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云南省普洱市镇沅四中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


云南省普洱市镇沅四中 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2<x≤5},则 A∩B=() A.(2,3) B.[﹣1,5] C.(﹣1,5) D.(﹣1,5] 2. (5 分)点

(x,y)在映射 f:A→B 作用下的象是(x+y,x﹣y) ,则点(3,1)在 f 的作用 下的原象是() A.(2,1) B.(4,2) C.(1,2) D.(4,﹣2)

3. (5 分)函数 y=

的定义域是()

A.[ ,+∞)

B.[ ,2)∪(2,+∞) C.

( ,2)∪(2,+∞)

D.(﹣∞,2)∪(2,+∞) 4. (5 分)下列哪组中的两个函数是同一函数() A. C. 与
3 2

与 y=x

B. D. 与

与 y=x

5. (5 分)用二分法求函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 的一个零点,依次计算得到如表函数值: f(1)=﹣2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=﹣0.984 f(1.375)=﹣0.260 f(1.438)=0.165 f(1.4065)=﹣0.052 那么方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个近似根在下列哪两数之间() A.1.25~1.375 B.1.375~1.4065 C.1.4065~1.438 6. (5 分)下列函数为幂函数的是() ①y=x +1; ②y=2 ; ③y= A.①③⑤
2 x 3 2

D.1.438~1.5

; ④y=(x﹣1) ; ⑤y=x ; ⑥y=x C.③⑤

2

5

x+1



B.①②⑤

D.④⑤⑥

7. (5 分)下列各函数中为奇函数的是() 2 A.y=x+3 B.y=x +x

C.y=x|x|

D.y=﹣|x|

8. (5 分)若 loga(2x﹣1)>loga(x﹣1) ,则有() A.0<a<1,x>0 B.0<a<1,x>1 C.a>1,x>0

D.a>1,x>1

9. (5 分)函数 f(x)=2 ,则 f(x) () A.在 R 上是减函数 C. 在[0,+∞)上是减函数

|x|

B. 在(﹣∞,0]上是减函数 D.在(﹣∞,+∞)上是增函数

10. (5 分)已知 f(x)= A.﹣7 11. (5 分)函数 B. 3 的图象是()

,则 f(﹣1)+f(4)的值是() C . ﹣8 D.4

A.

B.

C.

D.

12. (5 分)设 f(x) (x∈R)为偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,则 f(﹣2) 、f(﹣ π) 、f(3)的大小顺序是() A.f(﹣π)<f(﹣2)<f(3) B.f(﹣π)>f(﹣2)>f(3) C. f(﹣ π)<f(3)<f(﹣2) D. f(﹣π)>f(3)>f(﹣2)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. (5 分) +2 =.
﹣2

14. (5 分)对数函数 f(x)的图象经过点( ,2) ,则 f(x)=.

15. (5 分)函数 f(x)=x+1 的零点是.

16. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f[f( )]的值是.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分)设 A={x|x 是小于 9 的正整数},B={1,2,3},C={3,4,5,6}.求: (1)B∩C; (2)?A(B∪C)

18. (12 分)计算下列各式: (1) +

(2)log225?log34?log59. 19. (12 分)已知函数 f(x)=mx+ ,且 f(1)=2. (1)求 m; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x +2x, (1)若 f(x)在[a,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围. (2)当 x∈[2,5]时,求 f(x)的最值.
2

21. (12 分)已知函数

(1)求 f(2)与

,f(3)与

的值; 有什么关系?证明你的发现; …
x

(2)由(1)中求得的结果,你能发现 f(x)与 (3)求 f(1)+f(2)+f(3)+…

的值.

22. (12 分)已知函数 f(x)=loga(a ﹣1) (a>0,a≠1) . (1)求函数 f(x)的定义域; (2)讨论函数 f(x)的单调性.

云南省普洱市镇沅四中 2014-2015 学年高一上学期期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2<x≤5},则 A∩B=() A.(2,3) B.[﹣1,5] C.(﹣1,5) D.(﹣1,5] 考点: 交集及其运算. 专题: 集合.

分析: 直接由交集运算得答案. 解答: 解:∵集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2<x≤5}, ∴A∩B={x|﹣1≤x<3}∩{x|2<x≤5}=(2,3) . 故选:A. 点评: 本题考查了交集及其运算,是基础题. 2. (5 分)点(x,y)在映射 f:A→B 作用下的象是(x+y,x﹣y) ,则点(3,1)在 f 的作用 下的原象是() A.(2,1) B.(4,2) C.(1,2) D.(4,﹣2) 考点: 映射. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 直接由 ,列式求解 x,y 的值即可得到答案.

