垂足为 D. 依题意,得∠BAC=30°,在 Rt△ABD 中,BD= ∴B 处会受到台风影响. (2)以点 B 为圆心, 200 海里为半径画圆交 AC 于 E、 F, 由勾股定理可求得 DE=120. AD=160 3 . AE=AD-DE=160 3 -120, ∴
160 3 ? 120 =3.8(小时). 40
1 1 AB= ×20×16=160<200, 2 2

因此,陔船应在 3.8 小时内卸完货物. 练习:一个人从山底爬到山顶,需先爬 40°的山坡 300 m,再爬 30°的山坡 100 m, 求山高.(结果精确到 0.01 m) 三、本课小结 本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题, 提高了我们分析 和解决实际问题的能力. 四、作业 如图, Rt△ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图, 斜坡 AB 的长为 12 m, 它的坡角为 45°, 为了提高该堤的防洪能力, 现将背水坡改造成坡比为 1: 1.5 的斜坡 AD, 求 DB 的长.(结 果保留根号)

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第5讲

三角函数的趣题——月平均气温问题

教学目标:选择生活中学生感兴趣的题材,使学生能积极参与数学活动,提高学习数 学、学好数学的欲望. 教学过程: 一、谈话导入 数学的应用,随着人类的进步和科技的发展,已经渗透到社会的各个方面, “数 学已无处不在” 。下面我们看看三角函数在生活中有哪些应用。 二、典例分析 例 1、受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐,在通常情况下,船在涨 潮时驶进航道,靠近船坞,卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度 y(米)是时间 t( 数据。 t(时) 0 3 13.0 6 9.9 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0 ,单位:时)的函数,记作 y=f(t),下面是该港口在某季节每天水深的

y(米) 10.0

根据数据求出 y=f(t)的拟合函数,

,一般情况下,船舶航行时,

船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰 海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船想在同一天内 安全进出港,问它至多能在港内停留多少时间?(忽略进出港所需时间) 解析:依题意,该船进出港时,水深应不小于 5+6.5=11.5 米,3 ,2 1, 或 ,得 12 ,

,在同一天内,取 k=0 或

,所以该船最早能在凌晨 1 时进港,下午 17 时
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退出,在港口内最多停留 16 小时。 例 2、某工厂因生产需要,要生产 1200 个如图形状的三角形铁片,已知在△ABC 中, 面积(精确到 1cm ).
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,问要生产这些三角形铁片共需要铁片的

解析:∵ sinA+cosA= ∴ 2sinAcosA=- .





∴ (sinA+cosA)2=

.

∵ 0°<A<180°,∴ sinA>0,cosA<0.

∵ (sinA-cosA)2=1-2sinAcosA= ,

∴ sinA-cosA= ①+②,得 sinA=

.

② ,

∴ 要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积为: 答:所以要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积约 3477cm2. 三、本课小结 三角函数不但应用于数学的各个分支,也广泛应用于其他的学科及社会生产实践 中, .在实际生活中,也会经常碰到一些需要运用三角函数来解决的问题,特别是一些 线段的度量和角的计算等问题我们要灵活运用 四、作业 把一段半径为 R 的圆木,锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法,才能使横截面积 最大?

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第6讲

数列中的趣题——柯克曼女生问题

教学目标: 通过有关数列实际应用的介绍,激发学生学习研究数列的积极性. 教学过程: 一、问题引入: 有一个学校有 15 个女生,她们每天要做三人行的散步,要使每个女生在一周内的 每天做三人行散步时,与其她同学在组成三人小组同行时,彼此只有一次相遇在同一 小组,应怎样安排? 二、典例分析 例 1、大楼共 n 层,现每层指定一人,共 n 人集中到设在第 k 层的临时会议室开会, 问 k 如何确定能使 n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。 (假定相邻两层楼 梯长相等) 分析:设相邻两层楼梯长为 a,则
S ? a[(1 ? 2 ? ?? ? k ? 1) ? 0 ? (1 ? 2 ? ?? ? (n ? k ))] ? a[k 2 ? (n ? 1)k ? n2 ? n ](1 ? k ? n) 2

分 n 为奇数和 n 为偶数两类讨论. 例 2、 某地区荒山 2200 亩, 从 1995 年开始每年春季在荒山植树造林, 第一年植树 100 亩,以后每一年比上一年多植树 50 亩. (1)若所植树全部都成活,则到哪一年可将荒山全部绿化? (2)若每亩所植树苗、木材量为 2 立方米,每年树木木材量的自然增长率为 20%, 那么全部绿化后的那一年年底,该山木材总量为 S,求 S 的表达式. (3)若 1.2 8 ≈4.3,计算 S(精确到 1 立方米). 分析:由题意可知,各年植树亩数为:100,150,200,??成等差数列
?

三、本课小洁:下面回到课前问题,设15位女生用下面15个符号表示:x , a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 , d1 , d2 , e1 , e2 , f1 , f2 , g1 ,g2 ;将它们

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排成七行,每天五个三人行小组(共十五人),使x处于七行中的最前一位置上: (x,a1,a2); (x,b1,b2); (x,c1,c2); (x,d1,d2); (x,e1,e2); (x,f1,f2);(x,g1,g2). 于是只须分配14个元素,再每一行中,后继三人行小组,即对有下标的七个元 素a,b,c,d,e,f,g进行三元素组合,填入每行,但每个字母只许出项两 次。即 Sunday: (x,a,a), (b,d,f), (b,e,g), (c,d,g),(c,e,f); Monday: (x,b,b), (a,b,e), (a,f,g), (c,d,g),(c,e,f); Tuesday: (x,c,c), (a,d,e), (a,f,g),(b,d,f),(b,e,g); Wednsday:(x,d,d), (a,b,c), (a,f,g),(b,e,g),(c,e,f); Thursday: (x,e,e), (a,b,c), (a,f,g),(b,d,f), (c,d,g) Friday: (x,f,f), (a,b,c), (a,d,e), (b,e,g),(c,d,g); Saturday:(x,g,g), (a,b,c), (a,d,e),(b,d,f), (c,e,f) 现在来填下标, 如果在同一行中, 可以有两个相同字母, 例如在第三行中 bdf,beg 中,b 出现两次,可标上不同的脚标 b1,b2;若每一个“三人行”,有两个脚标已定, 则在同一行,别的三人行组不能再用;若不是由两种原则定出脚标,就定为1。得到 解: Sunday: (x,a1,a2), (b1,d1,f1), (b2,e1,g1),(c1,d2,g2), (c2,e2,f2); Monday: (x,b1,b2), (a1,b2,e2), (a2,f2,g2),(c1,d1,g1), (c2,e1,f1); Tuesday: (x,c1,c2), (a1,d1,e1), (a2,f1,g1),(b1,d2,f2),(b2,e2,g2); Wednsday:(x,d1,d2), (a1,b2,c2), (a2,f2,g1),(b2,e1,g2),(c1,e2,f1); Thursday: (x,e1,e2), (a1,b1,c1),(a2,f1,g2), (b2,d1,f2), (c2,d2,g1) Friday: (x,f1,f2), (a1,b2,c1), (a2,d2,e1),(b1,e2,g1), (c2,d1,g2); Saturday:(x,g1,g2), (a1,b1,c2), (a2,d1,e2),(b2,d2,f1), (c1,e1,f2) 三、作业 某林场有荒山 3250 亩,从 96 年开始,每年春季在荒山上植树造林,第一年植 100 亩,计划以后每年比上一年多植树 50 亩(假定全部成活). (1)需几年可将此荒山全部绿化. (2)已知新植树苗每亩木材量为 2m 3 ,树木每年的自然增长率为 10%,设荒山全部绿 化后的年底木材总量为 S,求 S 的最简表达式

