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高考绝对值不等式(j基本全了)


绝对值不等式
解绝对值不等式
1.不等式 x ? 1 ? x ? 3 ≥0 的解集是 . [1, ??) .

x ? 1 ? x ? 3 ≥0 ? x ? 1 ≥ x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ≥ ( x ? 3) 2 ? x ≥1
2.对于 x ? R ,不等式 x ? 10 ? x ? 2 ? 8 的解集为_____

__ 答案: {x x ? 0} 解析:两种方法,方法一:分三段,

(1)当 x ? ?10 时,不等式为 (? x ? 10) ? (2 ? x) ? 8 ,此时不等式无解; (2)当 ? 10 ? x ? 2 时,不等式为 ( x ? 10) ? (2 ? x) ? 8 ,解得: 0 ? x ? 2 (3)当 x ? 2 时,不等式为 ( x ? 10) ? ( x ? 2) ? 8 ,解得: x ? 2

x 综上: ? 0
方法二: 用绝对值的几何意义,可以看成到两点 ? 10 和 2 的距离差大于等于 8 的所有点的集合, 画出数轴线, 找到 0 到

? 10 的距离为 d1 ? 10,到 2 的距离为 d 2 ? 2, d1 ? d 2 ? 8 ,并当 x 往右移动,距离差会大于 8,所以满足条件的 x 的
范围是 x ? 0 . 3. x? | 2 x ? 1|? 3 .

1 1 ? ? 1 4 1 ?x ? ?x ? 解:原不等式可以化为 ? 2 ,或 ? 2 ,解得 ? x ? 或 ? 2 ? x ? 2 3 2 ?3x ? 4 ?1 ? x ? 3 ? ?
综合得: ? 2 ? x ?

4 ? ,所以原不等式的解集是 ? x | ?2 ? x ? 3 ?

4? ?。 3?

2 4.已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | 。 (1)证明: ? 3 ? f ( x) ? 3 ; (2)求不等式 f ( x) ? x ? 8x ? 15 的解集。

?? 3, x ? 2 ? 解;(1) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | ? ?2 x ? 7,2 ? x ? 5 , ?3, x ? 5 ?
当 2 ? x ? 5 时, ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3 所以 ? 3 ? f ( x) ? 3
2 (2)由(1)知,当 x ? 2 时, f ( x) ? x ? 8x ? 15 等价于 x ? 8x ? 18 ? 0 此时不等式无解;
2
2 2 当 2 ? x ? 5 时, f ( x) ? x ? 8x ? 15 等价于 x ? 10x ? 22 ? 0 即 5 ? 3 ? x ? 5 ? 3 ,所以 5 ? 3 ? x ? 5 ;

2 2 当 x ? 5 时, f ( x) ? x ? 8x ? 15 等价于 x ? 8x ? 12 ? 0 ,解得 2 ? x ? 6 ,所以 5 ? x ? 6 ,

所以不等式 f ( x) ? x ? 8x ? 15 的解集为 x | 5 ? 3 ? x ? 6 。
2

?

?

5.对于实数 x, y ,若 x ?1 ? 1 , y ? 2 ? 1 ,则 x ? 2 y ? 1 的最大值为

.

解法一:此题,看似很难,但其实不难,首先解出 x 的范围, 0 ? x ? 2 ,再解出 y 的范围,1 ? y ? 3 ,最后综合解出 x-2y+1 的范围 ?? 5,1?,那么绝对值最大,就取 5 解法二:

6.设 f(x)=|x+a|-2x,a<0,不等式 f(x)≤0 的解集为 M,且 M ? {x|x≥2}. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a 取最大值时,求 f(x)在[1,10]上的最大值.

7.设函数 f (x) =|x-a|+3x,其中 a≠0. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x))≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f (x) ≤0 的解集包含{x|x≤-1},求 a 的取值范围.

8.【2012 高考真题新课标理 24】已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围.

9.已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x 2 ? x ? | a ?

1 | ? | a |? 0 有实根,则 a 的取值范围是 4



10.若不等式 | 3 x ? b |? 4 的解集中的整数有且仅有 1、2、3,则 b 的取值范围为



不等式的解和对应方程的根的关系
1.若不等式 | ax ? 2 |? 6 的解集为(-1,2),则实数 a 的值为_____________. 解由题意可知:-1 和 2 是方程 | ax ? 2 |? 6 的两个根。易得 a ? ?4 2.已知函数 f(x)=|x—a| (I)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (II)在(I)的条件下,若 f(x)+f(x + 5) m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

错误!未找到引用源。

解:(Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? x ? 3 .

