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高考复习之椭圆



【课 题】 椭 圆 【课 型】 高三复习课 【授课教 师】 【教材分析】



圆锥曲线是解析几何的主体内容,也是高中数学的重点内容,而椭圆是圆锥曲线的起始部分,通过本节 课的学习,不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识,而 且在处理问题时,让学生学会灵活运用定 义,正确选用 标准方程,恰当利用几何性质,合理的分析,准

确的计算。并且为复习双曲线 和抛物线奠定了 基础。

【学情分析】
根据 “诱思探究教学论” 教学过程中遵循 , “探索——研究——运用” 的三个层次要素, 侧重学生的 “思” 、 “探”“究”的自主学习。通过教师的“诱” 、 ,学生的动脑“思 ” ,使学生的学习达到“探索得资料,研究获 本质” 。

【教学目标】
1、知识目标:掌握椭圆的定义,标准方程和椭圆的几何性质。 2、能力目标:培养学生的解析几何观念,培 养学生观察、概括能力,以及 类比的学习方法,培养学生分析问题、解决问题的能力。 3、思想目标:⑴培养学生对待知识的科学态度和主动探 索精神,激发学生 学习激情,提高数学素养。 ⑵通过圆锥曲线的学习,可以对学生进行对立、统一的唯物主义思想教育。

【教学重点】
1、椭圆的定义,标准方程和几何性质。 2、利用性质解决一些问题。

【教学难点】
椭圆定义和几何性质的灵活应用。 【教学方法】 诱思探究教学法

1

一、知识梳理

构建网络

问题 1:平面内与两个定点 F 1 、F 2 的距离之和为常数的点的轨迹是什么? 常数大于|F 1 F 2 |的点的轨迹是椭圆 常数等于|F 1 F 2 |的点的轨迹是线段 F 1 F 2 常数小于|F 1 F 2 |的点的轨迹不存在

M

F1
F1
M

F2

F2

问题 2:平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆吗? 常数 e(0<e<1)点的轨迹是椭圆

y
M

F o

x

l
问题 3:椭圆的标准方程的两种形式是什么?

x2 y 2 ? ?1, a 2 b2
x 轴和 y 轴上的椭圆

x2 y 2 ? ? 1 , (a>b>0) b2 a 2

分别表示中心在原点,焦点在

2

问题 4:椭圆的几何性质有哪些?

椭圆方程 图形特征

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

y
B2

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 y
A2 F2

M ( x0 , y0 )

M
B2
A1

A1 F1 O
B1

F2 A 2

x

B1 O

x

F1

范围

| x |? a,| y |? b
(?a,0), (0,?b)

| x |? b,| y |? a
(?b,0), (0,?a)
(0,?c)
y?? a2 c

几 何 性 质

顶点 焦点 准线 对称性 长短轴 离心率 焦半径

(?c,0)
x?? a2 c

关于x轴、y轴、原点对称

关于x轴、y轴、原点对称

长轴长 | A1 A2 |? 2a, 短轴长 | B1B2 |? 2b

长轴长 | A1 A2 |? 2a, 短轴长 | B1B2 |? 2b

c e ? (0 ? e ? 1) a

c e ? (0 ? e ? 1) a

| MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0

| MF1 |? a ? ey0 , | MF2 |? a ? ey0

二、要点训练 例 1.已知椭圆

知识再现:
x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) 长半轴的长等于焦距,且 x ? 4 为它的右准线, a2 b2

x2 y2 ? ?1 4 3 椭圆的标准方程为:______________

例 2.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到左准线的距离为 10,F 是左焦点,O 是坐 1 25 16

y
P
M

标原点,点 M 满足

OM ?

1 (OP ? OF1 ) 2

,则

| OM |?

2

F1

o

F2

x

3

例3.(06 模拟)设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)的两焦点为F1 , F2 , 若椭圆上存在一点P, a2 b2

使 PF1 ? PF2 ? 0, 求椭圆离心率e的范围.
解法一:设P ( x 0 , y 0 ), 则 | PF1 |? a ? ex0 , | PF2 |? a ? ex0 , | F1 F2 |? 2c, ? PF1 ? PF 2 ? 0,? PF1 ? PF2 | PF1 | ? | PF2 | ?| F1 F2 |
2 2 2

y
P
F1

o

F2

x

(a ? ex0 ) 2 ? ( a ? ex0 ) 2 ? 4c 2 即 e 2 x 0 ? 2c 2 ? a 2
2

p在椭圆上但不在x轴上 ? 0 ? x 0 ? a 2 ,? 0 ? e 2 x 0 ? c 2
2 2

y
P
F1

? 0 ? 2c 2 ? a 2 ? c 2 2 ? e ?[ ,1) 2

o

F2

x

解法二: PF1 ? PF2 ? 0,? PF1 ? PF2 ? 所以P在以F1 F2 为直径的圆上, 而P又在椭圆上,所以圆与椭圆有公共点, ?b ? c ? b2 ? c2. ?a ? c2 ? c2 ,
2

y

F1

o

F2

x

?