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第7讲

数列中的趣题—数列的应用

教学目标:培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背 景,让学生自主探究知识的发生发展过程 教学过程: 一、诗词引入 先由杜甫的诗《绝句》引出课题,每一句都与数有关系。再由一些生活中的例子 进一步探索数列的定义及其蕴含的数量关系 二、典例分析 例 1、 、有一序列图形 P1,P2,P3??.已知 P1 是边长为 1 的等边三角形,将 P1 的每条边 三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉 得 P2,?..,将 Pk-1 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角 形,再将中间部分的线段去掉得 Pn 试分别求 Pn 的周长 Cn 和面积 Sn.

解析:这序列图形的边数构成的数列为: 3,3 ? 4,3 ? 4 2 ,?,3 ? 4 n?1 ,?;
1 1 1 它们的边长构成的数列为: 1, , 2 ,? , n ?1 ,? . 3 3 3

1 ? 4? ? Cn ? n?1 ? 3 ? 4 n?1 ? 3 ? ? ? 3 ? 3?
S2 比 S1 多 3 个面积为

n ?1

.

S1 的正三角形.即 9

19

S1 ? 3,同理, 9 S1 S3 ? S 2 ? 2 ? 12, 9 ? S 2 ? S1 ?
S1 ? 3 ? 4 n ? 2 , 累加得: n ?1 9 0 1 n?2 n ?1 S1 ?? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? S1 5 ? ? 4 ? ? S n ? S1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?. 3 ? ?9? ? ?? 9 ? ? 9 ? ? 3 9 ? ? ? ?9? ? n ?1 3 3? ?4? ? 又S1 ? , 所以S n ? 8 ? 3 ? ? ? ?. 4 20 ? 9 ? ? ? ? ? S n ? S n ?1 ?

例 2.在[1000,2000]内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个? 解析:不妨设 an ? 3n, bm ? 4m ? 1 (m, n ? N * ) , 则{cp}为{ an }与{ bn }的公共项构成的等差数列 (1000≤cp≤2000) ∵an = bm ,即:3n=4m+1 ∴cp=9+12(p?1) ( p?N*)
7 11 ? p ? 166 12 12

令 n=3 , 则 m=2

∴c1=9 且有上式可知:d=12

由 1000≤cn≤2000 解得: 83 ∴p 取 84、85、??、166 共 83 项。 三、本课小结

根据数列的定义和前面所学的函数关系,由学生自己通过联想、类比、对比、归 纳的方法迁移到新情境中,将新的知识内化到学生原有的认知结构中去。 四、作业 1.一梯形两底边长分别为 12cm22cm,将梯形一腰 10 等分,经过每分点作平行于底边 的直线,求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度和. 2. 某化工厂生产一种溶液,按市场的要求杂质含量不能超过 0.1%. 若初时含杂质
1 0.2%,每过滤一次可使杂质减少 ,问至少过滤多少次才能使产品达到市场的要求 3

20

第 8 讲 不等式性质应用趣题——

“两边夹不等式”的推广及趣例
教学目标:理解“两边夹不等式”的推广及应用
教学过程:

一、情境引入
大家都熟知等比定理:若 等式,如
a c a a?c c ? ,则 ? ? 。若将条件中的等式改为不 b d b b?d d

a c ? ,那么结论如何呢?课本上有这样一道练习:已知 a, b, c, d 都是正数, b d a a?c c ? (高中数学第二册(上)(人教版)),在平时的教学过程中, 且 bc ? ad ,则 ? b b?d d

稍不注意,其丰富的内涵和研究价值便被忽略了。下面为了说明问题的方便,称不等 式
a a?c c ? ? 为两边夹不等 b b?d d

式。

当然这个不等式的证明

是简单的,而探讨这个不等式却 别有一番风味.对该不等式的探 讨是从 它的 一个简 单 应用开始 的.

二、 “两边夹不等式”理解推广 1、两边夹不等式的两种理解 解: (1)实际意义的理解:有同种溶液(如糖水)A、B,已知溶液 A 的浓度为 液 B 的浓度
a ,溶 b

c a?c ,现将两种溶液混合成溶液 C,此时溶液浓度为 ,由日常生 b?d d a a?c c ? 。 活经验知道有 ? b b?d d ? ( 2 )几何意义的理解:由分式联想到直 线的斜率,设 OA ? (b, a) ,

? ? ? a c OB ? (d , c) 则直线 OA、OB 斜率分别是 , (如图 1),则 OA ? OB ? (b ? d , a ? c) , b d ? a a?c c ? 。 它表示图中的 OC ,显然直线 OC 的斜率介于 OA、OB 的斜率之间,即 ? b b?d d ? ? ? 进一步探讨我们还可以得到更多的结论,如 OD ? OA ? 2OB ? (b ? 2d , a ? 2c) 得
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到不等式

a a ? 2c c ? ? ,仿此还可到几个不等式链: b b ? 2d d a a ? c a ? 2c a ? 3c a ? nc ? ? ? ??? ? ? ??? ? (1) ? b b ? d b ? 2d b ? 3d b ? nd a a ? c 2a ? c 3a ? c na ? c ? ? ? ??? ? ? ??? ? (2) ? b b ? d 2b ? d 3b ? d nb ? d a ma ? nc c ? ? ? ? ? (其中 m, n ? N ? ) (3) ? b mb ? nd d

c d c d

2.两边夹不等式的一个简单应用 练习 1、 利用此不等式,可以轻松地证明下面这个经典不等式:已知 a, b, m 都 是正数,且 a ? b ,求证:
a a?m ? 。 b b?m a m a a?m 分析:? a ? b ,? ? 1 ? ,由两边夹不等式立即得 ? . b m b b?m