又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5?,所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 a ? 2 . ?a ? 3 ? 5

?? 2 x ? 1, x ? ?3, ? (Ⅱ) 当 a ? 2 时 , f ( x) ?| x ? 2 | , 设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) , 于 是 g ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |? ?5,?3 ? x ? 2, ?2 x ? 1, x ? 2. ?
所以当 x ? ?3 时, g ( x) ? 5 ; 综上可得, g ( x) 的最小值为 5. 从而若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m ,即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立, 则 m 的取值范围为(-∞,5]. 当 ? 3 ? x ? 2 时, g ( x) ? 5 ; 当 x ? 2 时, g ( x) ? 5 .

含参数的存在性问题和恒成立问题
存在性问题

| 1.若关于 x 的不等式 | a |… x ? 1| ? | x ? 2 | 存在实数解,则实数 a 的取值范围是
【解】只要 | a |… x ? 1 ? x ? 2



?

?

min

法一:当 x ? ?1 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?2 x ? 1 …3 ; 当 ?1 ? x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ; 当 x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 3 ; 综上可得 | x ? 1| ? | x ? 2 |…3 ,所以只要 | a |…3 ,解得 a ? ?3 或 a …3 , 法二:利用绝对值不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 3 所以只要 | a |…3 ,解得 a ? ?3 或 a …3 2:函数 f ( x) ?| 2 x ?1| ? | 2 x ? 3| . 若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ? 1| 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围.

3:已知函数 f ( x) ? x ? 1 。设 g ( x) ? ? x ? 3 ? m ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集非空,求实数 m 的取值范围.

4.若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是

.

恒成立问题 1.若不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |…a 对任意 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是 【解】只要 a ? ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ?min 即可 利用绝对值不等式或者分类讨论容易求得, a 的取值范围是 (??,3] . 2.设 f ( x ) ? x ? a , a ? R. (1)当 ? 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 3 ,求错误!未找到引用源。的取值范围; (2)若对任意 x∈ f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) ? 1 ? 2a 恒成立,求实数 a 的最小值. R,
错误!未找到引用源。
?a-3≤-1, 解:(1)f (x)=|x-a|≤3,即 a-3≤x≤a+3.依题意,? 由此得 a 的取值范围是[0,2] ?a+3≥3.



(2)f (x-a)+f (x+a)=|x-2a|+|x|≥|(x-2a)-x|=2|a| 当且仅当(x-2a)x≤0 时取等号. 解不等式 2|a|≥1-2a,得 a≥ 3.已知函数 f(x)=|x—a| (I)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (II)在(I)的条件下,若 f(x)+f(x + 5)
错误!未找到引用源。

1 1 . 故 a 的最小值为 4 4

m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

解:(Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? x ? 3 .

又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5?,所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 a ? 2 . ?a ? 3 ? 5

?? 2 x ? 1, x ? ?3, ? (Ⅱ) 当 a ? 2 时 , f ( x) ?| x ? 2 | , 设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) , 于 是 g ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |? ?5,?3 ? x ? 2, ?2 x ? 1, x ? 2. ?
所以当 x ? ?3 时, g ( x) ? 5 ; 综上可得, g ( x) 的最小值为 5. 从而若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m ,即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立, 则 m 的取值范围为(-∞,5]. 4.已知函数 f ( x) ?| x | ?2 | x ? a | ( a ? 0). (I)当 a=l 时,解不等式 f ( x) ? 4 ; 当 ? 3 ? x ? 2 时, g ( x) ? 5 ; 当 x ? 2 时, g ( x) ? 5 .

(Ⅱ)若不等式 f(x)≥4 对一切 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围

5.已知 f ( x) ?| ax ? 4 | ? | ax ? 8 | , a ?R (Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? 2 ; (Ⅱ)若 f ( x) ? k 恒成立,求 k 的取值范围.
错误!未找到引用源。解:

(Ⅰ)当 a=2 时, x<-4, ?12, ? f (x)=2(|x-2|-|x+4|)=?-4x-4,-4≤x≤2, ? x>2. ?-12, 当 x<-4 时,不等式不成立; 3 当-4≤x≤2 时,由-4x-4<2,得- <x≤2; 2 当 x>2 时,不等式必成立. 3 综上,不等式 f (x)<2 的解集为{x|x>} 2 (Ⅱ)因为 f (x)=|ax-4|-|ax+8|≤|(ax-4)-(ax+8)|=12,当且仅当 ax≤-8 时取等号. 所以 f (x)的最大值为 12.故 k 的取值范围是[12,+∞) 6.对于任意实数 a(a≠0)和 b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,则实数 x 的取值范围是________ |a-b|+|a+b| |a-b|+|a+b| 解析:由题知,|x-1|+|x-2|≤ 恒成立,故|x-1|+|x-2|不大于 的最小值, |a| |a| 因为|a-b|+|a+b|≥|a+b+a-b|=2|a|,当且仅当(a+b)(a-b)≥0 时取等号, |a-b|+|a+b| 所以 的最小值等于 2, |a| 1 5 所以|x-1|+|x-2|≤2,解不等式得 ≤x≤ . 2 2


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