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广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之三角函数专题二


2013 届高三二轮复习 三角函数专题二 三角函数性质专题——最值,对称性,奇偶性,单调性,图象 第一部分:解答题专题

2013-3-22

1、已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ) ,且函数

? ?? ? y ? f ? 2

x ? ? 的图像关于直线 x ? 对称. 6 4? ?
(1)求 ? 的值; (2)若 f (? ?

2? 2 ,求 sin 2? 的值。 )? 3 4

2、已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图象上相邻的两个最高 点之间的距离为 2? . (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式 ; (Ⅱ)若 ? ? (? 值.

? ?

? 1 5? , ), f (? ? ) ? ,求 sin( 2? ? )的 3 2 3 3 3

3、已知向量 m ? ?sin x,1?, n ? ? 3 A cos x, (Ⅰ)求 A ;

? ?

?? ? A ? cos 2 x ?? A ? 0? , f ( x) ? m ? n 的最大值为 6. 2 ?

? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为 12 1 5? ] 上的值域. 原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, 2 24
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

4、已知向量 m ? (sin( x ?

??

?

? ?? ? ? ),1), n ? (cos( x ? ),3), f ( x) ? m ? n 。 4 4

(1)求出 f ( x ) 的解析式,并写出 f ( x ) 的最小正周期,对称轴,对称中心 (2)令 h?x ? ? f ? x ?

? ?

??

? ,求 h?x ? 的单调递减区间 6?

(3)若 m / / n ,求 f ( x ) 的值;

??

?

5、函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ) 的部分图象如下图所示,该图象与 y 轴交于点
F (0,1) ,与 x 轴交于点 B, C , M 为最高点,且三角形 MBC 的面积为 ? .

? 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f (? ? ) ?
? 6

y

? 2 5 ? , ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值. 4 5 2
x

第二部分:选填填空专题 π π π 1、函数 f(x)=tanωx(ω>0)图象的相邻两支截直线 y= 所得线段长为 ,则 f( )的值是( ) 4 4 4 π A.0 B.1 C.-1 D. 4 2、设点 P 是函数 f(x)=sinωx 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离 π 的最小值是 ,则 f(x)的最小正周期是( ) 8 π π A. B.π C.2π D. 2 4 3、设 ? ? R ,则“ ? =0 ”是“ f (x)= cos (x+? ) (x ? R ) 为偶函数”的( )条件

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 4、已知函数 y ? sin x ? cos x ,则下列结论正确的是( ) A. 此函数的图象关于直线 x ? ? C. 此函数在区间 ( ? 5、已知函数 f

?
4

对称

B. 此函数的最大值为 1 D. 此函数的最小正周期为 ? )

? ?

, ) 上是增函数 4 4

? x?

? ?1 ? cos 2 x ? ? cos2 x , x ?R,则 f ? x ? 是 (

A.最小正周期为

? 的奇函数 2

B.最小正周期为

? 的偶函数 2
? ? , 直线 x ? 3 2


C.最小正周期为 ? 的奇函数

D.最小正周期为 ? 的偶函数

6、 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是( A y=4sin(4x+

? ) 6

B y=2sin(2x+

? )+2 3

C y=2sin(4x+

? )+2 3

D y=2sin(4x+

? )+2 6

7、同时具有性质: “①最小正周期为 ? ;②图像关于直线 x ? 增函数. ”的一个函数是( A.y ? sin( ? )

?
3

对称;③在 ( ?

? ?

, ) 上是 6 3

x ? ) 2 6

B.y ? co s( ?

8、已知 f ( x) ? 2cos( ? x ?

?
3

x ? ) 2 6

C.y ? co s(2 x ?

?
3

)

D.y ? sin(2 x ?