3.两个有意义的推广 推论 1(等比定理的推广): 已知 ai , bi ? R ? (i ? 1,2,3,?,n) , 若

a a 1 a2 ? ??? n , b1 b2 bn

a 则 1 ? b1

?a ?b
i ?1 i ?1 n

n

i

?

i

an 。 bn

利用两边夹不等式可以容易得到证明,这里从略。 由于分数的分子分母同乘以一个非零实数, 分数的值不变, 那么将 分母各乘以非零实数 ?1 , ?2 又有什么结论呢? 推 论 2( 一 般 性 推 广 ) : 若 正 数 a, b, c, d 及 非 零 实 数 ?1 , ?2 满 足
a c ? ,则 b d a c 与 的分子 b d

a ?1a ? ?2 c c ? ? b ?1b ? ?2 d d
证明:?
a c a ?1a c ? 2 c , ? ? , ? b d b ?1b d ? 2 d

? 由两边夹不等式立即得
练习 2、无限夹数游戏

a ?1a ? ?2 c c ? ? b ?1b ? ?2 d d

(1)给你任意两个正分数,你能写出大小介于它们之间的一些数吗?
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1 2 2 1 1 1 如 与 , 与 , 与 等。 3 3 2 5 5 2

依据两边夹不等式可以得到
2 1 1 介于 与 之间, 3 5 2 3 2 1 介于 与 之间, 3 8 5 3 2 1 介于 与 之间。 7 5 2

三、本节小结:本节主要讲了两边夹不等式几何意义理解及两种推广 。 四、作业:探求“黄金分割数” 在 0、l 之间用两边夹不等式可以依次写出一些数,写这些数时按以下的规律进
1 1 1 ,此时得到两个区间 A1=(0, ) ,B1=( ,1 )在区间 B1 内利 2 2 2 2 用 两 边 夹 不 等 式 得 到 第 二 个 数 a2= ; 此 时 a2 又 将 区 间 B1 分 成 两 个 区 间 3 1 2 2 3 A2=( , ),B2=( ,1 )在区间 A2 中利用两边夹不等式得到第三个数 a= ,依此类推, 5 2 3 3

行:第一个数为 a1 ?

可以得到数列{ an },数列{ an }的极限称为黄金分割数,求此极限。( lim an ?
n???

5 ?1 ) 2

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第 9 讲 不等式性质应用趣题—— 均值不等式的应用

教学目标:了解均值不等式在日常生活中的应用

教学过程: 一、情境引入: 日常生活中常用的不等式有:一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不 等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙,而平均值不等式 在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面,我主要谈一下均值不等式和均值定理 的应用。 在生产和建设中,许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解 决。平均值不等式知识在日常生活中的应用,笔者虽未亲身经历,但从电视、报纸 等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现,均值不等式和极值定理通常可有如下 几方面的极其重要的应用:(表后重点分析“包装罐设计”问题) 实践活动 已知条件 最优方案 解决办法 设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一 经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二 车船票价设计 航行里程、限载人数、 票价最低 用极值定理二求出 速度、各项费用及相应 最低成本,再由此 比例关系 计算出最低票价 (票价=最低票价+ +平均利润) 例 1、包装罐设计问题 1、“白猫”洗衣粉桶 “白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱(如右图所示), 若容积一定且底面与侧面厚度一样,问高与底面半径是 什么关系时用料最省(即表面积最小)? 分析:容积一定=>лr h=V(定值) =>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2) ≥2л3 (r h) /4 =3 2лV (当且仅当 r =rh/2=>h=2r 时取等号),
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∴应设计为 h=d 的等边圆柱体. 例 2、“易拉罐”问题 圆柱体上下第半径为 R,高为 h,若体积为定值 V,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍,问高与底面半径是什么关系时用料最 省(即表面积最小)? 分析:应用均值定理,同理可得 h=2d(计算过程请读者自己 写出,本文从略)∴应设计为 h=2d 的圆柱体.

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第 10 讲 立体几何趣题—— 正多面体拼接构成新多面体面数问题

教学目标: 训练学生空间想象能力,动手动脑能力,提高学习数学兴趣

教学过程: 一、问题提出 在《数学(高二下册)》 “立体几何多面体”一节的课堂教学中,老师给出了一道 例题: “已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等,把它们拼接起采,使一个 表面重合,所得的新多面体有多少个面 ? ”对于这个问题学生们表现出了极大的兴 趣.他们通过直观感知,提出了自己的看法:正四面体和正八面体共 12 个面,两者 各有一个面重叠,因此减少两个面,所以重合之后的新多面体有 10 个面. 二、故事介绍 教师乘着学生浓厚的兴趣讲了一个与这道例题有关的故事. 多年前美国的一次数 学竞赛中有这样一道题:一个正三棱锥和一个正四棱锥,所有棱长都相等,问重合一 个面后还有几个面?大学教授给这道竞赛题的参考答案是 7 个面,他们认为正三棱锥 和正四棱锥共 9 个面,两者各有 一个面重叠,减少两个面,所以重合之后还有 7

个面。但佛罗里达州的一名参赛学生丹尼尔的答案是 5 个面,与参考答案不合而被判 错误,对此丹尼尔一直有所疑惑,于是他动手拼接了符合题意的正三棱锥和正四棱锥 实物模型,结果正如他所判断的只有 5 个面;他将自己的结论和实物模型提交给竞赛 组委会,教授们接受了他的想法并改正了这道题的答案。 三、操作确认 故事讲完后学生立刻对丹尼尔的结论进行了激烈地讨论.于是教师建议:请同学 们拿出课前分组做出上述两个问题的实物模型,通过自己的操作(模型组合)来确认自 己的结论.学生展示大小不一的实物模型.教师让每个组的学生代表在讲台上演示实 物模型的组合过程.通过观察、讨论,全班同学明白丹尼尔结论的原因所在.同时也 观察到了正四面体和正八面体重合之后新多面体只有七个面, 这与学生们在上一节课

