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2012届高考理科数学二轮复习课件: 数列的通项与求和


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热点考向1

/>等差与等比数列的综合问题

【例1】(2011· 浙江高考) 已知公差不为0的等差数列{an} 的首项a1为a(a∈R)且
1 1 1 成等比数列. , , a1 a 2 a 4
1 1 1 1 1 ? ? ??? 与 的大小. a2 a22 a23 a2n a1

(1)求数列{an}的通项公式; (2)对n∈N*,试比较

【解题指导】解答本题(1)关键是利用数列{an}的通项公式及 已知条件建立关于首项a1,公差d的关系求解;解答(2)关键是

表示出 a 2 =2na,以此来求和,进而比较大小.
n

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【规范解答】(1)设等差数列{an}的公差为d,由 ( 1 )2 ? 1 g 1 ,
a2 a1 a 4

得(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2. 因为d≠0, 所以d=a1=a, 故通项公式an=na(n∈N*).

(2)记 Tn ?

1 1 1 ? ??? , 因为 a 2n =2na, a2 a22 a2n

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 1 2 ? [1 ? ( 1 ) n ]. 所以Tn ? ( ? 2 ??? n ) ? g2 1 a 2 2 2 a a 2 1? 2

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所以,当a>0时, n ? 1 ; T
a1

当a<0时, n ? 1 . T
a1

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求解等差与等比数列的交汇问题的方法 利用等差(比)数列的相关公式或性质,构造方程(组),逐步 求解. 记清公式,认真运算是必须的.

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已知等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn,又S6=60,a6为
a1和a21的等比中项.

(1)求an,Sn;
(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an,b1=3.求 { 1 }的前n项和Tn.
bn

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6?5 ? S6 ? 6a1 ? d ? 60 ?a 1 ? 5 【解析】?1? ? 2 ?? , ? ?d ? 2 ?a ? a ? 20d ? ? ? a ? 5d ?2 1 ? 1 1

∴an=2n+3,
n ? 5 ? 2n ? 3? Sn ? ? n ? n ? 4 ? ? n ? N* ? . 2 ?b ? b ? a (2) ? n?1 n n , 当n≥2时, * ?bn ? bn ?1 ? a n ?1 (n ? 2,n ? N )

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1=Sn-1+b1 =(n-1)(n+3)+3=n(n+2),

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∴bn=n2+2n(n≥2,n∈N*)对n=1也适合,

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), bn n ? n ? 2 ? 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 ? Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )] 2 3 2 4 n n?2

1 3 1 1 3n 2 ? 5n ? ( ? ? )? , 2 2 n ? 1 n ? 2 4 ? n ? 1?? n ? 2 ? 3n 2 ? 5n ? Tn ? ? n ? N* ? . 4 ? n ? 1?? n ? 2 ?

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热点考向2

构造新等差(比)数列求数列通项公式问题

【例2】(2011·大庆模拟) 已知数列{an},其前n项和Sn满足 Sn+1=2λ Sn+1(λ 是大于0的常数),且a1=1,a3=4. (1)求λ 的值; (2)求数列{an}的通项公式an. 【解题指导】(1)利用a3=S3-S2构造关于λ的方程求解;(2)由 (1)的结论,通过Sn+1=2λSn+1构造新数列将问题转化为等比 数列问题,进而求出数列{an}的通项.

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【规范解答】(1)由Sn+1=2λSn+1得S2=2λS1+1=2λa1+1=2λ+1,
S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1, ∴a3=S3-S2=4λ2, ∵a3=4,λ>0,∴λ=1. (2)由Sn+1=2Sn+1整理得Sn+1+1=2(Sn+1), ∴数列{Sn+1}是以S1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,

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∴Sn+1=2×2n-1,∴Sn=2n-1, ∴an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).

∵当n=1时,a1=1满足an=2n-1,
∴an=2n-1(n∈N*).

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构造新数列求通项公式问题的类型

(1)由递推公式a1=a,当n≥2时,an=p·an-1+q(a,p,q都是常
数),求通项公式.

如果p=1,则数列为等差数列;
如果q=0,则数列为等比数列或常数列; 当p≠1,0且q≠0时,则有 a n ? 等比数列.
q q ? p(a n ?1 ? ), 于是转化为 p ?1 p ?1

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(2)已知数列{an}满足a1=a,当n≥2时,an=p·an-1+qn(a,p,q 都是常数,p≠1,0且q≠0),求其通项公式.由an=p·an-1+qn两

边同除以qn,得

a n p a n ?1 ? g n ?1 ? 1 于是转化为1中的问题. , n q q q

解决此类问题时,要注意对n的取值的要求,即n≥2

时成立的等式,要检验对n=1时是否成立.

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已知数列{an}满足如图所示的程序框图.

(1)写出数列{an}的一个递推关系式;
(2)证明:{an+1-2an}是等比数列; (3)证明 { a n } 是等差数列,并求
2n

{an}的通项公式.

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【解析】(1)由程序框图可知, 数列{an}的一个递推关系式:
a1=1,a2=1,an+2=4an+1-4an, (n∈N*).