解答: 解:由

,解得 x=2,y=1.

∴象(3,1)的原象是(2,1) . 故选:A. 点评: 本题考查了映射的概念,训练了二元一次方程组的解法,是基础的计算题.

3. (5 分)函数 y=

的定义域是()

A.[ ,+∞)

B.[ ,2)∪(2,+∞) C.

( ,2)∪(2,+∞)

D.(﹣∞,2)∪(2,+∞) 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意,分子根号下的式子大于或等于零,分母不为零,据此列出 x 的不等式组, 求解即可. 解答: 解:要使原式有意义只需: ,解得 且 x≠2,

故函数的定义域为[

)∪(2,+∞) .

故答案为 B. 点评: 求函数的定义域分两类,一是实际问题中函数的定义域,有变量的实际意义确定; 二是一般函数的定义域,由使式子有意的 x 的范围确定,一般是列出不等式组求解.注意结果 要写成集合或区间的形式.

4. (5 分)下列哪组中的两个函数是同一函数() A. C. 与 与 y=x B. D. 与 与 y=x

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 要使数 f(x)与 g(x)的同一函数,必须满足定义域和对应法则完全相同即可,注 意分析各个选项中的 2 个函数的定义域和对应法则是否相同. 解答: 解:A、y=x 与 y= B、 C、f D、 与 与 的定义域不同,故不是同一函数.

=x 与 y=x 的对应关系相同,定义域为 R,故是同一函数. 的定义域不同,故不是同一函数. 具的定义域不同,故不是同一函数.

故选 B. 点评: 此题是个基础题.本题考查函数的三要素:定义域、值域、对应关系,相同的函数 必然具有相同的定义域、值域、对应关系. 5. (5 分)用二分法求函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 的一个零点,依次计算得到如表函数值: f(1)=﹣2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=﹣0.984 f(1.375)=﹣0.260 f(1.438)=0.165 f(1.4065)=﹣0.052 3 2 那么方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个近似根在下列哪两数之间() A.1.25~1.375 B.1.375~1.4065 C.1.4065~1.438 D.1.438~1.5 考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用函数零点的判定定理求得函数 f(x)的零点所在的区间,即可得到方程 3 2 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个零点所在的区间. 3 2 解答: 解:由题意可得函数 f(x)=x +x ﹣2x﹣2 为连续函数,且 f(1.438)>0,f(1.4065) <0, 根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间为(1.4065,1.438) , 3 2 即方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个零点所在的区间为(1.4065,1.438) , 故选:C. 点评: 本题主要考查函数零点的判定定理的应用,属于基础题. 6. (5 分)下列函数为幂函数的是() ①y=x +1; ②y=2 ; ③y= A.①③⑤
2 x 3 2

; ④y=(x﹣1) ; ⑤y=x ; ⑥y=x C.③⑤

2

5

x+1



B.①②⑤

D.④⑤⑥

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的定义,对以下函数进行判断即可. α 解答: 解:根据幂函数 y=x ,α∈R 的定义知, 2 ①y=x +1 不是幂函数, x ②y=2 不是幂函数, ③y= =x
﹣2

是幂函数,
2

④y=(x﹣1) 不是幂函数, 5 ⑤y=x 是幂函数, x+1 ⑥y=x 不是幂函数; 综上,是幂函数的为③⑤. 故选:C. 点评: 本题考查了幂函数的定义与应用问题,解题时应把握幂函数的定义是什么,属于基 础题. 7. (5 分)下列各函数中为奇函数的是() 2 A.y=x+3 B.y=x +x

C.y=x|x|

D.y=﹣|x|

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 计算题. 分析: 所给函数的定义域都是 R,关于原点对称,再根据奇函数和偶函数的定义,对各个选 项中的函数进行判断. 解答: 解:所给函数的定义域都是 R,关于原点对称. 对于函数 y=x+3,把 x 换成﹣x,函数变为 y=﹣x+3,函数没有变为原来的相反数,故不是奇 函数. 对于函数 y=x +x,把 x 换成﹣x,函数变为 y=x ﹣x,函数没有变为原来的相反数,故不是奇 函数. 对于函数 y=x|x|,把 x 换成﹣x,函数变为 y=﹣x|x|,变为原来的相反数,故是奇函数. 对于函数 y=﹣|x|,把 x 换成﹣x,函数还是 y=﹣|x|,不变,故函数是偶函数. 故选 C. 点评: 本题主要考查奇函数和偶函数的定义,函数的奇偶性的判断方法,属于基础题. 8. (5 分)若 loga(2x﹣1)>loga(x﹣1) ,则有() A.0<a<1,x>0 B.0<a<1,x>1 C.a>1,x>0
2 2

D.a>1,x>1

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分 a>1、0<a<1 两种情况,分别求得 x 的范围,综合可得结论. 解答: 解:当 a>1 时,由 loga(2x﹣1)>loga(x﹣1) ,可得 ,求得 x>1;

当 0<a<1 时,由 loga(2x﹣1)>loga(x﹣1) ,可得

,求得 x 无解.