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通过直观感知所得的结论是不一致的。 原因在于他们发现在重合过程中正四面体和正 八面体另有两个侧面分别拼接成一个面了. 四、思辩论证 老师要求学生利用立体几何的相关知 识, 对操作实物模型得出的结论进行证明。 学 生对照实物模型提出了证明思路: 将正八面体 和正四面体拼接的两个侧面想象成两个半平 面拼接成一个平面即表示这两个半平面所构 成的二面角为 180? .证明如下:如图 1,在正 八面体 AC 中, 连结 AC 交平面 BE 于点 O. 设 正八面体的棱长为 1,BF 的中点为 D,连结 AD、CD,易得∠ADC 为二面角 A―BF―C 的平面角。AD=DC=
1 3 1 3 ,AC=2AO= 2 ? ? 2 , 由余弦定理得 COS ?ADC ? ? 。 3 2 4 4

1 仿上可求得正四面体邻棱所成的二面角 ? 的余弦值为 。 3

由上可知 ? ? ?ADC ? 180? ,因此新多面体是七面体。

五、问题扩展 理论证明的给出进一步完善了学生对问题的全面理解,同时也激发了学生的多向思 维.证明结结束后,立刻就有学生向老师提出了问题: 如果再拼一个同样的正四面 体,又有多少个,又有多少个面呢?面对学生的问题,教师立刻利用学生的实物模型 进行操作确认,从而发现新多面体的面数并不确定,而是依赖于拼接四面体在八面体 上的位置.进一步,当拼接更多的四面体时问题更复杂了,但却激发了学生更大的兴 趣.在激烈地争论中,师生的思考一度陷入僵局.余是老师提出能否看看不同情况下 新多面体可能新多面体最少面数.这一问题得到了学生的认可,新一轮实物模型的操 作确认开始,很快学生得出了结论:当两个正四面体时,新多面体最少为 6 个面,构 成一个六面体(如图 2).

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当拼接三个正四面体时,新多面体最少为 5 个面,构成一个棱台如图(3).

当拼接四个正四面体时,新多面体最少为 4 个面构成一个正四面体(如图 4).

本节小结:学习数学不要只靠我们的直觉,而要有推理论证检验。

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第 11 讲 立体几何趣题—— 球在平面上的投影

教学目标:明白球在不同光照下的投影 教学过程:放在水平面上的球与水平面切于 点 A,一束光线投射到球上,那么球的影子 的轮廓是什么曲线?切点 A 与轮廓曲线的关 系又是什么? 一、平行光线下球的投影 放在水平面上的半径为 R 的球与水平 面切于点止,与水平面所成角为 ? ( ? ? 90? ) 的太阳光投射到球上,则球在水平面上的投 影是以 A 为 一个焦点的椭圆. 分析:显然,当太阳光垂直于水平面,即 ? ? 90? 时,球在水平面上的投影是以 为 A 圆心,R 为半径的圆;当 0 0 ? ? ? 900 时,球 在水平面上的投影是以 A 为一个焦点的椭圆,如 图 1. 如图 l 所示, 与球面相切的光线构成一个圆柱 面,与球切于圆 O,则光线在水平面上的投影,可 以看成圆柱面与水平面的交线 l1 , 设与水平面平 行且与球相切的平面 ? 与球相切于点 D,与圆柱 面的交线为 l 2 ;P 为 l1 上的任意一点,经过点 P 的 光线为 PP’,(P’,为光线 PP’与平面 ? 的交点),且与球相切于点 C,过点 D 作与光线 平行的直线交水平面于点 B, 连结 PB,易知, PB=P'D=P’C, PA=PC,即知 PA+PB=PP’, 又

2R 2R PP sin ? 为一定值,则知点 P 在以 A,B 为焦点,长轴长为 sin ? 的椭圆上,
’=

二、点光源下的球的投影 放在水平面上的半径为 R 的球与水平面切于点 A,与水平面距离为 h 的点光源 S(S
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在球面外)投射到球上,则球在水平面上的投影是以 A 为一个焦点的圆锥曲线或以 A 为圆心的圆,且其形状与大小与光源到水平面的距离 h 及 SA 与水平面所成角有关. 1.当过点 S,球心 O 的直线与水平面垂时,此时必 有 h>2R. 球在水平面上的投影是以球与水平面的切 点为圆心的圆(图略), 2.当过点 S、球心 O 的直线与水平面不垂直时. ①若 h>2R,则球在水平面上的投影是以 A 为 一个焦点的椭圆,如图 2. 如图 2 所示,与球 O 相切的光线构成一个圆锥 面.设切点的集合为圆 O3 ;球 O1 与圆锥面及水平面 都相切,与圆锥面的切点的集合为圆 O2 ,与水平面 的切点为 B;P 为球在水平面的投影线上的任意一点,过 P 的光线与球 O、O1 的切点 分别为 D,C,则有 PC=PB、PD=PA,易知 CD 为两圆锥母线之差(为一定值).即 PA+PB=CD(定值),所以,球在水平面上的投影是以 A、B 为焦点的椭圆. ②若 h=2R,则球在水平面上的投影是以 A 为焦点的抛物线,如图 3. 如图 3 所示,与球 O 相切的光线构成一个圆锥面.设切点的集合为圆 Ol; 过 S、O,A 的平面与水平面交于 AG;圆 Ol 所在的平面 ? 与水平面的交线为 L; P 为球在水平面的投影线上的任意一点,过 P 与 ? 平行的平面与圆锥面交于 圆O2 所 以,球在水平面上的投影是以 A 为焦点,L 为准线的抛物线. 3 若 h<2R,则球在水平面上的投影是以 A 为一个焦点的双曲线的一支,如图 4. ○ 如图 4 所示,与球 O 相切的光线构成一个圆 锥面.设切点的集合为圆 02;球 Ol 与圆锥面及 水平面都相切,与圆锥面的切点的集合为圆 03, 与水平面的切点为月;户为球 别为 G、打,

在水平面的投影线上的任意一点,过户的光线与球 O、Ol 的切点分

则有 PH 二 PB、 PG 二 PA, 且易知 GH 为两圆锥母线之和(为一定值). 即 PB-PA=CH(定 值),所以,球在水平面上的投影是以 A,B 为焦点的双曲线的一支.

