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数学必修2(人教A版)第四章4.2.1应用案巩固提升


[A 基础达标] 1.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( A.相切 C.直线过圆心 ) B.相交但直线不过圆心 D.相离 1 2 = <1 知,直线与圆相交,但(0, 2 2 ) 解析:选 B.由圆心(0,0)到直线 y=x+1 的距离为 0)不在直线 y=x+1 上,故选 B. 2.直线 x+y=1 与圆 x2+y2-2ay=0(a>0)没有

公共点,则 a 的取值范围是( A.(0, 2-1) B.( 2-1, 2+1) C.(- 2-1, 2+1) D.(0, 2+1) 解析:选 A.用圆心(0,a)到直线 x+y=1 的距离大于半径 a 求解, 即 a2+2a-1<0, ( 故 0<a< 2-1.也可联立方程通过 Δ<0 求解. 3.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是 ) A.36 B.18 C.6 2 D.5 2 解析:选 C.圆的方程化为标准式得(x-2)2+(y-2)2=18. |2+2-14| 圆心(2,2)到直线 x+y-14=0 的距离 d= =5 2, 2 从而圆上的点到直线的最小距离为 5 2-r=5 2-3 2=2 2, 最大距离为 5 2+3 2= 8 2,故最大距离与最小距离的差是 6 2.故选 C. 4.在圆 x2+y2+2x+4y-3=0 上且到直线 x+y+1=0 的距离为 2的点的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 |-1-2+1| 解析: 选 C.圆心为(-1, -2), 半径 r=2 2, 而圆心到直线的距离 d= = 2, 2 故圆上有 3 个点满足题意. 5.已知点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则△ABC 面积 的最大值是( ) A.6 B.8 C.3- 2 D.3+ 2 x y 解析:选 D.直线 AB 的方程是 + =1,即 x-y+2=0,|AB|=2 2,则当△ABC 面 2 -2 积取最大值时,边 AB 上的高即点 C 到直线 AB 的距离 d 取最大值,又圆心 M(1,0),半径 3 2 3 2 r=1,点 M 到直线 x-y+2=0 的距离是 .由圆的几何性质得 d 的最大值是 +1,所以 2 2 1 3 2 ? △ABC 面积的最大值是 ×2 2×? =3+ 2. 2 ? 2 +1? 6.过原点的直线与圆 x2+y2-2x-4y+4=0 相交所得弦的长为 2,则该直线的方程为 ________. 解析:圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-2)2=1,因为直线与圆相交所得弦长为 2, 故相交弦为圆的直径,由此得直线过圆心(1,2),故所求直线方程为 2x-y=0. 答案:2x-y=0 7.由动点 P(x,y)引圆 O:x2+y2=4 的两条切线,切点为 A,B,若∠APB=90°,则 点 P 的轨迹方程是____________. 解析:由题意知|AO|=2,|PO|=2 2,所以点 P 的轨迹方程是 x2+y2=8. 答案:x2+y2=8 8.直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点为 C(-2, 3),则直线 l 的方程为________. 解析:圆心为 M(-1,2).由圆的性质易知 M(-1,2)与 C(-2,3)的连线与弦 AB 垂直, 故有 kAB×kMC=-1?kAB=1,故直线 AB 的方程为 y-3=x+2,整理得 x-y+5=0. 答案:x-y+5=0 9

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