a2 2 ? c2 ? ? e ?1 2 2

4

探究:以 c 为半径的圆与椭圆的位置关系? 三、学以致用 直通高考
x2 y2 ? ? 1的长轴分成8等分,过每个分点作x轴 25 16

例4.(06四川)把椭圆

的垂线交椭圆上半部分于P 1 ,P2, ? P7 七个点,F1是椭圆的左焦点, ? 则 | P1 F1 | ? | P2 F1 | ? ?? ? | P7 F1 |? ___

y
P2 P3 P4 P5 P6 P P1 7
x1 x 2 x 3 x 4 x5 x6 x7

解法二:连接P7 F2,P6 F2,P5 F2,由题意知, | P7 F2 |?| P1 F1 | ,P6 F2 |?| P2 F1 | ,P5 F2 |?| P3 F1 | , | | ?| P1 F1 | ? | P2 F1 | ? | P3 F1 | ? | P4 F1 | ? | P5 F1 | ? | P6 F1 | ? | P7 F1 | ?| P7 F2 | ? | P7 F1 | ? | P6 F2 | ? | P6 F1 | ? | P5 F2 | ? | P5 F1 | ? | P4 F1 | ? 7 a ? 35

x

y
P2 P3 P4 P5 P6 P P1 7
F1

o

F2

x

解法一:设 P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7的横坐标分别为 x1,x 2,x3,x 4,x5,x 6,x 7 | P1 F1 | ? | P2 F1 | ? | P3 F1 | ? ? ? | P6 F1 | ? | P7 F1 | ? 7 a ? e( x1 ? x 2 ? x3 ? ? ? x 7 ) ? 7 a ? 35

5

四、知识迁移
变式练习 把椭圆 :

提升能力
x2 y2 ? ? 1的长轴分成8等分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆上 25 16

半部分于P1 ,P2, ? P7 七个点,F1是椭圆的左焦点, 长轴与椭圆交于P0 , P8 , 判断 ? | P0 F1 |, | P1F1 |, | P2 F1 | ? | P8 F1 | ,是否为等差数列? 说明理由,若是求出公差.
解 : 设P0,P ?? P8的横坐标为 1 x0,x1 ?? x8, n }为等差数列, {x 公差为d ? 10 5 ? (0 ? n ? 8,n ? N)。 8 4

y
P2 P3 P4 P5 P6 P P1 7
P0
F1

o

P8
F2

x

?| Pn F1 |? a ? exn,Pn?1 F1 | ? | Pn F1 |? ed | ?| P0 F1 | ,P0 F1 | ?? | P8 F 1| 为等差数列,公差为d ', | ? d ' ? ed ? 3 4

五、课后小结

谈谈收获

通过本节课的学习,同学们应明确以下几点: (1)掌握椭圆的两种定义,标准方程及椭圆的几何性质。 (2)解题时注重“三个充分” ,即充分利用椭圆定义,充分利用几何性质, 充分利用图形。 (3)解题时注意焦半径公式的应用,注重设而不求思想和数形结合思想的 应用。 六、对本节课教学设计的说明 圆锥曲线是 数学的重点内容,而椭 圆是圆锥曲线的第一节内容,通 过椭圆的复习,让学生对圆锥曲线的 复习无论从知识上或方法上都有一个较清晰的认识。 教给学生类比的学习方法。 本节课重点是基础知识点的灵活运用,只靠教师强调知识点的重要性是远远不够的,只有让学生通过训 练、思考、尝试、发现、总结,才能大大加深印象,强调对知识点的理解和掌握,所在整个教学中遵循体现 “教师为引导,学生为主体”的教学思想,通过要点训练,直通高考,知识迁移等环节步步深入,充分发挥

6

学生的主体地位,达到“探究得资料,研究获本质”的目的。 本节是复习课,不但帮助学生复习知识,更重要的是贯彻思想方法,解题方法及培养学生题后总结的习 惯,培养学生分析,解决问题的能力。

7


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