故选:D. 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,对数函数的定义域,属于基础题. 9. (5 分)函数 f(x)=2 ,则 f(x) () A.在 R 上是减函数 C. 在[0,+∞)上是减函数 考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 常规题型;函数的性质及应用. 分析: f(x)=2 在 R 上是增函数,y=|x|在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函 数;借助复合函数的单调性求单调性. x 解答: 解:∵f(x)=2 在 R 上是增函数, 又∵y=|x|在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数; ∴f(x)=2 在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数; 故选 B. 点评: 本题考查了指数函数的单调性及复合函数的单调性,属于基础题.
|x| x |x|

B. 在(﹣∞,0]上是减函数 D.在(﹣∞,+∞)上是增函数

10. (5 分)已知 f(x)= A.﹣7 B. 3

,则 f(﹣1)+f(4)的值是() C . ﹣8 D.4

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由分段函数的性质得 f(﹣1)+f(4)=(﹣1﹣3)+(2×4﹣1)=3. 解答: 解:∵f(x)= ,

∴f(﹣1)+f(4)=(﹣1﹣3)+(2×4﹣1)=3. 故选:B. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合 理运用.

11. (5 分)函数

的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 本题考查的知识点是分段函数图象的性质,及函数图象的作法,由绝对值的含义化 简原函数式,再分段画出函数的图象即得. 解答: 解:函数 可化为:

当 x>0 时,y=1+x;它的图象是一条过点(0,1)的射线; 当 x<0 时,y=﹣1+x.它的图象是一条过点(0,﹣1)的射线; 对照选项, 故选 D. 点评: 本小题主要考查函数、函数的图象、绝对值的概念等基础知识,考查运算求解能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 12. (5 分)设 f(x) (x∈R)为偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,则 f(﹣2) 、f(﹣ π) 、f(3)的大小顺序是() A.f(﹣π)<f(﹣2)<f(3) B.f(﹣π)>f(﹣2)>f(3) C. f(﹣ π)<f(3)<f(﹣2) D. f(﹣π)>f(3)>f(﹣2) 考点: 函数单调性的性质;偶函数. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 先根据偶函数的性质,f(﹣2)=f(2) ,f(﹣π)=f(π) ,再利用 f(x)在[0,+∞) 上是增函数,得到 f(2)<f(3)<f(π) . 解答: 解:∵f(x) (x∈R)为偶函数, ∴f(﹣2)=f(2) ,f(﹣π)=f(π) , ∵f(x)在[0,+∞)上是增函数,2<3<π, ∴f(2)<f(3)<f(π) , ∴f(﹣2)<f(3)<f(﹣π) , 故选 D. 点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,体现转化的数学思想. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. (5 分) +2 = .
﹣2

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 利用指数幂的运算性质即可得出. 解答: 解:原式=2+ 故答案为: . 点评: 本题考查了指数幂的运算性质,属于基础题. = .

14. (5 分)对数函数 f(x)的图象经过点( ,2) ,则 f(x)=



考点: 对数函数的定义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=log 即可得到函数解析式. 解答: 解:设数函数 f(x)= ∵图象经过点( ,2) , , (a>0 且 a≠1) , (a>0 且 a≠1) ,把点( ,2)代入函数解析式,得出 a 的值,

∴ 得 a=

=2

∴f(x)=

故答案为:

点评: 本题考察了对数的概念,属于容易题. 15. (5 分)函数 f(x)=x+1 的零点是﹣1. 考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求解 f(x)=x+1=0,得出 x=﹣1,得出零点即可. 解答: 解:∵f(x)=x+1, ∴f(x)=x+1=0,得出 x=﹣1, ∴函数 f(x)=x+1 的零点是﹣1, 故答案为:﹣1 点评: 本题考查了函数的零点的求解,属于容易题.

16. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f[f( )]的值是 .

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值.