?
6

)

),( ? ? 0) 的图像与 y ? 2 的图像的两相邻交点间的距离为 ? ,
) Ks5u

要得到 y ? f ( x) 的图像,只须把 y ? 2sin ? x 的图像( A.向左平移

5 ? 个单位 12

B. 向右平移

5 ? 个单位 12

11 11 ? 个单位 D. 向右平移 ? 个单位 12 12 π? 4π 9、设 ω>0,函数 y=sin?ωx+3?+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的最 ? 3
C. 向左平移 小值是( 2 A. 3 π A.?0,3? ? ? ). 4 B. 3 3 C. 2 π 7π B.?12,12? ? ? D.3 ( ) 5π D.? 6 ,π? ? ?

π 10、函数 y=2sin?6-2x?,x∈[0,π]的增区间是 ? ?

π 5π C.?3, 6 ? ? ?

11、函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) ? 1 图像的对称轴方程是____________,对称中心是________

1 12、 设函数 y=cos πx 的图象位于 y 轴右侧所有的对称中心从左到右依次为 A1, 2, An, A …, …, 2 则 A10 的坐标是________.

π 13、已知函数 f(x)=2sin x,g(x)=2sin?2-x?,直线 x=m 与 f(x),g(x)的图象分别交 M、N ? ? 两 点,则|MN|的最大值为________. π? ? 14、已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ) |φ|<2 的部分图象如图示, ? ? 则该简谐运动的最小正周期为________ 初相为____________

1、已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ) ,且函数

? 2? 2 ?? ? (1) (2) , y ? f ? 2 x ? ? 的图像关于直线 x ? 对称. 求 ? 的值; 若 f (? ? ) ? 6 3 4 4? ?
求 sin 2? 的值。

(1)解:∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? ,???2分 ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? .??3分

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,??????????????5分 4? 4 ? ? ? 又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? ( k ? Z ) ,????????????6分 2 ? ? ? ? 令 2 x ? ? ? ? k? ? ,将 x ? 代入,得 ? ? k? ? (k ?Z ) . 6 4 2 12 11? ∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? .???????7分 12 2? 2 2? 11? ? 2 (2)解: f (? ? )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) , 3 4 3 12 4 2 1 1 3 sin ? ? cos ? ? ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? ???12分 2 4 4
∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

2、已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图象上相邻的两个最高 点之间的距离为 2? .

? 1 5? , ), f (? ? ) ?   ,求 sin( 2? ? ) 的值. 3 2 3 3 3 2? ? 1. 解: (Ⅰ) ? 图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2? ,?T ? 2? , 则 ? ? T
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式 Ⅱ 若 ? ? (?

? ?

? f ( x) ? sin(x ? ? ) . ? f (x) 是偶函数, ? ? ? k? ?


???2 分

?
2

(k ? Z ) ,

又 0 ? ? ? ? ,? ? ?

?
2



f ( x) ? cos x .

???5 分

(Ⅱ)由已知得 cos( ? ? 则 sin(? ?

?
3

)?

1 ? ? ? 5?  ? ? ? (? , ) ,? ? ? ? (0, ) . ,  3 3 2 3 6
???8 分

?
3

)?

2 2   . 3

? sin(2? ?

5? 2? ? ? 4 2 . ???12 分 ) ? ? sin(2? ? ) ? ?2 sin(? ? ) cos(? ? ) ? ? 3 3 3 3 9

3、已知向量 m ? ?sin x,1?, n ? ? 3 A cos x, (Ⅰ)求 A ;

? ?

?? ? A ? cos 2 x ?? A ? 0? , f ( x) ? m ? n 的最大值为 6. 2 ?

? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为 12 1 5? ] 上的值域. 原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, 2 24
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

解:(Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? 3 A cos x sin x ? 则 A ? 6;

A 3 A ?? ? cos2 x ? A sin 2 x ? cos2 x ? A sin? 2 x ? ? , 2 2 2 6? ?

? ? ? 个单位得到函数 y ? 6 sin[ 2( x ? ) ? ] 的图象, 12 12 6 1 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 2
(Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移

g ( x) ? 6 sin( 4 x ?
当 x ? [0,

?