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三、小结: 当平行光线与水平面垂直时,球 在光线的投射下的轮廓线是一个圆,且球与水

平面的切点为这个圆的圆心,当平行光线与水平 面不垂直时,球在光线下的投影是 以球与水平面的切点为一个焦点的椭圆. 当点光源 S 与球心的连线与水平面垂直时, 球在光线下的投影是以球与水平面的 切点为圆心的圆,当点光源与球心的连线与水平面不垂直时,球在光线下的投影是以 球与水平面的切点为一个焦点的圆锥曲线.

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第 12 讲

解析几何中的趣题—— 神奇的莫比乌斯圈

教学目标:利用几何方法解决生活问题 教学过程: 一、故事引入 老国王的问题----神奇的莫比乌斯圈 一个年老的国王有五个儿子,他临死前把五个儿子叫到身边,打算把自己的国土平均 分给每个儿子,但为了要儿子们团结,他希望每片国土的边界线都相连。如果你是帝 国宰相的话,请问你如何来执行老国王的遗嘱? 二、学习例题寻找方法 例 1 假定你在赤道上饶了地球一周,这时你的头顶要比你的脚底多跑多少路? 分析与解答: 你的脚底一共走了 2?R 的路,R 是地球半径。你的头呢却走了 2? ?R ? 1.7? 的路, 1.7 是你的身高。因此头比脚多走 2? ?R ? 1.7? ? 2?R ? 2? ?1.7 ? 10.7 米 例 2 假定把一条铁丝困到地球赤道上,然后把这条铁丝放长一米,问这条松下来的铁 丝和地球之间能不能让一只老鼠穿过? 分析与解答: 一般人都会回答这个间隙会比一根头发还小, 一米同地球赤道的 40000000 米相比 简直相差太大了。事实上,这个间隙大小为 以过去。 三、全课总结 下面回到课前的问题,拿一张纸条,假设四个顶点 ABCD,为了区分这两个面, 我们不妨把一面涂成兰色,而一面涂成红色 使 A 与 B;C 与 D 重合地粘接起来,我们 就得到了一个普通有两个面的曲面如果让一只蚂蚁在这个曲面的某一面上爬行, 不让 它绕过曲面的边缘, 也不让它穿过曲面, 那么无论它怎么爬, 它也爬不到另一面上去。 现在,把纸条从粘接处分开,扭转 180。 ,再使 A 与 C、B 与 D 重新地粘接起来,
100 ? 16 厘米,不仅老鼠,甚至大猫也可 2?

我们就得到了只有一个面的曲面,已经无所谓里外了 在这个圈上,能玩出无限的小 把戏。前面说的那个 5 个儿子分土地就是其一。你猜猜把这个带子延中间切开、再切
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呢?玩过吗?就是把第一次切得到的两个圆再切呢?大家回家去试一下吧,很有趣. 四、作业 可以有多少种方法用对角线把一个 n 边多边形(平面凸多边形)剖分成三角形?

第 13 讲

解析几何中的趣题——最短途问题

教学目标:利用几何图形的有关性质求最小值问题 教学过程: 一、谈话引入 路程短了在相同速度下可以节省时间,因此,求最短路程成为生产生活中最优方案而 被采用。 二、学习例题寻找方法 例 1 一个牧人从帐篷 A 处牵马去河边饮水,然后去 B 处赶集,A,B 在河的同侧。问他 怎样走路成最短? 分析:由轴对称原理找对称点,然后两点间距离最短。 例 2 长宽高分别是 4、2、1 米的长方体。现有一小虫从顶点 A 出发沿长方体表面爬到 对角顶点 C1 ,问小虫爬行最短路程是多少? 分析:我们把这两点所在的两个面展开,置于一个平面内,根据展开面不同分三 种情况讨论。
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三、全课总结 最短途问题归结为数学问题,解决方法,通常是利用几何图形的有关性质将图形 作各种几何变换利用不等量关系求解。 四、作业 在所有三角形中,外接圆的圆心,各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线 上,而且三点的分隔为:各高线的交点(垂心)至各中线的交点(重心)的距离两倍 于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.

第 14 讲

排列组合中的趣题———抽屉原理

教学目标:引导学生观察、分析掌握一个最简单的最基本的推理原则――抽屉原理 教学过程: 一、事实引入 把 5 个苹果放进 4 个抽屉无论怎么放,至少有一个抽屉放进的苹果个数不少于 2,这 是任何人都确信无疑的事实,在解答某些排列组合问题时都必须用它,这种方法称为 抽屉原理。 二、学习例题寻找方法 原理 1:将 m 个元素,按照某种规则分成 n 各集合(m ? n,m、n、为自然数) ,那么至 少有一个集合有 2 个或 2 个以上的元素。 原理 2:将 m 个元素,按照某种规则分成 n 个集合( m ? kn ,m、n、k 为自然数) ,那 么至少有一个集合含有 k+1 个或 k+1 以上的元素。 例1 一副扑克牌(52 张)有 4 种花色,每种花色有 13 张,从中任意抽牌,最少要

抽多少张牌,才能保证有 4 张是同一花色的? 解析:抽出的牌按花色分类,可分 4 类, n ? 4 。由原理 2 知:k+1=4,得 k=3。
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此时,所取出的牌的张数为 m,m 应满足 m ? kn=12,故 m=13,14,15??,因此至 少需要抽 13 张牌才能保证有 4 张是同一花色的。 例 2、某校高一一班有 55 个同学,老师说至少有两个同学在同一周内过生日,老师 的话正确么? 解析:平年是 365 天最多分布在 53 周内;闰年是 366 天最多分布在 54 周内, 把 54 周当作 54 个抽屉,把 55 个同学当作 55 个元素,由抽屉原理 1 老师说的至少有 两个同学在同一周内过生日是正确的。 三、全课总结 本节课要求我们应用抽屉原理将需状态进行分类,即“制造抽屉” 。 “抽屉”造的好即 可得出理想结果。 四、作业 证明:在任意人群中,一定有 2 个人,他们在这群人中的朋友一样多