分析: 先求



,故代入 x>0 时的解析式;求出

=﹣2,

,再求值即可. 解答: 解: ,

故答案为: 点评: 本题考查分段函数的求值问题,属基本题.求 f(f(a) )形式的值,要由内而外. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分)设 A={x|x 是小于 9 的正整数},B={1,2,3},C={3,4,5,6}.求: (1)B∩C; (2)?A(B∪C) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的交集.补集的概念进行求解即可. 解答: 解: (1)∵B={1,2,3},C={3,4,5,6}. 所以 B∩C={3}; (2)∵A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B∪C={1,2,3,4,5,6}, 所以)?A(B∪C)={7,8,9}. 点评: 本题主要考查集合交集、补集的概念,属于基础题. 18. (12 分)计算下列各式: (1) +

(2)log225?log34?log59. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用根式的运算性质即可得出; (2)利用对数的换底公式即可得出. 解答: 解: (1)原式=﹣2+2=0; (2)原式= =8.

点评: 本题考查了根式与对数的运算性质、对数的换底公式,考查了计算能力,属于基础 题.

19. (12 分)已知函数 f(x)=mx+ ,且 f(1)=2. (1)求 m;

(2)判断 f(x)的奇偶性; (3)函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明. 考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(1)=2,代入解出即可; (2)根据定义进行判断即可; (3)x1、x2 是(1, +∞)上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)<0,从而得出答案. 解答: 解: (1)∵f(1)=2,∴m+1=2,解得:m=1; (2)f(x)=x+ ,f(﹣x)=﹣x﹣ =﹣f(x) ,∴f(x)是奇函数; (3)设 x1、x2 是(1,+∞)上的任意两个实数,且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2) =x1+ ﹣(x2+ ﹣ ) )

=x1﹣x2+(

=x1﹣x2﹣

=(x1﹣x2)



当 1<x1<x2 时,x1x2>1,x1x2﹣1>0, 从而 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)= +x 在(1,+∞)上为增函数. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查了函数的奇偶性问题,是一道中档题. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x +2x, (1)若 f(x)在[a,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围. (2)当 x∈[2,5]时,求 f(x)的最值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)由于函数 f(x)=x +2x 在[a,+∞)上是增函数,可得 a≥﹣1,即为所求的 a 的 范围. 2 2 (2)当 x∈[2,5]时,f(x)=x +2x=(x+1) ﹣1 是增函数,从而求得函数 f(x)的最值. 2 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=x +2x 在[a,+∞)上是增函数,∴a≥﹣1,即 a 的范围是[﹣1, +∞) . 2 2 (2)当 x∈[2,5]时,f(x)=x +2x=(x+1) ﹣1 是增函数,故当 x=2 时,函数取得最小值为 8,当 x=5 时,函数取得最大值为 35. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,体现了转化 的数学思想,属基础题.
2

21. (12 分)已知函数

(1)求 f(2)与

,f(3)与

的值; 有什么关系?证明你的发现; … 的值.

(2)由(1)中求得的结果,你能发现 f(x)与 (3)求 f(1)+f(2)+f(3)+…

考点: 归纳推理;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)直接代入计算即可; (2)发现 f(x)+ =1,代入化简即可证明;

(3)利用(2)的结论即可得出.

解答: 解: (1)f(2)=



=

= ;



=



(2)由(1)可得:

,证明如下:

=

=

=



(3)f(1)+f(2)+f(3)+… =f(1)+ = = . + +…+



点评: 本题考查了分式的化简与证明、探究发现规律即证明应用,属于中档题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=loga(a ﹣1) (a>0,a≠1) . (1)求函数 f(x)的定义域; (2)讨论函数 f(x)的单调性. 考点: 对数函数的定义域;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题.
x

分析: (1)由 a ﹣1>0,得 a >1 下面分类讨论:当 a>1 时,x>0;当 0<a<1 时,x< 0 即可求得 f(x)的定义域; (2)先对 a 值进行分类讨论:当 a>1 时,当 0<a<1 时,再任取 x1、x2 属于集合范围之内, 结合函数的单调性的定义讨论函数 f(x)的单调性. x x 解答: 解: (1)由 a ﹣1>0,得 a >1. (1 分) 当 a>1 时,x>0; (2 分) 当 0<a<1 时,x<0. (3 分) 所以 f(x)的定义域是当 a>1 时,x∈(0,+∞) ;当 0<a<1 时,x∈(﹣∞,0) . (4 分) (2)当 a>1 时,任取 x1、x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2, (5 分) 则 ,所以 . (6 分) ,即 f(x1)<f(x2) . (8 分)

x

x

因为 a>1,所以

故当 a>1 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数. (9 分) 当 0<a<1 时,任取 x1、x2∈(﹣∞,0) ,且 x1<x2, (10 分) 则 ,所以 . (11 分) ,即 f(x1)<f(x2) . (13 分)

因为 0<a<1,所以

故当 0<a<1 时,f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数. (14 分) 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的定义域、不等式的解法等基础知识, 考查运算求解能力与转化思想.属于基础题.


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