(2)∵an+2-2an+1=2(an+1-2an), 且a2-2a1=-1,
∴数列{an+1-2an}是以-1为首项,2为公比的等比数列.
1 (3) 由(2)可知 an+1-2an=-2n-1, a n ?1 ? a n ? ? 1 , 又 a1 ? 1 , n? n 1

2

2

4

2

2

∴数列 { a n } 是以 1 为首项, ? 1 为公差的等差数列. n
4 a 1 1 3?n n ? n ? ? (? ) ? n ? 1? ,a n ? ( )g2 ? n ? N* ?. 2n 2 4 4 2 2

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热点考向3

数列求和问题

【例3】(12分)(2011·新课标全国卷)等比数列{an}的各项均 为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列 1 } 的前n项和. {
bn

【解题指导】解答本题(1)利用两个已知条件直接求公比及首 项a1,确定通项公式.对于(2),首先利用对数运算性质求出bn,

进而得 1 ,再利用裂项相消求和法求解.
bn

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【规范解答】(1)设数列{an}的公比为q.由a32=9a2a6得 a32=9a42,所以 q 2 ? . …………………………………………2分 由条件可知q>0,故 q ? . ……………………………………3分 由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,得 a1 ? 1 . ………………………5分
3 1 3 1 9

故数列{an}的通项公式为 a n ? 1n . ………………………6分
n n ? 1? (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)= ? ? . 2
3

…………………………………………………………………8分 故
1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ). ………………………………9分 bn n ? n ? 1? n n ?1

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1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ??? ? ?[(1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? 2 )] ? ? . b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

………………………………………………………………11分 所以数列 1 } 的前n项和为 ? 2n . ………………………12分 {
bn
n ?1

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数列求和方法集锦 (1)直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意对等比数列 中q≠1的讨论.

(2)错位相减法:主要用于一个等差数列和一个等比数列对应
项相乘所得数列求和,即等比数列求和公式的推导过程的推

广.

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(3)裂项相消求和法:把数列每一项分裂成两项的和,通过正、

负项相消求和.
(4)分组转化法:把数列的每一项分成两项,使其转化为几个 等差、等比数列,再求解. 利用错位相减法求和时,转化为等比数列求和.若公 比是参数(字母),则应先对参数进行讨论.

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已知等比数列{an}是递增数列,且满足a1+a2+a3=39,a2+6是a1 和a3的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn ? ? ?
1 (n ? 1)

?a n ?1log3a n

? n ? 2?

记数列{bn}的前n项和为 ,

Sn(n∈N*),求使Sn>120成立的最小值n.

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【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,由题意知q>1. 由已知条件有2(a2+6)=a1+a3,从而a2+2(a2+6)=39,所以a2=9,
30 ? 9 1 ? 9q ? q ? 3或 (舍去),所以an=3n. q 3

(2)bn=an-1log3an=3n-1·n(n≥2), 所以Sn=1+2·31+3·32+…+n·3n-1(n∈N*) 3Sn=31+2·32+3·33+…+n·3n ②-①得: n ? ?1 ? 3 ? 3 ??? 3 2S
1 2 n ?1

① ②

1 ? 3n ? n g3 ? ?( ) ? n g3n , 1? 3
n

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3n 1 所以 2Sn ? n g3 ? ? ? (n ? 1 )g3n ? 1 , 2 2 2 2
n

当n=1时,S1=1满足上式, 由 Sn ? 120,则(n ? 1 )n ? 1 ? 240, 3
2 2

所以n≥4(n∈N*),即n的最小值为4.

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分类讨论思想——数列中讨论问题盘点
数列中的讨论问题常见类型: (1)求和分段讨论:知道数列{an}的前n项和Sn,求数列 {|an|} 的前n项和. (2)对等比数列的公比讨论:求等比数列前n项和问题中 对公比q=1 和q≠1进行讨论. (3)对项数的奇偶讨论:与数列有关的求通项或求前n项 和问题中对项数n 的奇偶进行讨论.

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求解时注意的问题:
(1)树立分类讨论的意识.遇到数列求和特别是等比数列 求和问题时要有分类讨论的意识. (2)运用公式求和时注意公式成立的条件,运用错位相 减求和时,相减后,若两边需除以代数式,则需要讨论代数 式是否为零的情况.

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【典例】 在等比数列{an}中,设前n项和为Sn,x=Sn2+S2n2,
y=Sn(S2n+S3n),试比较x与y的大小. 【解题指导】用首项a1和公比q 表示等比数列的和,并对公比 q 分q=1和q≠1两种情况讨论. 【规范解答】设等比数列的首项为a1,公比为q, 则当q=1时,Sn=na1, ∴x=(na1)2+(2na1)2=5n2a12,y=na1(2na1+3na1)=5n2a12, ∴x=y;

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当q≠1时, Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

,

a1 (1 ? q n) a1 (1 ? q 2n ) 2 a1 2 2 ?x ? [ ] ?[ ] ?( ) [(1 ? q n ) 2 ? (1 ? q 2n ) 2 ] 1? q 1? q 1? q a ? ( 1 )2 ? q 4n ? q 2n ? 2q n ? 2 ? , 1? q a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q 2n ) a1 (1 ? q 3n ) a y? [ ? ] ? ( 1 ) 2 (q 4n ? q 2n ? 2q n ? 2), 1? q 1? q 1? q 1? q

∴x=y,综上可知x=y.


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