第 15 讲

排列组合中的趣题———摸球游戏

教学目标:培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力,进而引导学生去探 求事物的内在的本质的联系. 教学过程 一、游戏引入 大约十年前,在北京西直门立交桥附近,曾有一个摆摊摸球的人。当时围观的人 们觉得很新鲜, 曾有很多人参与摸球。 现在看来, 这不过是一个小型的赌博游戏罢了。 这个游戏的规则很简单:他先摆出了 12 个台球一般大小的小球,其中有 6 个红色球 和 6 个白色球。当着观众的面,他把所有 12 个色球装进一个普通的布袋中,然后怂 恿大家来摸。 怎么个摸法呢?就是从这个装 12 个球的布袋中, 随便摸出 6 个球来, 看 看其中有几个是红球,有几个是白球。当然,摸球者只能把手伸进袋口中把球一个一 个地“掏出来”,而不能打开袋口看着摸。大家想一想共有多少种摸法?哪一种的概 率大呢? 二、学习例题寻找方法 例 1 某乒乓球队有 8 男 7 女共 15 名队员,现进行混合双打练习,两边都必须是 1 男
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1 女,共有多少种不同的搭配方法?
2 2 分析:每一种搭配都需要 2 男 2 女,先把 4 名队员选出来有 c8 c7 种选法,然后
4 考虑 4 人的排法,故乘以 p 4

例2

高二(1)班要从 7 名运动员中选出 4 名组成 4×100 米接力队,参加校运会,

其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种?
4 分析:分三类,第一类,没有甲乙,有 c5 种选法;第二类,有甲没乙或有乙没
3 2 甲有 2 c5 种选法;第三类,既有甲也有乙,有 c5 种选法

例 3 体育课上,赵红老师安排 4 名男生和 3 名女生站队,练习第三 套中学生广播体操。若满足下列条件,分别有多少种站法? (1)3 名女生要求站在一起; (2)3 名女生要求互不相邻; (3)梁伟不站在排头,黄金叶不站在排尾; 分析:排队在现实生活中是很常见的现象,结合实例,使得学生感悟更深。 三、全课总结 回到课前那个游戏, 根据排列组合知识从 12 个球中摸出 6 个球, 总的方法数有:
6 c12 ? 924 种,其中“6 红”或者“6 白”的情况都紧有唯一的一种,按概率论计算有

1/924 的出现概率 四、作业: 若你家里来客人,鞋架上有 5 双大小形状不同的拖鞋,从中选择 4 只,问:恰有 2 双的选法?

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第 16 讲 概率中的趣题

一、 教学目标:通过五个实例介绍概率的应用,提高学生学习概率的积极性,培养 浓厚的学习兴趣。 二、 教学重难点:如何利用概率知识解决生活中的问题。 三、 教学过程: 例1、 在六合彩 ( 49 选 6 ) 中一共有 13983816 种可能性 ,普遍认为,如

果每周都买一个不相同的号,最晚可以在 13983816 / 52 ( 周 ) = 268919 年 后获得头等奖。事实上这种理解是错误的。 例2、 在轮盘游戏中玩家普遍认为,在连续出现多次红色后,出现黑色的概率

会越来越大。这种判断也是错误的, 例3、 在投掷硬币的游戏中,如果是一枚硬币,那么我们无论猜什么猜对的概

率都是 50%; 换成投掷两枚硬币, 那么如果我们猜一个是“字”一个是“背”, 猜对的概率是猜“都是字”或者“都是背”的两倍。 例4、 三门问题:在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中,在参

赛者的对面有三扇关闭的门,其中只有一扇门的后面有一辆汽车,其它两扇门
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后是山羊。游戏规则是,参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门,但是这 扇门仍保持关闭状态, 紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后 面有山羊的一扇门,这时主持人问参赛者,要不要改变主意,选择另一扇门, 以使得赢得汽车的概率更大一些?正确结果是, 如果此时参赛者改变主意而选 择另一扇关闭着的门,他赢得汽车的概率会增加一倍。 例5、 生日悖论:在一个足球场上有 23 个人 ( 2 × 11 个运动员和 1 个裁

判员 ),不可思议的是,在这 23 人当中至少有两个人的生日是在同一天的概 率要大于 50%。 解释: 1. 因为每次中奖的概率是相等的,中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。 2. 即出现黑色的概率每次是相等的,因为球本身并没有 "记忆",它不会意识到以前 都发生了什么,其概率始终是 18 / 37。 3. 有四种可能的情况,全部有相同的概率(1/4):
? ? ? ?

两个“字” 一“字”一“背” 一“背”一“字” 两个“背”

所以回答“一个是“字”一个是“背””答对的概率是 50%。 4. 有三种可能的情况,全部拥有相等的可能性(1/3)︰
? ? ?

参赛者挑山羊一号,主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。 参赛者挑山羊二号,主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。 参赛者挑汽车,主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。

因为三种情况有两种是通过转换而获得汽车的,所以转换后中奖的概率为 2/3。 5. 关键在于领会在题目中, 相同生日的搭配可以是相当多的。 23 个人可以产生 23 × 22/2 = 253 种不同的搭配,而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看, 在 253 种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。换一个角度,如果你 进入了一个有着 22 个人的房间,房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是 50: 50 了,而是变得非常低。原因是这时候只能产生 22 种不同的搭配。生日问题实际上 是在问任何 23 个人中会有两人生日相同的概率是多少? 四、作业:
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1.三枚硬币 乔:“我向空中扔 3 枚硬币。如果它们落地后全是正面朝上,我就给你 10 美分。 如果它们全是反面朝上,我也给你 10 美分。但是,如果它们落地时是其他情况,你 得给我 5 美分。”吉姆:“让我考虑一分钟。至少有两枚硬币必定情况相同,因为如 果有两枚硬币情况不同,那么第三枚一定会与这两枚硬币之一情况相同。而如果两枚 情况相同,则第三枚不是与这两枚情况相同,就是与它们不同。第三枚与其他两枚情 况相同或情况不同的可能性是一样的。因此,3 枚硬币情况完全相同或情况不完全相 同的可能性是一样的。但是乔是以 10 美分对我的 5 美分来赌它们的不完全相同,这 分明对我有利。好吧,我打这个赌!” 吉姆接受这样的打赌是明智的吗? 2.老 K 的优势 桌上放着 6 张扑克牌, 全部正面朝下。 你已被告知其中有两张且只有两张是老 K, 但是你不知道老 K 在哪个位置。你随便取了两张并把它们翻开。下面哪一种情况更为 可能? ⑴两张牌中至少有一张是老 K; ⑵两张牌中没有一张是老 K。 3.男孩对女孩 有这样一个故事:一个国王打算增加国家中妇女的人口,使之超过男子的人口, 以让男人能有更多的妻妾。为了达到这个目的,他颁布了如下的法律:一位母亲生了 第一个男孩后,她就立即被禁止再生孩子。 国王论证道,通过这种方法,有些家庭就会有几个女孩而只有一个男孩,但是任 何家庭都不会有一个以上的男孩。 用不了多长时间, 女性人口就会大大超过男性人口。 你认为国王的这个法律会产生这样的效果吗? 4.第十次投掷 一只普通的骰子有 6 个面,因此任何一面朝上的概率是六分之一。假设你将某一 个骰子投掷了 9 次,每次的结果都是 1 点朝上。第十次投掷,1 点还是朝上的概率是 多少呢?它是大于六分之一,还是小于,或者等于六分之一?