5? ? ? 7? ? 1 ] 时, 4 x ? ? [ , ], sin( 4 x ? ) ? [? ,1] , g ( x) ? [?3,6] . 24 3 3 6 3 2 5? ] 上的值域为 [?3,6] . 故函数 g ( x) 在 [0, 24
另解:由 g ( x) ? 6 sin( 4 x ? 则 4x ?

3

).

?

5? ? ] ,则 x ? , 24 24 3 2 ? ? ? 5? 7? ? ?3 , 于是 g (0) ? 6 sin ? 3 3 , g ( ) ? 6 sin ? 6, g ( ) ? 6 sin 3 24 2 24 6 5? ] 上的值域为 [?3,6] . 故 ? 3 ? g ( x) ? 6 ,即函数 g ( x) 在 [0, 24

?

? k? ?

?

3

) 可得 g ?( x) ? 24 cos( 4 x ?

?

3

) ,令 g ?( x) ? 0 ,

(k ? Z ) ,而 x ? [0,

4、已知向量 m ? (sin( x ?

??

?

? ?? ? ? ),1), n ? (cos( x ? ),3), f ( x) ? m ? n 。 4 4

(1)求出 f ( x ) 的解析式,并写出 f ( x ) 的最小正周期,对称轴,对称中心 (2)令 h?x ? ? f ? x ?

? ?

??

? ,求 h?x ? 的单调递减区间 6?

(3)若 m / / n ,求 f ( x ) 的值;

??

?

解: (1) f ( x) ? m ? n ? sin ? x ?

?? ?

? ?

??

?? ? ? cos ? x ? ? ? 3 4? 4? ?

?

1 2 2 ? sin x ? cos x ? ? ? cos x ? sin x ? ? 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 3 2 2 2

1 ? ? cos 2 x ? 3 2
所以 f ?x ? 的最小正周期 T ? ? ,对称轴为 x ? 对称中心为 ?

k ? , ?k ? Z ? 2

?? k ? ? ? ,3 ?, ?k ? Z ? ?4 2 ?

(2) h?x ? ? f ? x ?

? ?

??

1 ?? ? ? ? ? cos? 2 x ? ? ? 3 6? 2 3? ?

令 ? ? ? 2k? ? 2 x ?

?
3

? 2k? , k ? Z

得?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z

所以 h?x ? 的单调减区间为 ? x ?

? ?

?
3

? k? ? x ?

?

? ? k? , k ? Z ? 6 ?

(3) m / / n , n 若 则3 i s

??

?

?? ? o s ? x ? c? ? 4? ?

3 2 2 ?? ? ? sin x ? cos x ? ? ? cos x ? sin x ? ?x? ? 即 2 2 4? ?

则可得 sin x ? 2 cos x

?t a n ? 2 x

1 1 1 sin 2 x ? cos 2 x f ? x ? ? ? cos 2 x ? 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 3 ? ? 2 ?3 2 2 2 sin x ? cos 2 x

?

1 tan2 x ? 1 33 ? ?3? 2 2 tan x ? 1 10
? 2

5、函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ) 的部分图象如下图所示,该图象与 y 轴交于点
F (0,1) ,与 x 轴交于点 B, C , M 为最高点,且三角形 MBC 的面积为 ? .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f (? ? ) ? 解: (I)∵ S?MBC
? ? 2 5 ? , ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值. 4 6 5 2 1 ? ? 2 ? BC ? BC ? ? , 2
??

y

x

∴周期 T ? 2? ?

?

,? ? 1 .

由 f (0) ? 2sin ? ? 1 ,得 sin ? ? ∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) . (Ⅱ)由 f (? ? ) ? 2sin ? ?
? 6
? 6

1 ? ? ,∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? , 2 2 6

2 5 5 ,得 sin ? ? ,Ks5u 5 5

∵ ? ? (0, ) , ∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?
2 5 , 5
3 5 4 , 5

? 2

∴ cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ∴ cos(2? ? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin
? ? 4 4 3 2 4 2 2 . ? ? ? ? ?? 5 2 5 2 10 ? 4


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