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第 17 讲 简易逻辑中的趣题

教学目标:通过几个实例介绍简易逻辑的应用,提高学生学习的积极性,从而培养浓 厚的学习兴趣。 教学重难点:如何利用简易逻辑知识解决生活中的问题。 教学过程: 例 1、老师手中拿有三顶白色帽子和两顶红色帽子,他让三个学生按前后顺序站成一 列, 然后让他们闭上眼睛, 给他们每人戴上一顶帽子, 并将剩下的两顶帽子藏了起来, 三人睁开眼睛后,后面的人可以看见前面人的帽子颜色.这时老师问: “你们谁能判断 出自己戴的帽子的颜色?”结果三人都说: “不能! ”老师又说: “你们再考虑考虑, 能判断出来吗?”三人思考了一会儿,还是都说: “不能! ”老师再一次问: “真的不 能吗?” ,这时,站在最前面的同学突然说: “老师,我知道我戴的帽子颜色了! ”请 问,这位同学戴的帽子是什么颜色的?他又是怎样判断出自己帽子的颜色的? 解析:不妨从前到后记三人为甲乙丙,第一次问,甲乙自然无法判断,而丙也无法判 断,说明甲乙二人戴的帽子颜色为“两白”或“一红一白”;第二次问,丙的情形没 有变化,也无法判断,这时,甲和乙可以动脑筋了,既然甲乙的帽子颜色为“两白” 或“一红一白” ,如果乙看到甲的帽子颜色为红色,则乙的帽子颜色肯定为白色,这
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样乙就应该在老师第二次提问时回答出答案,这说明乙看到的甲的帽子颜色为白色. 因此乙无法判断自己帽子的颜色. 这样,当老师第三次提问时,甲就可以利用前两次乙和丙“不知道”的回答给自己的 提示,从而准确地判断出自己所戴帽子的颜色为白色. 例 2、孙膑是中国古代著名的军事学家,他的兵法众人皆知.一天,大王决定要考一 考孙膑的才能, 便对孙膑说: “请你用计让我走下我的宝座.” 一旁的庞涓争着说: “我 把大王拖下来! ”大王对他的答案立即给予否定: “这不是用计! ”庞涓又说: “那我用 火烧! ”大王也不以为然,这时孙膑说: “大王,要你走下宝座确实不易,但如果你来 到宝座下面的话,我可以用计让你走回去! ”大王一心要试一试孙膑的智力,毫不犹 豫地走了下来等待孙膑用计,这时孙膑说: “大王,我已经成功了! ”大伙儿一时都糊 涂了,这是怎么回事呢? 解析:其实这是孙膑给大王设下了一个“二难”的格局,如果大王不下宝座,则孙膑 的的前提“如果你来到宝座下面”不成立,这样我的智力无法表现出来了,而如果大 王走下宝座,则“我已经让你走下了宝座” 。因此,无论大王怎么样动作,孙膑都能 够保证自己至少不输! 例 3、数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题:女主 角鲍西娅对求婚者说: “这里有三只盒子:金盒、银盒和铅盒,每只盒子的铭牌上各 写有一句话。三句话中,只有一句是真话。谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里,谁 就能作我的丈夫。 ”盒子上的话见图,求婚者猜中了,问:他是怎样猜中的? 解析:我们可以首先从问题中的一些关联条件出发,借助图形加以分析,找出解题的 突破口与关键,再应用形式逻辑的一般规律等数学知识,以及生活中的常识,作出推 理、判断,使问题获解。 当求婚者看到金盒上面的铭牌“肖像在这盒里” (即肖像在金盒里)与铅盒上面的铭 牌“肖像不在金盒里”是意思截然相反的两句话时,依据形式逻辑中的排中律:一句 话要么是真, 要么是假, 两者必居其一, 因此可以得出结论, 这两句话必是一真一假。 又因为三句话中只有一句是真话,所以银盒子铭牌所说的那句话“肖像不在这只盒子 里”就肯定是假话了,于是求婚者断定鲍西娅的肖像放在银盒子里。 例 4:话说在远方的一个岛上,住着两个民族,一个是诚实族,一个是说谎族。顾名 思义,说谎族在说话或回答问题时总是说谎话,诚实族在说话或回答问题时,则全是 说实话。某记者在此岛上遇到了四个岛民,记者照例对他们进行了访问: “你们都是
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什么族的?诚实族的还是说谎族的?”这四人的回答如下: 第一个人说: “我们四人全都是说谎族的。 ” 第二个人说: “我们之中只有一人是说谎族的。 ” 第三个人说: “我们四人之中有两人是说谎族的。 ” 第四个人说: “我是诚实族的。 ” 试问第四个人是否真的是诚实族的? 解析:我们可以从题设条件出发,通过分析找出解题的突破口,依据一个人所讲的话 非真即假,并辅之以反证法,对各种情形逐一推理、判断,使问题获解。 由第一个人的回答可得出如下判断: ①四个人中一定有诚实族的人;②第一人是说谎族的。(因为如果四个人全是说谎族 的,那么谁也不会说“我们四个人全都是说谎族的” 。 ) 由第二、第三人的回答可得出如下判断: ③第二人是说谎族的。 因为如果他说真话,则第二、第三和第四人应是诚实族的,但第二和第三人的回答相 矛盾,故第二人必是说谎族的。 对第三人,若是说谎族的,则由①、②和③知,第四人必是诚实族的;若是诚实族的, 即他说真话,则第三、第四两人必是诚实族的。 因此第四人是诚实族的。

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第 18 讲

解 数 学题 的 策 略

新课程改革的一个落脚点就是要培养学生解决问题的能力。在课堂上,学生是自 主学习锻炼能力的主体,教师不是知识的灌输者,而是学习过程的组织者、参与者和 引导者,那么,如何引导才能达到培养学生能力的目的?教师心中要有明确的目标。 本文认为,从引导学生培养解决问题的策略这个角度入手是一种有效的做法,因为, 策略是哲学层次的东西,可以说是能力的能力。 一、好心态优先的策略 沉着冷静,从容镇定,战略上藐视问题,战术上重视问题,胆大心细,有大将风 度,才会令解题者左右逢源,妙计叠出,否则只会“逻辑乱套,直觉失效,没有题感, 死得很惨” 。 例 1、用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的 5 根细木棍围成一个三角形(允 许连接,但不允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为多少? A、8 cm2 B、6 cm2 C、3 cm2 D、20 cm2(06 年全国卷Ⅰ,11)

【解析】 :对于绝大部分考生来说,这是一道难度较大的选择题,因为你去安排各边

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的长度时,组合的可能有许多,因此面对命题者用此题“把关” ,不少考生选择放弃 思考。其实由题设知道,这个三角形的周长是定值 20,周长是定值的三角形在高或 底趋向于零时其形状趋向于一条直线,其面积趋向于零,因此对于直觉比较好的学生 来说,会意识到只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时面积最大,也就是说,形状 接近于正三角形时面积最大, 故三边长应该为 7、 7、 6, 因此易知最大面积为 6 选 B。 二、定义域优先的策略 在解函数题时,这一条极其重要。如判断函数的奇偶性,先看定义域是否关于原 点对称;对变量进行换元,要记住“换元必换域”的口诀,比如令 sinx+cosx=t,必 须随即写上新变量 t 的取值范围;复合函数的内层函数的值域是外层函数的定义域, 等等。 例 2、求函数 y=lg(x2+2x)的单调区间。 【解析】 :注意先考虑定义域。 三、定义法优先的策略 定义是知识的生长点,用定义法解题是回归本源的高明方法。波利亚解题法中就 有“回到定义去”的重要提醒句。 例 3、已知椭圆 9x2+25y2=225 内有一点 A(1,1) ,右焦点 F,请在椭圆上找一点 P, cm2,

使∣PA∣+ ∣PF∣最小。

【解析】 :先把 ∣PF∣转化为 P 点到右准线的距离就好办了。 四、范围优先的策略 在三角函数这个内容里面, 有一句口诀叫做 “求角先求函数值, 总要优先定范围” 。 例 4、已知 3sin2x+2sin2y-2sinx=0,求 cos2x+cos2y 的取值范围 五、特情优先的策略 命题者出于考查严谨性的考虑, 一般都有意识地在题目中设置一些特殊情况作为 问题的一个小分支,这个小分支本身并不难,但要求解题者不要漏掉。比如:分母为 零吗?二次项系数为零吗?等比数列的公比为 1 吗?直线方程的斜率存在吗?斜率 为零吗?直线方程中截距为零吗?集合问题中考虑集合为空集的情形了吗?所给的 集合是点集还是数集?端点值能够取到吗?求数列通项公式时,第一项是否不符合通
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项公式而需要单列呢?解题时要做到“先为不可胜而待敌之可胜” ,就要养成特情 优先的良好习惯。 例 5、某国际旅行社共有 11 名翻译人员,其中 5 人只会英语,4 人只会日语,另有 2 人既会英语又会日语。现在从这 11 名翻译人员中选 4 人担任英语翻译,4 人担任日 语翻译,共有多少种不同的选派方法? 六、间接法优先的策略 间接法体现了思维的灵活性, 所谓 “间接法” 有两层意思, 一是从反面考虑问题, 二是从侧面考虑问题。凡有关“至多、至少”问题,使用从反面考虑问题的间接法, 一般都比较简便,这一点在解决有关概率统计问题时尤其明显,在解有关排列组合问 题上也是如此,原因是可以避免繁杂的分类讨论;此外, 解小题(填空题或者选择 题) ,优先使用从侧面考虑问题的间接法,是赢得时间的重要策略,这里就不赘述了。 例 6、ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是( A、0﹤a≤1。B、a﹤1。C、a≤1。D、0﹤a≤1 或 a﹤0。 【解析】 :此题如果用直接法求解,花 10 分钟也未必解决得了。如果由选项看出,0 和 1 是两个关键数字,以 0 代入,符合要求,排除 A、D;再以 1 代入,得 x=-1 符合 要求,所以选 C。 七、易处优先的策略 解决任何问题,都不免会碰到困难,人们的一个策略就是先易后难,逐步解决。 体现在对待数学问题的态度上,当然也是如此。数学解答题,常常是一设多问,难度 逐渐加大,解答时候就应该遵循这个顺序,这本身就是一个“热身”的过程;另外, 有些问题看起来比较复杂,我们可以先解答一个类似的但比较简单的问题,以期从中 受到启发进而找到思路,这叫“稚化策略” 。 至于解答一份完整的数学试卷,就更应 该先易后难了。 例 7、函数 f(x)=︱x-i︱的最小值为( A、190 12) 【解析】 :在解此题时,若你直觉足够好,能直接意识到 取 1~19 的中间值(平均值) 10 时 f(x)取到最小值,那当然就简单了;若你直觉欠好,可用“稚化策略” ,先把 问题稚化为求 f(x)=︱x-i︱=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱的最小值,你就会豁然开 朗了。
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) D、45 (06 年全国卷Ⅱ,

B、171

C、90

第四部分:课程评价 为了促进教师专业发展,张扬学生个性,形成我校特色,教导处具 体负责校本课程的检查和评价工作。 1.对教师实施课程的过程性评价 主要包括教学准备、教学方式、教学态度等。评价的方法是教师自我评 价和我校评价,采用调查问卷、课堂记录、检查备课笔记等方法。 2.对学生的评价,体现评价的多元化和个体化 评价时特别注重学生的学习效果和特长的发展,关注学生对校本课程的 学习兴趣和态度。评价的方法有观察、调查问卷、考查、作品展示和评 比等。 一是作品展览。开展多种形式的年级、校内学生作品展览,加强宣传和
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对学生进行鼓励。如,学习笔记、手抄报、手工作品、照片、征文等的 展览。 二是对学生学习结果的评价。采用等级制记录学生的学习情况。学期结 束,教师根据校本教材的内容和学生实地参与的情况,采用开卷考查的 方式检测学生的学习成绩,给与学生一个充分发挥自己才能的机会和一 个合理的等级成绩。

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